S’1 2006 - Mathématiques IUT Mesures Physiques - Grenoble I
TD 2 : fonctions trigonométriques, fonctions trigonométriques inverses
T Exercices théoriques :
1. Donner,sans calculatrice, les sinus, cosinus et tangente des angles −π6 ,3π4 ,5π6,4π3,3π2 . 2. Calculer cos π
12, sin π
12, et tan π 12.
3. On se donneadans[0;π/2]etbdans[π/2;π]tels que cosa= 14 et sinb=25. Calculer sinaet cosb. En déduire les valeurs de cos(a+b)et de sin(a+b).
4. Résoudre les équations suivantes dans R (on donnera l’ensemble des solutions sous forme de valeurs exactes, puis une valeur approchée à 10−2près de la plus petite solution positive) : (a) cosx= 12
(b) sin 2x=−
√3 2
(c) sinx=cosx
(d) √
3cosx+sinx=1 (e) tan 3x= √13
(f) 2sin2x+sinx−1=0
(g) 2cosx+0.5sinx=1.5 (h) cosx+0.2sinx=6
(i) 3cosx−4sinx=5 5. Résoudre les équations suivantes dans[−1;1]:
(a) arcsinx= π4 (b) arcsinx=arccosx (c) arcsin25−arccosx=−π2 P Exercices pratiques :
1. le coin montagne
Entendu un dimanche après-midi...
« Petite rando tranquille ce matin, une belle pente à 30◦ régulière. Par contre, la voiture a trouvé la descente de Laffrey sur Vizille un peu raide : une longue pente à 12% ! »
Comment comparer ces valeurs ?
2. Mesure du rayon de la Terre par Eratosthène, vers -200 av.J.C : Lors du solstice d’été, à midi, le soleil est au zénith dans la ville de Syène (Assouan). A Alexandrie, située à 800km au nord sur le même méridien, les rayons du soleil font un angle de 7◦avec la verticale.
Avec ces données, retrouver la valeur du rayon de la Terre calculée par Eratosthène. Quelle est l’erreur avec la valeur aujourd’hui mesurée, 6378km ?
3. Tunnel : pour relier deux villesC etF distantes de 80km, on veut percer un tunnel entre deux pointsC0etF0situés 200m sousCetF.
Deux options se présentent : ou bien percer en ligne droite, ou bien percer en restant en perma- nence à une profondeur de 200m.
Comparer les distances à percer dans les deux cas ; dans le premier cas, quelle sera la profondeur maximale atteinte ?
4. Graduation d’une cuve cylindrique
On souhaite fabriquer une jauge pour une cuve cylindrique de rayon 1m et de largeur 5m, c’est à dire déterminer en fonction du volumeV de liquide sa hauteurh.
(a) CalculerV(0),V(1),V(2).
(b) En décomposant la surface de liquide comme différence entre la surface d’un secteur circulaire et celle d’un triangle équilatéral, donnerV(h)pour 0≤h≤1.
En déduire la valeur deV(h)pour 1≤h≤2.
(c) Peut-on facilement déterminer comment graduer la cuve, c’est à dire exprimerhen fonction deV?
