Etudes de fonctions logarithmes à base a

Exercices

Etudes de fonctions logarithmes à base a

Avant de faire des études de fonctions plus compliquées, rappelons les connaissances-clés à savoir sur les fonctions f_a et g_a données par :

 fa^:^:x fa

 

x ^loga

 

x ^aveca¹ par exemple : fe

 

x ^ln

 

x et

 g_a^:^:xg_a

 

x ^log_a

 

x ^{avec 0} a ¹

 

   

 

 

 

   

 

 

' 0 ' 0

0 0

: :

lim pas d' lim pas d'

lim 0 de direction lim 0 de direction

lim 0 lim 0

1 1

' 0 ' 0

ln ln

a f f a f f

a a

x x

a a

x x

x a x a

a a

f D D g D D

f x AH g x AH

f x g x

BP Ox BP Ox

x x

f x AV x x AV x

f x g x

x a x a

 

 

 

 

 

   

   

 

       

   

 

 

En voici deux exemples de graphes de fonctions, représentatifs de la situation :

       

3: 0 : 3 log3 0,5: 0 : _o,5 log0,5

f ^  x f x  x g ^  xg x  x

Etudes de fonctions logarithmiques

Ces premiers exercices servent à expliquer les notions de branche parabolique de direction

 

^Ox et de direction asymptotique y m x . Ils sont à faire en connection avec la distribution de

l’organigramme sur les limites à l’infini.

           

   

1) ln 2) ln 22 ln 2 . .

3) ln 4) 2 1 ln . .

2

f x x f x x x B P Ox

f x x x f x x x D A y m x

  

          

Exercices d’études de fonctions - exercices pêle-mêle

 

   

 

 

   

   

 

 

 

2

2

2 0

2 2

1) : : ln

2) : : log

3) : : 1 ln

4) : : 1 ln

1

5) : : ln ln

6) : : 1 2ln Dérivabilité en 0

7) : : 1 ln 2

3

8) : : ln

9) : :

f x f x x x x

f x f x x

x

f x f x x

x

x x

f x f x

x x

f x f x x

f x f x x x x

f x f x x x

x

f x f x x

x

f x f x x

    

  

   

    



  

    

     



  

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

ln

10) : : ln 2 4 1

x

f  x f x   x x  

Exercices d’études de fonctions complètes (points d’inflexion et concavité compris)

 

1) f::x f x  x ln x

Exercices faits en classe – 1D(G)

       

 

₂

 

1) ln 2 2) ln 2 3

1 ln 2

3) 4) 1 ln

3

f x x x f x x x

x x

f x f x x

x x

    

 

   



Etudes de fonctions exponentielles faites au cours d’appui 2016 - 1D1

    ^{ }

 

   

   

 

 

   

 

2 2

2

2 0 2

2 1 2

2

4

) ) 1;0

) lim ) lim 0 0

lim . . lim 0

lim 0 0 lim 1

lim

lim . .

) '

x x

f f

x x

x

x x

x

x x

H x

x

f x x e f x e

x x

a D a D

b f x b f x AH y

f x e

B P dir Oy AV x

x x x

f x AH y e AV x

x x f x

f x B P dir Oy

x

c f x





   

  



   



  

  

   



   

    

     



      



  

 

 

 

  ^{ } _{ }

   

   

 

2

2 2

2 2

2

3 2

2 4 ) '

2 1

1,236 3 17 0,56

' 0 1 5 ' 0

3,236 2 3,56

) '' 4 2

'' 0 2 6 0,45

4,45

x x

x

x x

x x e c f x e

x x

f x x f x x

d f x x x e

f x x





 

    



 

  

        

 

   



     



Exercices faits en classe

Rédaction à venir ! Suite aux prochaines pages !

Exercices faits en classe parallèle

   

² 1

3 0 0

140 1) ln et 2) ln ln 2 et

ln ln 1 1

143 3) lim 4) lim 5) lim ln

cot 1

f x e f x

x x x

Exercice f x x D t f x x x D t

x

x x x

Exercice

x ^ x x x

 

   

  

   

  

 

Etudes de fonctions logarithmiques faites en classe

   

   

 

   

ln 2

144 6) 7) ln 1 en tout détail !

1) ln 2) ln

2 1

Problème d'annulation de la dérivée Etude complète

2 1

3) 2 3 ln

2

4) ln ^x 1

Exercice f x x f x x

x

x x e x

Exercices feuille f x f x x

x x

f x x x DAD

x

f x e DAD

  

    



   



 

_______________________________________________________________________________________

Exercice 3 : Etude de la fonction :

 

^{2 3 ln2 1}

2 f x x x

x

   



   

 

 

'

2 ln 2

2 1 1

) : 0 ; 2 ; car réunion d'intervalles ouverts

2 2

2 1

) lim 2 3 ln

2

f f

x

a CE x D D

x

b x x AH

   x





         

  

    

 



2 1

Remarque : est une fraction algébrique 2

x x





Comme ^{lim ln2 1 lim φ}

 

^{ln 2}

 

2

x x

x x

  x  

  

 est une constante et

que la première partie de l’expression de la fonction est du premier degré, cette fonction admet donc

 

2 3 ln 2

AO y x  comme asymptote oblique à la courbe, comme nous pouvons le constater sur le graphique ci-contre ! Au cas où ce raisonnement ne serait pas accepté, ou que vous ne le constatiez pas, les deux formules de Cauchy vous mènent au même résultat, comme indiqué ci-dessous :

   



2 0

fraction algébrique

2 1

ln ln 2

2 3 2

1) lim lim 2

2

x x

x

f x x x

x x x

a

   

 

  

  

   

 

 

  

 

 

   

 

ln 2

2 1

2) lim 2 lim 3 ln 3 ln 2 3 ln 2

2 2 3 ln 2

x x

f x x x b

x

AO y x

   



 

  

             

    

 

 

    

 













2 7

12 4

0

2 1 3

lim 2 3 ln 2

2 0

2 1 0 1

lim 2 3 ln

3 2

2 2

x

x

x x AV x

x

x x AV x

x



   







  





  

      

 

        

 













c) '

 

: ' 2 2

f

x D f x x

   

   

 

²

2 2 2 1 1

2 1 2

x x

x x

    

   ²



^22xx ^{4 21}



x^{x 21}



²



²x ¹



³ x ²



  

   

   

Le deuxième terme est toujours positif, car – le numérateur étant positif - il ne devient négatif que si x se trouve entre les racines, mais cet intervalle ne fait partie du domaine de définition.

Si vous ne voyez pas cette astuce – ce qui n’est pas grave – vous devez réduire au DC :

    

           

   

 

 

2 2

'

2 3 4 10 4 3 4 10 7

' 2 1 2 2 1 2 2 1 2

) : :Δ 0 pas de racine, donc: x

2 1 2

2

D : 0

: 2, 1 ( )

2 2 1

) :

2

2 '

1

f

f

x x x x

f x

x x x x x x

i Racines N x N x

D x x

x x

x

x cf D

ii Tds x

f x x

     

   

     

   

   

 

 

 

  

   

d) Graphique : voir plus haut !

_______________________________________________________________________________________

Exercice 4 : Etude de la fonction : ^{f x}

 

^ln



^ex1



 

 

 

 

' 0

0

1 0

) : 1 0 car intervalle ouvert

) lim ln 1 0 0

lim ln 1

x

f f

x x

x x

a CE e tjs vrai D D

b e AHG y

e AH

 

 





  



   

   

  

 



 



   

   

ln 1 1

? lim lim lim lim 1 1

1

lim lim ln lim ln ln 1 1

lim

1 1

x

x H x H x

x x x x x

x x

x x x x x

x

e

f x e e e

AO a

x x e

e e

f x x x e x

e x

           

        

  

 

       

       

             

         



  

 

 



ln 1 1_x x e

 

    

0

lim ln 1 1_x 0

x^{ } e



 

   

  

   

   

 

La fonction admet donc AO d’équation AOD y x

c) ^{: '}

 

^{1 0}

1 1

x x

x x

x f x e e

e e

     

 



d)

   

 

²

 

²

: '' 1 0

1 1

x x x x x

x x

e e e e e

x f x

e e

   

    

 



e) TV :

   

 

' ''

0 x f x f x f x

 





 

f) Intersection avec

 

^{Oy : f}

 

^{0 ln 2 A(0;ln 2)}

g) Graphique :

_______________________________________________________________________________________

Rappelons d’abord quelques notions de base vraiment élémentaires :

 L’argument d’une fonction logarithmique doit être strictement supérieur à 0

 Pour résoudre une (in-)équation logarithmique (fonction ln), on rencontre essentiellement 3 cas de figure :

o  x D_f : lnAlnB  AB expressions en ln du premier degré o  x D_f : lnAB  Ae^lnAe^B utilisation de la bijection réciproque o x D_f : a ln²x b lnx c 0 Δ ... expression en ln du second degré

        



         

dérivée interne de la fonction ln

: ln ' 1 '

x Df f x u x f x u x

      u x  

 La fonction ln est une fonction strictement monotone croissante. Il s’ensuit :

o Le signe d’une expression du type ^{2ln 5}



^x4



^3 se détermine comme le signe d’une expression 2 x 3, c.-à-d. « signe du coefficient de x, à droite de la racine ».

o Le signe d’une expression du type ^{2ln 52}



^x4



^{ 3 ln 52}



^x4



^5 se détermine comme le signe d’une expression 2x²  3 x 5, c.-à-d. « signe de a, sauf entre les racines ».

 Règles de calcul sur les fonctions logarithmiques o  a 0^ 

 

1 : log 1 0 et_a  log_aa1 o a b, 0^

 

1 ;x y, 0^; r :

 R1 log_a



x y



log_a

 

x log_a

 

y Propriété fondamentale

 2

     

log_a x log_a log_a et log_a 1 log_a

R x y y

y y

   

   

   

   

 R3 log_a

 

x^r  r log_a

 

x



   

   

 

4

log ln

log log ln

b a

b

x x

R x

a a

  Formule de changement de bases

A Exemples d’études de fonctions ln, résolus lors du cours du 29-01-2016

Résolution en bref de ces études de fonctions

   

  ^{   }

2 ln 3

3 0 0

) : ln 3 0 3 1 1 0;1 1; '

f x x

x

x x

a CE D D

f f

x x x



   

     

     



Remarque : Avant de continuer, il convient de remarquer, que cette fonction se laisse étudier avec la donnée non modifiée, mais que l’emploi de la formule R₃ permet une nette simplification de cette étude, tout en travaillant sur le même domaine !

 

³

^{   }

¹

_{ }

²

: ln 3 ln

f 3 ln

x D x x f x x

       x

Comme les élèves n’ont pas vu cette simplification, la résolution se fait comme chez les élèves, mais il serait très utile de contrôler comment l’utilisation de cette formule de simplification a des répercussions sur la difficulté de cette étude de fonction. Les résultats simplifiés sont mis en bleu dans un cadre à part.

   

2

0 0 3

) lim lim 0 0

ln

x x

b f x x AV

x



 

    

   

   

    ^{ }

2

1 1 3

2 11

3

3

1

lim lim 1

ln 0

lim lim . . lim 2

ln 1

x x

H

x x x

x x

f x x AV x

x

x x

f x f i

x

x





 

 





    





     







  

 





3x2



lim 2 3

x

x x

AH

 

   

 

²

mais ? lim lim

x x

f x x

AO ^{ } x ^{ }

 

x

 

³

^{ }

3

ln . . lim 1

1

H x

x f i

x

 

 

 



3x2

 ^{lim 1} de direction

 

3

x

x BP Oy

 

   

   

^{3 2}

'

2 ln

) _f : '

x x x

c x D f x

 

  

3

 x

   

  ^{     }

    ^{ }

 

3

2 3 2 3

3

3 1

2

3 3 2 2

2ln 1

2 ln 3 '

ln ln

' 0 2ln 3 0 car 0

l 3

2

3ln

n

x x

f x

x

x x

x x

f x x x

x x e x e e

  

 

   



    

    











Tableau des signes de la dérivée première :

 

 

 

3

2 3

0 1

2ln 3 0

ln 0

' 0

x e

x x f x

    

   

  





 

   

³

'

2 ln 3

) _f : ''

x x

d x D f x

  

  

2 3

  x ^ln2

 

^{x3 x}

 

 

 

  ^{2 ln}

 

^{x3 3 2ln}

 

^{x3 3}

x

 

    

 

 

4 3

3

ln ln

x

 x ²

 

³

 

³

 

³

4

2ln 3ln 12ln 18

ln

x x x

 

    

 

     

  ^{       }

     

 

3 3

2 3 3

3 3

2 3 3

3 2

2 3

2ln 9ln 18

'' ln

' 0 2ln 9ln 18 0

Posons : ln 2 9 18 0 pas de racine

Pas besoin de revenir à . Le signe du numérateur est donc toujo

2ln 3

urs positif (2nd deg

ln 2

r

' 3 n

é)

' l

x

x x

f x

x

f x x x

x t t t

x

x x

f x

x

 



    

    

 







Tableau des signes de la dérivée seconde:

   

 

 

2 3 3

3 3

0 1

2ln 9ln 18

ln 0

'' x

x x

x f x

      

   

   





 

e) Tableau de variation :

   

 

⁰

0 1

' 0

'' 0

min 2

1 3

x e

f x f x

f x AV e

x

 



  

   



 





   

f) Graphique

 

^ln

1 g x x

 x

 Expressions de f sans valeur absolue :

 

1 0

ln ln ln

1 1 1

x x

x x x

g x x x x

  





  



 

a) CE :

1 0

0 ) : 1 0 ) :

1 0

1 x

x i racines x x ii tds x

x x



     

 

 



; 1

 

1;0

 

0;



'

f f

D D

         b) Limites et asymptotes



 

 

car quotient1 algébrique

1 1

1 1

0 0

0 0

0 0

lim ln 0 0

1

lim ln lim ln 1

1 1

lim ln lim ln 0

1 1

x

x x

x x

x x

x x

x AH y

x

x x

AV x

x x

x x

AV x

x x

 



   

   

 

 

 

 

  



       

 

      

 







c) Dérivée(s) et extrema éventuels



^{; 1}

 

^0;



^{: '}

 

^{x 1}

x f x 

      



 

 

²

1 1 1

1

x x

x x

   

 

 

   

1 1

1;0 : ' 1

x x

x f x x

 

    



 

 

²

1 1 1

1

x x

x x

    

  

   

       

'

1 1

1 1

1 0

1 1

: ' 1 ' 1

f

x x x x

x

x D f x x x f x x x





 

    



           

d) Tableau de variation

 

 

⁰

0

1 0

' x f x

f x AV AV

  

 



    

 

  

e) Graphe de la fonction

 

²



^{1 2ln}



h x x   x

a) CE : x0  D_f 



0; 



D_f' b) Limites et asymptotes

²

 

lim 1 2ln

x x x AH

  



   

 

2

? lim

x

AO x

  





^{1 2ln}x



x



 

² 

 

^{4 2}

0 0 0 0 0 0

2 4

de direction 2

1 2ln 2

lim 1 2 ln . . lim lim lim lim 0

1 1 2 2

H

x x x x x

BP Oy

x x x

x x f i x

x x x

x x

      

 

 

   

          





La courbe « part » donc du point ^O

 

^0;0 . c)  x D_f': f'

 

x 2 1 2lnx



 x



x² 2

x

^ ^^{2 1 2lnx}



^{ x  1}



^{4 lnx x}

 

 

_

' 0 0 ou ln 0 1

Df

f x x x x



     

d)  x D_f': f''

 

x  2lnx4x 1

 x  2lnx4

 

^{2 1}₂

'' 0 ln 2

f x x x e

e

       

e) Tableau de variation :

   

 

   

   ^{ } 

2

2

4 4

0 4

0 1

' 0 1 1 1 2 0 1

'' 0 1 5

1 2 2

. . 5 1

x e

f x f

f x

p i Max f e e e

f x e





 

        

   

     







   

f) Graphe de la fonction :

 

^{1 ln 2}

3 j x x x

x

   

 fait en classe de 1D(G)

e) Tableau de variation :

   

 

3 2

' ''

3 2

x f x f x

f x AV AV

x x





   

   

   

 

   

 

 

 

 

f) Graphique

_______________________________________________________________________________________

  

^{1 ln}x



²

k x x

 

a) CE : x0



x0



 D_f 



0; 



D_f' b) Limites et asymptotes



^{1 ln}



^{2 }

c)

     

²

   

' 2 2

2 1 ln 1 1 ln 1 1 ln 2 1 ln

: '

f

x x x x x x

x D f x

x x

         

   

   

²

2 2

1 lnx 1 lnx 1 ln x

x x

   

 

 

¹

' 0 ln 1 ou ln 1 ou

f x x x x x e

      e 

d) '

 

2ln 1

: ''

f

x x

x D f x

 

  

x2





²



4

1 ln x 2x x

  



²

 

²



4 3

2x lnx 1 ln x 2 ln x lnx 1

x x

      

 

   

 

2

2

1 5 1 5

2 2

'' 0 ln ln 1 0

1 5 1 5

Posons : ln 1 0

2 2

Revenons à : 0,53 5,04

f x x x E

t x E t t t ou t

x x e ou x e

 

    

 

       

   





e) Tableau de variation :

   

 

    ^{   }

1 5 1 5

2 2

1 2

1 0

2

1 1

1 5 1 5

2 2

1 5 1 5

2 2

0 1

' 0 0

'' 0 0

min

0 0,27 4 1,36

1 1 4

1 ln 0 0 1,47

7 3 5 7 3 5

0,27 1,36

2 2

x e e e

e f x

f x

I Max I

f x e

f e e e e f e

e e

f e f e

e e

 

 



 

 

 

      

      



         

     

   

   

   

     





     

f) Graphique

Voici les études de fonctions posées récemment aux examens de fin d’études secondaires L’année 2015

   

 

 

   

 

0 2

06 / 2015 2 1 9 1 2ln 20

1

limites et asymptotes + position Etude complète + aire 0 α 1

lim α

06 / 2015 5 3 28

Etude complète + tangente extérieure par le point P 1;0

lim

x x

x x

e x

f x x pts f x x pts

e x

Aire

R f x x e pts

 

 

       



 



   



 

   

 

 

λ

1

λ ,λ 0

09 / 2015 2 19 1 ln 17

Etude complète Etude + Aire 1 et

volume autour de

x x

Aire

f x x e pts f x x pts

x

x x e

Ox

 





    

 



L’année 2014

 

 

   

     

3 3

06 / 2014 ln 17

Etude complète + aire 0 α

2 3 ln 2 7

2 4

comportement asymptotique et position par rapport à AO 2 - 3

09 / 2014 2 22 1 ln 8

3

Etude complète comportement asym

x

x

f x x x x pts

e

f x x x pts

y x

x x

f x x e pts f x pts

x



  

 

  



 

     

λ

 

ptotique et position lim Aire λ ,λ 2

     L’année 2013