3 Les fonctions trigonométriques

Guillaume Laget - version du 23-06-2006 06:03 (document mis à jour sur http ://maths.tetras.org/) - réutilisation et reproduction non commerciale de tout ou partie de ce document vivement encouragées

mathématiques - S’1 Fonctions usuelles département Mesures Physiques - IUT1 - Grenoble

Les trois premières parties de ce chapitre reprennent rapidement les résultats à connaître sur les fonctions usuelles étudiées au lycée : exp, ln, cos, sin, tan.

Puis quelques compléments sont apportés : fonctions trigonométriques réciproques, équations trigonométriques, applications aux angles...

1 L’exponentielle

Il existe une unique fonction deRdansRdérivable, appeléefonction exponentielleet notée exp, vérifiant :

exp⁰=exp et exp0=1.

L’exponentielle « transforme les sommes en produits » : elle vérifie la relation fonctio- nelle fondamentale suivante :

pour tousx,y∈R, exp(x+y) =exp(x)exp(y).

Alors pour tousx,yexp(x−y) =exp(x)

exp(y) et en particulier exp(−x) = 1 exp(x). Rappelons quelques autres propriétés :

– pour toutx, exp(x)>0. Etant sa propre dérivée, exp est donc strictement croissante.

– lim₋∞exp=0, lim+∞exp= +∞.

– pour toutn∈Z, limx→+∞exp(x) xⁿ = +∞.

remarque 1 :attention, aucune propriété remarquable ne permet de simplifier exp(1 x)! remarque 2 : pour tout entier n et tout réel x, exp(nx) = exp(x)ⁿ. En particulier exp(n) =exp(1)ⁿ, ce qui justifie l’écriture exp(x) =e^x avece=exp(1)'2,7182818....

On utilisera indifféremment ces deux notations pour la fonction exponentielle.

2 Le logarithme népérien

Il existe une unique fonction deR∗

+dansRdérivable, appeléelogarithme népérienet notée ln, vérifiant :

pour toutx>0, ln⁰(x) =1

x et ln1=0.

Sa relation fonctionelle est la réciproque de celle de l’exponentielle : ln « transforme les produits en sommes ». Ainsi :

pour tousx,y>0, ln(xy) =ln(x) +ln(y).

Alors pourx,y>0, ln(x

y) =ln(x)−ln(y), et en particulier ln¹_x=−lnx.

De plus, le logarithme népérien est la fonction réciproque de l’exponentielle : pour toutx∈R, ln expx=x et pour touty>0, exp lny=y

Citons les autres principales propriétés du logarithme : – lne=1.

– ln est dérivable, de dérivéex7→¹_x (par conséquent, ln est strictement croissante).

– lim0ln=−∞, lim+∞ln= +∞.

– pour toutn∈N^∗, limx→+∞lnx

xⁿ =0, limx→0xⁿlnx=0.

Les fonctions logarithme et exponentielle permettent de prolonger pour tousa>0, b∈Rla définition (qui n’est naturelle que pourbentier) de la puissancea^b:

sia∈R∗

+, sib∈R, on posea^b=exp(blna).

Pour toute étude de fonction dans laquelle une puissance fait apparaître la variable, il est indispensable de commencer par transformer l’expression en utilisant cette propriété.

exemple :étudier la fonction f(x) =x^x.

Logarithmes de basea:plusieurs fonctions vérifient la même relation fonctionelle que le logarithme nepérien : ce sont les logarithmes de basealog_a, définis pour touta>0 par log_a(xy) =log_a(x) +log_a(y)et log_a(a) =1.

Mais en fait ces fonctions ont peu d’intérêt théorique, car ce sont des multiples du loga- rithme népérien : log_a(x) = lnx

lna.

Il est cependant nécessaire d’en connaître un, d’usage courant en chimie et en physique : le logarithme en base 10 log₁₀, souvent noté simplement log.

remarque :certains vieux ouvrages utilisent la notation (à éviter aujourd’hui) Log pour le logarithme népérien.

3 Les fonctions trigonométriques

3.1 le cercle trigonométrique - définition

Un repère orthonormé direct(O,~i,~j)du plan étant fixé, on appelle cercle trigonomé- trique le cercle de rayon 1 et de centreO, orienté en sens inverse des aiguilles d’une montre.

SoitMun point du cercle etθl’angle(~i, ~OM). On appelle(cosθ,sinθ)ses coordonnées : ainsi on définit deux fonctions deRdansR, lecosinusθ7→cosθet lesinusθ7→sinθ.

Et on définit la fonctiontangentepar la quantité tanθ= sinθ

cosθ. Elle est bien définie quand le cosinus n’est pas nul, soit quandθ6=^π₂+kπ,k∈Z: géométriquement on l’obtient en lisant l’ordonnée de l’intersection de la droite(OM)avec la droite d’équationx=1.

sin θ tan θ

θ cos θ O

M

Il est alors clair que cos et sin sont 2π-périodiques, cos est paire, sin est impaire.

De même on voit que la fonction tangente est impaire etπ-périodique.

« sohcahtoa » - interprétation géométrique dans un triangle rectangle :

Si un triangleABCest rectangle enB, siθest l’angle géométrique(AB, ~~ AC), alors on retrouve les relations :

sinθ=BC

AC (« s-o-h : le sinus est égal au côté opposé divisé par l’hypoténuse »), cosθ=AB

AC (« c-a-h : le cosinus est égal au côté adjacent divisé par l’hypoténuse »), tanθ=BC

AC (« t-o-a : la tangente est égale au côté opposé divisé par le côté adjacent »).

relation fondamentale :M étant sur le cercle de centreOet de rayon 1, la distance OM=p

(xM−xO)²+ (yM−yO)²vaut 1, et on obtient donc la relation :

pour toutθ∈R, cos²θ+sin²θ=1.

Une conséquence immédiate est que sin et cos prennent toutes leurs valeurs dans[−1;1].

valeurs remarquables :

angle 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π

cos 1 √

3/2 √

2/2 1/2 0 -1

sin 0 1/2 √

2/2 √

3/2 1 0

tan 0 1/√

3 1 √

3 ∞ 0

quelques autres propriétés à connaître :

– cos et sin sont dérivables, et cos⁰=−sin, sin⁰=cos.

– tan est dérivable, et tan⁰= 1

cos²=1+tan²

(selon les exercices, l’une ou l’autre de ces formules est plus utile).

– lim_−π/2⁺tan=−∞, lim_+π/2−tan= +∞.

courbes représentatives des fonctions sinus et cosinus :

-1 0 1

-6.28318 -3.14159 0 3.14159 6.28318

-1 0 1

-6.28318 -3.14159 0 3.14159 6.28318

courbe représentative de la fonction tangente :

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-6.28318 -3.14159 0 3.14159 6.28318

3.2 formulaire

Il faut savoir déduire de considérations géométriques sur le cercle trigonométrique les relations suivantes, pour toutx∈R:

cos(x+π/2) =−sin(x), sin(x+π/2) =cos(x), cos(x−π/2) =sin(x), sin(x−π/2) =−cos(x), cos(π/2−x) =sin(x), sin(π/2−x) =cos(x),

cos(x+π) =−cos(x), sin(x+π) =−sin(x).

Les relations suivantes sont à connaître par coeur :

cos(a+b) =cosacosb−sinasinb, cos(a−b) =cosacosb+sinasinb, sin(a+b) =sinacosb+sinbcosa, sin(a−b) =sinacosb−sinbcosa.

tan(a+b) = tana+tanb 1−tanatanb tan(a−b) = tana−tanb

1+tanatanb.

et en particulier sib=ales relations deviennent :

cos(2a) =cos²a−sin²a=2cos²a−1, sin(2a) =2sinacosa,

tan(2a) = 2tana 1−tan²a.

En remplaçant 2aparθ, on obtient des expressions rationnelles de sinθ, cosθet tanθ en fonction det=tan^θ₂ qui seront très utiles pour l’étude des intégrales :

cosθ=1−t²

1+t², sinθ= 2t

1+t², et tanθ= 2t 1−t².

application :une application très importante de ces formules est le calcul de certains cosinus ou sinus d’angle se ramenant aux valeurs usuelles données précédemment.

Par exemple, pour calculer cos₁₂^π on utilise la formule cos2a=2cos²a−1 pour se ra- mener à la valeur connue cos^π₆=^√₂³: cos^π₆=2cos²₁₂^π −1, donc^√₂³=2cos²₁₂^π −1, donc cos²₁₂^π =²⁺₄^√3.

Ainsi, cos₁₂^π =±

√2+√3

2 . Mais comme l’angle₁₂^π est compris entre 0 et^π₂, son cosinus est positif, et donc cos₁₂^π =

√2+√3 2 .

On peut de même facilement calculer les sinus, cosinus et tangente de ₁₂^π,^π₈, . . .

3.3 premières équations trigonométriques

Une étude basée sur le cercle trigonométrique donnent les solutions des équations tri- gonométriques suivantes : cosx=cosa, sinx=sinaet tanx=tana.

Ces solutions sont à connaître par coeur ou retrouver très rapidement : elles sont utili- sées directement, ou bien pour résoudre des équations plus compliquées.

les solutions de l’équation cosx=cosasont : x=a+2kπoux=−a+2kπ,k∈Z les solutions de l’équation sinx=sinasont :

x=a+2kπoux=π−a+2kπ,k∈Z les solutions de l’équation tanx=tanasont :

x=a+kπ,k∈Z

remarque : attention, les deux premières équations contiennent un double piège : d’une part, elles contiennent une infinité de solutions, égales à 2πprès, car les fonctions sin et cos sont périodiques.

D’autre part, il y a deux familles infinies de solutions (x=a+2kπ, à laquelle tout le monde pense, et une autre, souvent oubliée).

exemple 1 :les solutions de cosx=1/2 sont (puisque 1/2=cos^π₃) : x=^π₃+2kπoux=^π₃+2kπ,k∈Z.

exemple 2 :pour résoudre sinx=cos^π₃, on commence par transformer le cosinus en sinus pour pouvoir appliquer ce qui précède. Ainsi, cos^π₃ =sin^π₆, et par conséquent les solutions sont donc celles de sinx=sin^π₆, soitx=^π₆+2kπoux=^5π₆ +2kπ,k∈Z.

exemple 3 :pour résoudre cosx+sinx=1, on essaie de se ramener aux exemples pré- cédents en utilisant la formule donnant cos(a+b). Pour cela, on divise l’équation par√

2.

On obtient alors ^√1₂cosx+√¹2sinx=√¹2.

Comme√¹2=cos^π₄, l’équation devient donc cos^π₄ cosx+sin^π₄sinx=cos^π₄, soit encore cos(x−^π₄) =cos^π₄.

On obtient donc facilement les solutions :x=^π₂+2kπou bienx=2kπ,k∈Z. Cette exemple est un cas particulier d’une méthode générale que l’on reverra bientôt.

4 Les fonctions trigonométriques réciproques

Disposant d’un nombreacompris entre -1 et 1, on sait qu’il existe toujoursθtel que cosθ=a, ou bienθ⁰tel que sinθ=a.

Mais il n’est pas toujours possible d’expliciter ces angles : par exemple, on ne sait pas déterminer d’angleθtel que cosθ=1

π. Il est néanmoins intéressant de pouvoir « nommer » l’une de ces solutions : les fonctions arccos, arcsin et arctan vont nous permettre cela.

Mais, d’après ce qui précède, on voit qu’un tel angle n’est pas unique : c’est la difficulté qui apparaît avec ces fonctions réciproques : on doit « fixer » à l’avance l’intervalle dans lequel on cherche les angles.

Comme cosθprend toutes les valeurs de[−1;1]quandθparcourt[0;π], il est naturel de décider que sa fonction « réciproque » arccos aura ses valeurs dans[0;π].

De même, arcsin est à valeurs dans[−π/2;π/2]et arctan est à valeurs dans[0;π].

Résumons donc les propriétés à retenir pour ces trois fonctions, avant de donner quelques exemples d’utilisation :

arcsin :[−1,1]→[−π/2,π/2]

– arcsin(x)est défini comme l’unique angle dans[−π/2,π/2]dont le sinus estx.

– pour toutx∈[−1,1], sin(arcsin(x)) =x

et cos(arcsin(x)) =√

1−x² – attention, en général, arcsin(sin(x))6=x! !

– arcsin est une fonction impaire, croissante ; arcsin⁰(x) = 1

√1−x². – arcsin(0) =0, arcsin(1

2) =π

6, arcsin(

√2 2 ) =π

4, arcsin(

√3 2 ) =π

3, arcsin(1) =π

2.

arccos :[−1,1]→[0,π]

– arccos(x)est défini comme l’unique angle dans[0,π]dont le cosinus estx.

– pour toutx∈[−1,1], cos(arccos(x)) =x

et sin(arccos(x)) =√

1−x² – attention, en général, arccos(cos(x))6=x! !

– arccos est une fonction décroissante ; arccos⁰(x) = −1

√1−x². – arccos(0) =π/2, arccos(1

2) =π

3, arccos(

√2 2 ) =π

4, arccos(

√3 2 ) =π

6, arccos(1) =0, arccos(−1) =π.

On peut maintenant donner la représentation graphique de ces fonctions : arcsin

-1 0 1

-1 0 1

arccos

0 1 2 3

-1 0 1

Attention, contrairement aux cosinus et sinus,toutela courbe est représentée : il n’y a pas ici de périodicité, les fonctions ne sont définies que sur[−1;1].

De même on définit la fonction arctangente :

arctan :R→]−π/2,π/2[

– arctan(x)est défini comme l’unique angle dans]−π/2,π/2[dont la tangente estx.

– pour toutx∈R, tan(arctan(x)) =x; attention, en général, arctan(tan(x))6=x! ! – arctan est une fonction impaire, croissante ; arctan⁰(x) = 1

1+x². – arctan(0) =0, arctan( 1

√3) =π

6, arctan(1) =π

4, arctan(√

3) =π

3, lim+∞arctan=π

2. La représentation graphique de la fonction est :

arctan

-1.5707 0 1.5707

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Ici on observe des asymptotes horizontales,y=π

2en+∞ety=−π 2 en−∞.

5 application à la détermination des angles

Etant donné un pointMde coordonnées(x,y)dans un repère orthonormé direct(O,~i,~j), il est fréquent de devoir déterminer l’angleθentre les vecteurs~ietOM~ ; nous allons voir deux manières de procéder.

On suppose queMn’est pas l’origineO, autrement dit quex²+y²6=0.

5.1 à l’aide de la fonction arccos :

Si N est le point de coordonnées ( x

px²+y², x

px²+y²), l’angle (~i, ~OM) est égal à l’angle(~i, ~ON)(en effet, on voit immédiatement queNest à la fois sur la demi-droite[OM) et sur le cercle trigonométrique).

Mais alors, on sait que l’on peut écrire de manière unique cosθ= x

px²+y² et sinθ= y

px²+y², avecθdans]−π;π]: il s’agit de déterminerθ. Et il est naturel de se demander si la solution ne serait pas arccos x

px²+y², puisqueθet ce nombre ont à l’évidence le même cosinus...

Posonsθ=arccos x

px²+y² : alors on a cosθ=cosarccos x

px²+y² = x px²+y², et sinθ=sinarccos x

px²+y²= s

1−( x

px²+y²)²= s y²

x²+y². Alors si y≥0, on obtient bien sinθ= y

px²+y²; en revanche siy<0, on obtient sinθ=− y

px²+y². Par conséquent :

siM(x,y)est un point du plan différent de l’origine, l’unique angleθ∈]−π;π]tel queθ= (~i, ~OM)vaut :

siy≥0,θ=arccos x px²+y² siy<0,θ=−arccos x

px²+y²

On vérifie bien que siy≥0, l’angle est compris entre 0 etπ, et si y<0, l’angle est compris entre−πet 0.

exemple 1 :quel est l’angle(~i, ~OM)siM(1;1)? Ici,y>0 donc l’angle vaut arccos 1

√2=arccos

√2 2 =π

4. exemple 2 :quel est l’angle(~i, ~OM)siM(1;−1)?

Ici,y<0 donc l’angle vaut−arccos 1

√2=−arccos

√2 2 =−π

4. exemple 3 :quel est l’angle(~i, ~OM)siM(−1;1)?

Ici,y>0 donc l’angle vaut arccos−1

√2=arccos−√ 2 2 =3π

4. exemple 4 :quel est l’angle(~i, ~OM)siM(2;1)?

Ici,y>0 donc l’angle vaut arccos 2

√5(et on ne sait pas a priori simplifier ce résultat).

remarque : comme conséquence de cette démonstration, on voit que, puisque x

px²+y²=cosθet y

px²+y²=sinθ, on a écritx=p

x²+y²cosθety=p

x²+y²sinθ.

5.2 à l’aide de la fonction arctan

Cette deuxième méthode fournit souvent des formules plus simples, mais elle présente le gros défaut de ne donner un résultat « simple » que pourx>0.

On cherche donc toujours à déterminer l’unique angleθ∈]−π;π]tel queθ= (~i, ~OM).

Alors en utilisant les relations dans le triangle rectangle (ou la définition de la tangente !) on sait que tanθ=y

x, et par conséquentθest de la formeθ=arctany

x+kπ,k∈Z. Six>0, c’est fini. En effet dans ce cas on voit géométriquement queθ∈]−π/2;+π/2[, et comme arctan est à valeurs dans]−π/2;+π/2[, on trouvek=0, et donc

siM(x,y)est un point du plan différent de l’origine, et si x>0,

l’unique angleθ∈]−π;π]tel queθ= (~i, ~OM)vaut : θ=arctany

x Mais six<0, on va avoir soitθ=arctany

x−π(siy<0), soitθ=arctany

x+π(siy>0).

On peut reprendre les quatre exemples déjà traités à l’aide de la fonction arccos : exemple 1 :quel est l’angle(~i, ~OM)siM(1;1)?

Ici,x>0 donc l’angle vaut arctan1

1=arctan1=π 4. exemple 2 :quel est l’angle(~i, ~OM)siM(1;−1)? Ici,x>0 donc l’angle vaut arctan 1

−1=arctan(−1) =−π 4.

exemple 3 :quel est l’angle(~i, ~OM)siM(−1;1)? Ici,x<0 ety>0 donc l’angle vaut arctan 1

−1+π=arctan(−1) +π=−π

4 +π=3π 4. exemple 4 :quel est l’angle(~i, ~OM)siM(2;1)?

Ici,x>0 donc l’angle vaut arctan1 2.

On constate là que le résultat obtenu avec la fonction arccos et avec la fonction arctan, s’ils sont bien sûr égaux, n’ont pas forcément la même expression : difficile de deviner, a priori, que arctan1

2=arccos 2

√5.

5.3 retour sur les équations trigonométriques

On souhaite maintenant résoudre l’équation généraleαcosx+βsinx=γ(on suppose queαetβne sont pas tous les deux nuls).

La méthode a déjà été vue sur un exemple : il s’agit de se ramener à la formule donnant cos(a−b)(en fait ce sera plutôt, ici, cos(x−θ) =cosθcosx+sinθsinx).

On sait alors déterminer (cf.remarque à la fin de la méthode arccos) θ tel que α= pα²+β²cosθetβ=p

α²+β²sinθ.

Ainsi, si on la divise parp

α²+β²l’équation initiale devient cosθcosx+sinθsinx= γ

pα²+β², soit cos(x−θ) = γ pα²+β².

On peut alors discuter selon la valeur de γ pα²+β² :

- si elle est dans[−1;1], on peut l’écrire cosφpour un certain angleφ, et l’on est ramené à l’équation cos(x−θ) =cosφque l’on sait résoudre ;

- si elle n’est pas dans[−1;1], l’équation n’a pas de solution.

exemple 1 :résoudre l’équation 2cosx−3sinx=5.

En divisant l’équation par√

2²+3²=√

13, elle devient 2

√13cosx− 3

√13sinx= 5

√13. Inutile d’aller plus loin : 5

√13>1, donc l’équation n’a pas de solution.

exemple 2 :résoudre l’équation 2cosx−3sinx=−1.

On divise par √

13 : ’équation équivaut à 2

√13cosx− 3

√13sinx= −1

√13. Si θ=

−arccos 2

√13 et si φ=arccos −1

√13, on obtient donc cosθcosx+sinθsinx=cosφ, soit cos(x−θ) =cosφ.

Les solutions sont doncx=θ+φ+2kπou bienx=θ−φ+2kπ, soit après remplace- ment deθetφpar leurs valeurs :

x=−arccos 2

√13±arccos −1

√13+2kπ,k∈Z.

Numériquement, on trouve donc, à 10⁻⁵ et à 2kπ près, x=0.86904 ou bien x=

−2.8346.

6 complément : les fonctions hyperboliques et hyperbo- liques réciproques

(hors-programme)

6.1 les fonctions hyperboliques

ch :R→[1,+∞[

– ch(x) =e^x+e^−x 2 – ch⁰(x) =sh(x)

– ch est une fonction paire,

décroissante sur]−∞,0[et croissante sur]0,+∞[

– lim₋∞ch = +∞, ch(0) =1, lim+∞ch = +∞

sh :R→R

– sh(x) =e^x−e^−x 2 – sh⁰(x) =ch(x)

– sh est une fonction impaire et croissante

– lim₋∞sh =−∞, sh(0) =0, lim+∞sh = +∞

sh

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-3 -2 -1 0 1 2 3

ch

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3 -2 -1 0 1 2 3

th :R→]−1,1[

– th(x) =sh(x)/ch(x)

– th⁰(x) =1−th²(x) =1/ch²(x) – th est une fonction impaire et croissante

– lim₋∞th=−1, th(0) =0, lim+∞th=1

-1 0 1

-2 -1 0 1 2

6.2 les fonctions hyperboliques réciproques

argsh :R→R

– argsh(x)est le seul réel dont le sinus hyperbolique estx – argsh(x) =ln(x+√

x²+1)pour toutx – pour toutx, sh(argsh(x)) =x

et ch(argsh(x)) =√ 1+x² – et on a aussi argsh(sh(x)) =xpour toutx! !

– argsh est impaire, croissante ; argsh⁰(x) = 1

√1+x²

– lim₋∞argsh =−∞, argsh(0) =0, lim+∞argsh= +∞

argch :[1,+∞[→[0,+∞[

– argch(x)est le seul réelpositifdont le cosinus hyperbolique estx – argch(x) =ln(x+√

x²−1)pour toutx – pour toutx, ch(argch(x)) =x

et sh(argch(x)) =√ x²−1 – argch(ch(x)) =|x| (attention à la valeur absolue) – argch est croissante ; argch⁰(x) = 1

√x²−1

– argch(1) =0, lim+∞argch= +∞

arccos

0 1 2 3

0 1 2 3 4 5

arcsin

-2 -1 0 1 2

-3 -2 -1 0 1 2 3

argth :]−1,1[→R

– argth(x)est le seul réel dont la tangente hyperbolique estx – argth(x) =1

2ln1+x

1−xpour toutxdans]−1,1[

– pour toutxréel, th(argth(x)) =x,

et on a aussi argth(th(x)) =xpour toutxdans]−1,1[

– argth est impaire, croissante ; argth⁰(x) = 1 1−x²

– lim₋1argth =−∞, argth(0) =0, lim1argth= +∞

-2 -1 0 1 2

-1 0 1