Ch.04
Fonctions logarithmes
TaleSTI2DPartie B (s
11)
3 Fonction u 7→ ln( u )
3.1 Existence
La fonction x
7→ln [u(x)] est définie sur un intervalle I de
Rsi, et seulement si, la fonction u est strictement positive sur I .
Propriété 1.
Exemple 2
La fonctionf définie parf(x) = ln(x+ 3) est définie sur ]−3 ; +∞[.
x+ 3>0⇔x >−3
Exemple 3
Transformations d’expressions algébriques (sur les intervalles où elles sont définies) :
• ln(3x)−ln(3) + ln(x2) = ln
3x×x2 3
= ln(x3) = 3 ln(x).
• ln(√
x−1) = 1
2ln(x−1).
pourx >0
pourx >1
3.2 Limite
Soit u une fonction définie sur un intervalle I de
Rtelle que pour tout x de I, u(x) est strictement positif et a un réel qui peut être égal à
−∞ou +
∞.
•
si lim
x→a
u(x) = ℓ un réel strictement positif, alors lim
x→a
ln(u(x)) = ln ℓ ;
•
si lim
x→a
u(x) = +
∞, alors lim
x→a
ln(u(x)) = +
∞;
•
si lim
x→a
u(x) = 0
+, alors lim
x→a
ln(u(x)) =
−∞. Propriété 4.
Exemple 5
Soitf la fonction définie sur ] 1 ; +∞[ parf(x) = ln(x−1).
• lim
x→1+(x−1) = 0+ donc, lim
x→1+ln(x−1) =−∞;
• lim
x→+∞(x−1) = +∞donc, lim
x→+∞ln(x−1) = +∞. x−1>0⇔x >1
http://mathematiques.daval.free.fr 1/3 Lycée Georges Brassens
Ch.04
Fonctions logarithmes
TaleSTI2D3.3 Dérivée
Soit I un intervalle de
R, et u une fonction strictement positive et dérivable sur I, alors la fonction x
7→ln[u(x)] est dérivable sur I de dérivée
ln[u(x)]
′= u
′(x) u(x) Propriété 6.
Exemple 7
Soitf la fonction définie surRparf(x) = ln(x2+ 1).
Le polynômeudéfini paru(x) =x2+ 1 est strictement positif et dérivable surRde dérivée u′(x) = 2xdonc,f est dérivable surRde dérivéef′(x) = 2x
x2+ 1. x2+ 1est toujours
strictement positif
3.4 Primitive
après le chapitre primitive
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I de
Rtelle que, pour tout x de I , u(x) est strictement positif.
Les primitives de la fonction f définie sur I par f (x) = u
′(x)
u(x) sont les fonctions F de la forme F (x) = ln(u(x)) + c où c est une constante réelle.
Propriété 8.
Exemple 9
La fonctionf définie sur ] 0 ;π[ parf(x) = cosx
sinx admet comme primitive toute fonction du typeF(x) = ln(sinx) +c.
sinx >0sur] 0 ;π[
http://mathematiques.daval.free.fr 2/3 Lycée Georges Brassens
Ch.04
Fonctions logarithmes
TaleSTI2D4 Résolution d’équations et d’inéquations
4.1 Équations
Soit u une fonction définie et strictement positive sur I, on a :
•
pour tout v strictement positive sur I, l’équation ln(u) = ln(v) possède comme unique solution u = v ;
•
pour tout réel λ, l’équation ln(u) = λ possède comme unique solution le nombre u = e
λ.
Propriété 10.
ln(u) =λln(e)
= ln(eλ)
Exemple 11
• DansR+∗, l’équation ln(x) = 4 admet comme solution,x=e4.
• DansR+∗,2 ln(x)−ln(x3) =−5⇐⇒ln(x2)−ln(x3) = ln(e−5)
⇐⇒ln x2
x3
= ln(e−5)
⇐⇒ln
1
x
= ln(e−5)
⇐⇒ 1 x = e−5
⇐⇒x= e5.
4.2 Inéquations
Pour toutes fonctions u et v strictement positives, on a les résultats suivants :
•
ln(u) < 0 équivaut à 0 < u < 1 ;
•
ln(u) > 0 équivaut à u > 1 ;
•
ln(u) < ln(v) équivaut à u < v.
Propriété 12.
ln(u) = 0⇔u= 1
Exemple 13
Résolution de l’équation ln(x2−4)<ln(3x) sur ] 2 ; +∞[ :
• ln(x2−4)<ln(3x)⇐⇒x2−4<3x
⇐⇒x2−3x−4>0.
• on cherche les racines du trinôme, on trouve ∆ = 25, doncx1=−1 etx2= 4.
Le trinôme est du signe dea= 1, donc positif sauf entre ses racines −1 et 4 d’où :
• S= ( ]− ∞;−1 [∪] 4 ; +∞[ )∩] 2 ; +∞[ = ] 4 ; +∞[.
http://mathematiques.daval.free.fr 3/3 Lycée Georges Brassens
