Fonctions trigonométriques et Fonctions trigonométriques réciproques

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www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 ₁ Fonctions trigonométriques et Fonctions trigonométriques réciproques

Séries d’exercices 2éme Bac SM Exercice 1

1. Montrer que 1

arctan arctan x 2

x

  pour toutx0.

2. En déduire lim arctan 2

x x x 



  

 

 .

3. Que se passe-t-il lorsque x est au voisinage de ? Indication : dériver l’expression du membre de gauche par rapport à x

Exercice 2

1. En posant, pour a et b deux réels, arctan a ;  arctan b et développant^tan



^{ }^



, donner arctan aarctan b en fonction de a et b.

2. En dérivant la fonction

 

^arctan

= 1a x

f x ax



 , montrer que siab1 , alors arctan arctan arctan

1

a b a b

ab

  

 . 3. Que se passe-t-il siab1? Exercice 3

Résoudre dans IRles équations suivantes : 1.^{arctan 2}

 

^arctan

x x 4

  .

2. ^arctan

 

^x ^^arctan

 

³^x ^⁷₁₂^ ^.

Exercice 4

Etablir les formules de linéarisation :

● ^sin

 

^.cos

 

¹ ^sin

 

^sin

 

x y 2 xy  xy 

● ^cos

 

^.cos

 

¹ ^cos

 

^cos

 

x y 2 xy  xy 

● ^sin

 

^sin

 

¹ ^cos

 

^cos

 

. 2

x y   xy  xy 

● ^{2 sin}

 

^x ^.cos

 

^x ^^{sin 2}

 

^x

● ^{2 cos}²

 

^x ^{ }^{1 cos 2}

 

^x

● ^{2 sin}²

 

^x ^{ }^{1 cos 2}

 

^x

Exercice 5 :

Transformer chacune des expressions suivantes en une fonction linéaire de ^cos

 

^{nx et}^sin

 

mx , avec n et m entiers.

● ^sin³

 

^x ● ^cos³

 

^x ● ^{cos 3}

     

^x ^{sin 5}^x ^{sin 7}^x ● ^sin²

 

^x ^cos²

 

^x

● ^cos⁵

 

^x ● ^cos⁴

 

^x ^sin²

 

³^x

(2)

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 ₂ Exercice 6

1- On considère la fonction f définie par :

 

^arcta ¹

= n 1 x

f x x



 . a) Déterminer l’ensemble de définition D de f.

b) Simplifier l’expression de f x pour xD.

 

2- Soit f la fonction définie par : ^{f x}

 

⁼^arctan ¹ ^x² ¹

x

  . a) Peut-on prolonger f par continuité ?

b) Simplifier l’expression de f.

Indication : Poser y=arctan x . 3- Partie A (Questions préliminaires) 1°) Rappeler la formule donnanttan(a b ) . 2°) Simplifier Arctan tan( )



x pour ;



;

x   2 2 puis pour ;³ 2 2 x  

  . Partie B

Soit f la fonction définie par :

 

^arctan ³

= 1

3 f x x

x



 . 1°) Déterminer l’ensemble de définition D de f.

2°) Pour xD , simplifier l’écriture de ^{f x .}

 

4- On considère la fonction f définie sur IR par : ^{f x}

 

⁼^arctan



^x^{ }¹



^arctan

 

^x ^.

a) Démontrer que pour tout réel x, on a : ⁰

 

f x 2

  .

b) Démontrer qu’il existe une unique fonction g définie sur IR telle que, pour tout réel x, on ait :

 

⁼^arc^tan

   

f x g x .

c) Pour tout entier naturel n, on pose :

   

0

arcta

= n

n n

k

S g k



 . Déterminer lim _n

n S

 . 5- Le but de l’exercice est de calculer 1 1

arctan arctan

2 3

=  par deux méthodes indépendantes.

1ère méthode :

 Rappeler la formule donnant tan(a b ).

 Démontrer que l’on a :0

2

 

  .

 Effectuer le calcul demandé.

2éme méthode :

On considère la fonction 1

: arctan arctan

1 2

f x x

x  x

  .

Calculer ^f^

 

^x . Conclure.

6- Démontrer que pour tout réel x strictement positif, on a :

1 1

arctan 2 arctan

2 x x 2

x



     

  

  .

7- Démontrer que : 1 1

2arctan arctan

3 7 4

  .

8- Question préliminaire : rappeler la formule donnant tan(a b )où a et b sont deux réels tels que a, b

a b  2 k, pour tout entier relatif k.

(3)

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 ₃ Soit x x x₁; ₂; ₃; ;x₇ sept réels deux à deux distincts. Démontrer qu’il existe deux réels distincts x_ietx tels _j

que : 0 ¹

1 3

j i

i j

x x x x

  

 . Indication : On pourra supposer que : x₁x₂ x₃  x₇ et on pourra poser :_i=Arctan x_i .

9- Calculer la dérivée de la fonction ^{f x}^: ^2arctan



¹^^x² ^^x



^^arctan^x^.

10- Calculer la dérivée de la fonction ^{f x}^: ^arctan



^x²^¹



11- On considère la fonction

2 2

2 1

: arctan

2 1

x x

f x x x

 

  . Pour cet exercice, on donne : tan 2 1

8

   et 3

tan 2 1

8

 _ _ . a) Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f.

b) Démontrer que l’on a :

 

^{2 arctan} ⁵

f x _ x_ 4

si x  2 1

 

^{2 arctan}

f x _ x_4

si  2 1  x 2 1

 

^{2 arctan} ³

f x x 4

  si x 2 1

12- Démontrer que pour tout réel 0;

x  2

   on a : 2 sin x x

 . 13- Soit f la fonction définie sur IR^ par

 

2

1 1 1

arctan arctan arctan

2

x x

f x + +

x x x

 

   

    . Calculer ^f^

 

^x . Que peut-on en déduire ?

Exercice 8

Résoudre ^{arctan 3}

 

^{arctan 4} ¹ ³

x 4

x

  

     Exercice 9

Simplifier la fonction ^{f x}

 

^^2arctan



¹^^x² ^^x



^^arctan^x . En déduire la valeur de tan 8

 et tan 12

 Exercice 10

Montrer que : ^{arctan 2 2}

 

^^{2arctan 2}

 

^^

Montrer que ce résultat est équivalent à la formule de Wetherfield 1 1 2arctan arctan

2 2 2 2

  

  

 

 

 

  Exercice 11

On veut déterminer les réels x tels que ^arctan



¹



^arctan ¹ ^arctan ¹⁹

x 8

x

   

      . 1- Soit ^{f x}

 

^arctan



^x ¹



^arctan ¹

x

       . Etudier rapidement la fonction f, en déduire que l’équation

 

^arctan ¹⁹

f x   8 admet une unique solution plus grande que 1.

2- Résoudre l’équation

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www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 ₄ Exercice 12

Montrer que :

2003 1

arctan 2arctan

2 2003 2

  

 

   

  

 