FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES.
EXERCICES
Exercice 1.
Soit f la fonction définie sur par f(x) sin(x) cos(x).
1. Calculer f( ) et f( ).
2. La fonction f est-elle paire ? Impaire ?
3. La fonction f est-elle périodique de période ?
4. Montrer que la fonction f est périodique de période 2 . 5. Déterminer la valeur exacte de f
605
6 .
6. Voici une partie de la courbe de f. Compléter la courbe en utilisant les questions précédentes.
Exercice 2.
Soit f la fonction définie sur par f(x) sin(4x).
1. La fonction f est-elle paire ? Impaire ?
2. Montrer que la fonction f est périodique de période 2. 3. Déterminer la valeur exacte de f
287
6 .
4. Voici une partie de la courbe de f. Compléter la courbe en utilisant les question précédentes.
Exercice 3.
Soit f la fonction définie sur par f(x) cos(3x) (sin(3x))2. Montrer que la fonction f est périodique de période 2
3 . Exercice 4.
Soit f la fonction définie sur par f(x) tan(x) sin(x) cos(x). 1. Quel est l ensemble de définition de f ?
2. Tracer la courbe de f sur votre calculatrice ? Quelle semble être la période de la fonction f ? Prouver votre conjecture.
3. La fonction f est-elle paire ? Impaire ?
4. Construire le tableau de variation de la fonction f sur
0 2 . Faire apparaître les limites.
Exercice 5.
1. Résoudre dans ] ] puis dans [0 2 sin(x) 1 2 2. Résoudre dans ] ] puis dans [0 2 cos(x) 2
2 . 3. Résoudre dans [0 6 [ sin(x) 2
2
4. Résoudre dans ] ] puis dans [0 2 sin(x) 3 2 5. Résoudre dans l équation cos²(x) cos(x) 1
4 0 (poser X cos(x)) 6. Résoudre dans [0 2 cos(3x) 1
2
7. Résoudre dans l équation 2sin²(2x) 3sin(2x) 2.
8. Résoudre dans ] ] l équation précédente.
Exercice 6
Soit la fonction définie sur par . 1. Etudier le signe de sur l'intervalle . 2. En déduire le signe de sur .
Exercice 7 Partie A
Soit la fonction définie sur par – . 1. Dresser le tableau de variations de sur .
2. Dresser le tableau de signes de sur . Partie B
Soit la fonction définie sur ℝ par . 1.
a. Exprimer en fonction de . b. Que peut-on en déduire ?
2. Construire le tableau de variations de sur . 3.
a. Déterminer l'équation réduite de la tangente T à la courbe C représentative de au point d'abscisse 0.
b. Étudier la position relative de C et T sur . Exercice 8
f est la fonction définie sur par f(x) x² 2sin(x).
1. Étude de f
a. Construire le tableau de variation de f sur . b. Préciser les limites de f en et + .
c. Montrer que l équation f (x) 0 admet une unique solution sur , notée . d. Donner un encadrement d amplitude 101 de .
2. Construire le tableau de signes de f (x) puis le tableau de variation de f sur . 3. Montrer que sin( ) = 1 ² puis que f( ) ² 2 1 ².
Exercice 9
Un publicitaire souhaite imprimer le logo ci-dessous sur un T-shirt :
Il dessine ce logo à l’aide des courbes de deux fonctions f et g définies sur par :
f(x) e x( cosx sinx 1) et g(x) e xcosx. On admet que les fonctions f et g sont dérivables sur ℝ.
Partie A : Étude de la fonction
1. Justifier que, pour tout x , e x f(x) 3e x 2. En déduire la limite de f en .
3. Démontrer que, pour tout x , f (x) e x(2cosx 1).
4. Dans cette question, on étudie la fonction sur l’intervalle [−π π].
a. Déterminer le signe de f (x) pour appartenant à l’intervalle [−π π].
b. En déduire les variations de sur [−π π].
Partie B : Aire du logo
On note et les représentations graphiques des fonctions f et g dans un repère orthonormé
(
O i j)
.L’unité graphique est de 2 centimètres. es deux courbes sont tracées ci-dessous.
1. Étudier la position relative de la courbe par rapport à la courbe sur . 2. Soit H la fonction définie sur par : H(x)
cosx
2
sinx 2 1 e
x
Montrer que H est une primitive de la fonction h définie sur par h(x) (sinx 1)e x. 3. On note D le domaine délimité par la courbe la courbe et les droites d’équation x
2 et x 3
2 .
a. Hachurer le domaine D sur le graphique ci-dessus.
b. alculer, en unité d’aire, l’aire du domaine D, puis en donner une valeur approchée à 10 2 près en cm².
