Fonctions logarithmes

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Fonctions logarithmes

Nom d’´ etudiante: ATSAGMO sidonie

Nom encadreur ENS: Dr CIAKE CIAKE Fid` ele Nom encadreur inspecteur: Mr SIELINOU Damasse

Nom encadreur Professeur du lyc´ ee: Mr MEGAMTCHE Luc Calvin

Le 14 mai 2013

Table des mati` eres

1 INTRODUCTION 2

2 Rappels et utilisations 2

2.1 Objectifs p´edagogiques . . . 2

2.2 Pr´erequis . . . 2

2.3 Historique . . . 2

2.4 Utilisations . . . 3

3 Fonction logarithme NEPERIEN 4 3.1 Activit´es . . . 4

3.2 Définitions et propriétés . . . 7

3.3 Etude de la fonction´ ln :x7→lnx . . . 11

3.3.1 Le nombre e . . . 11

3.3.2 D´eriv´ee et sens de variation de la foncton ln. . . 11

3.3.3 Calculs des limites. . . 12

3.3.4 Repr´esentation graphique de la fonction ln:x7→lnx . . . 17

3.4 Résolution des équations et inéquations avec le symbole ln . . . 17

3.5 Etude des fonctions de la forme´ lnu . . . 20

3.5.1 D´eriv´ee de la fonction lnu . . . 20

3.5.2 Primitive de ^u_u⁰ . . . 21

3.5.3 Exemple d’´etude des fonctions comportantln . . . 23

4 Les fonctions logarithmes 25 5 Logarithme de base a , a >0, a6= 1 26 5.1 Définitions et propriétés . . . 26

5.2 Logarithme d´ecimal Quelques utilisations . . . 27

5.3 Quelques utilisations du Logarithme d´ecimal . . . 28

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1 INTRODUCTION

Nous avons commencé à étudier les fonctions depuis la classe de seconde et nous intro- duisons en terminale les fonctions logarithmes. La notion du logarithme fut introduite par le mathématicien écossais NAPIER en 1614, c’est par la suite qu’on définira les fonctions logarithmes. C’est après que les logarithmes se développent et vont trouver des applications : en arithmétique ; en probabilité ; en statistique ; en chimie ; en physique ; en médecine etc...

La particularit´e des logarithmes fonctions est qu’elles transforment les produits en sommes.

2 Rappels et utilisations

2.1 Objectifs p´ edagogiques

soit u une fonction numérique telle que u:x7→u(x) , alors après le cours sur les fonctions logarithmes, l’élève doit être capable :

– d’´etudier et tracer la fonctions f :x7→ln(u(x)), – d’´etudier et tracer la fonctions f :x7→ln|u(x)|,

– d’´etudier et tracer la fonctions f :x7→log_au(x) , avec a∈R^∗+− {1}

– de d´eterminer des primitives des fonctions ^u_u⁰.

– d’étudier et tracer les fonctionsf_m (où m est un paramètre réel) dépendant à la fois dem , x et comportant ln,

– de résoudre les équations et inéquations comportantln ainsi que les systèmes d’équations et inéquations comportant ln.

2.2 Pr´ erequis

Les fonctions logarithmes sont des fonctions et diffèrent des autres par leurs notationslnou log oulog_a. Ainsi, pour les aborder l’élève doit être capable de connaˆıtre les notions suivantes :

– La monotonie d’une fonction.

– Les primitives d’une fonction continue.

– Propri´et´es des primitives des fonctions continues sur un intervalle.

– L’étude générale des fonctions.

– L’étude des fonctions x7→ ^k_x oùk est un nombre réel non nul.

2.3 Historique

Le mot logarithme vient de deux mots latins :”logos” qui signifie ”raisons(rapports)” et de ”arithmos” qui signifie ”nombres”. Ce mot est utilisé pour la première fois par l’écossais John NAPIER.

En 1614,il a publié un ouvrage intitulé le ”Mirifici logarithmorum canonis descriptio”, utilisant une approche cinématique, il met en relation une suite géométrique et une suite arithmétique. La première est celle des distances parcourues à une vitesse proportionnelle à elles-mêmes, la seconde est celle des distances parcourues à vitesse constante qui sont donc les

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logarithmes. L’unit´e choisie est de 107, et l’ouvrage comprend une table des logarithmes des sinus.

En1619parait un second ouvrage intitul´e le”Mirifici logarithmorum canonis construc- tIo”o`u l’auteur explique comment calculer les logarithmes. Cet ouvrage est posthume puisque NAPIER meurt le 04 avril 1617.

Un mathématicien britanique au nom de Henry BRIGGS décolle l’importance des travaux de NAPIER et se déplace pour l’Ecosse pour rencontrer ce dernier. BRIGGS a reprit l’idée fondamentale de NAPIER mais en adoptant une suite géométrique simple, celle des puissances de10, il publie en 1617une première table avechuit décimales. Le logarithme d’ un nombre x est donc défini comme l’exposant dedix(10), tel quex soit égal à 10 puissance ln.BRIGGS meurt le 26 Janvier 1630.

Pour simplifier les calculs le suisse B ÜRGI, proposait à la même époque de mettre en correspondance une suite arithmétique et une suite géométrique. Ces travaux sont publiés en1620

LES PREMIERES UTILISATIONS

Les logarithmes ont commencé à se développer enAllemagne. En1617,KEPLER fortui- tement à VIENNE, a l’occasion de consulter le premier ouvrage deNAPIERle parcourant rapidement, il commet une erreur d’interprétation, puisqu’il se dit queNAPIERn’a pas utilisé la notion de sinus qui était nécessaire pour lui que ce soit dans un triangle plan ou sphérique.

Il reconnait son erreur et se montre enthousiaste de ce nouveau calcul en 1618 quand il lit l’ouvrage de Benjamin URSINUS (math´ematicien allemand 1587-1633) :”Trigonometria Logarithme John NAPIER”.

En 1619 enfin, le livre ” Mirifici logarithmorum descriptio” arrive `a Linz chez KE- PLER, lequel entreprend assez rapidement d’en modifier le concept pour l’adapter `a ses besoins.

Son adhésion est telle qu’il dédie ses éphémérides de 1620 ou ”célèbre et noble seigneurJohn NAPIER, baron de MERCHISTON”.

2.4 Utilisations

LES UTILISATIONS DES FONCTIONS LOGARITHMES.

a) Les utilisations en chimie.

On l’utilise pour évaluer l’acidité ou la basicité d’une solution aqueuse.(pour calculer le ph) b)L’utilisation en probabilité et en statistique.

Elle est fondée sur les principes statistiques, elle est particulièrement adaptée à des si- tuations stables ou répétitives. Elle conduit à déterminer la probabilité de dépassement de la valeur limite, à partir du calcul de l’écart géométrique et de la moyenne géométrique. Grâce aux fonctions logarithmes, on corrige une distribution de variable trop dissymétrique et réduit l’influence de grandes valeurs qui pourraient être atypiques. Ceci justifie en considérant que dans certains systèmes naturels,des effets peuvent être modélisés par des facteurs multiplicatifs plutôt que additifs.

c)L’utilisation en physique.

d)L’utilisation en m´edecine.

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3 Fonction logarithme NEPERIEN

3.1 Activit´ es

Activit´e 3.1.

Nous nous int´eressons ici `a la recherche d’ une correspondance entre nombres positifs qui transformerait les produits en sommes.

A) Cherchons les fonctions f telles que : ∀a, b∈R⁺ f(ab) =f(a) +f(b)(I) 1. En posant a=b= 1 dans (I), calculer f(1).

2. Montrer que si f est d´efinie pour x= 0 alors f est la fonction nulle.

3. On d´efinit donc cette fonction sur ]0; +∞[. Soit a >0 on pose g(x) =f(ax)−f(x).

Montrer que g est une fonction constante

4. En d´eduire la valeur de g⁰(x) pour tout x∈]0; +∞[.

5. On pose f⁰(1) =k. Donner l’expression de f⁰(a) en fonctiona et de k.

6. Montrer que f est la primitive de la fonction x7→ ¹_x sur ]0; +∞[, qui s’annule en 1.

B)Soit k∈R, la fonction x7→ ^k_x est continue sur ]0; +∞[, donc elle admet des primitives sur cet intervalle. Soit f_k celle qui s’annule en 1.

Soit y >0, on d´efinie la fonction h_k par :h_k(x) = f_k(xy)−f_k(x)−f_k(y); 1. V´erifier que h_k(1) = 0.

2. Justifier que h_k est dérivable sur R^∗+et que sa dérivée est la fonction nulle.

3. D´eduire de 1) et 2) que fk v´erifie fk(xy) = fk(x) +fk(y).

Solution de l’activit´e 3.1.

A) On a ∀a, b∈R⁺ f(ab) =f(a) +f(b)(I)

1. Posons a=b = 1 dans (I) alors f(1) =f(1.1) =f(1) +f(1) donc f(1) = 2f(1)⇒f(1) = 0.

2. Supposons que f est d´efinie pour x= 0 on a :

∀a∈R, f(0) =f(0.a) =f(0) +f(a)

⇔f(0) =f(0) +f(a)

⇔f(a) = 0 ∀a∈R

⇔f ≡0.

3. On d´efinit la fonction f sur ]0; +∞[. Soit a >0 posons g(x) = f(ax)−f(x)

alors g(x) =f(a) +f(x)−f(x) =f(a) c’est-`a dire que g(x) =f(a) et f(a) ne depend

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pas de x. D’o`u g est une fonction constante.

4. D´eduction de g⁰(x) pour x∈]0; +∞[.

∀x∈]0; +∞[, g⁰(x) =f⁰(a) = 0⇒ ∀x∈]0; +∞[g⁰(x) = 0.

5. Montrons que g⁰(1) =af⁰(a)−f⁰(1) = 0. Posons ϕ(x) =ax.

∀x∈]0; +∞[, g⁰(x) = (f ◦ϕ)⁰(x) =ϕ⁰(x)×f⁰◦ϕ(x)−f⁰(x) =af⁰(ax)−f⁰(x) g⁰(1) =af⁰(a)−f⁰(1) or d’apr`es 4), g⁰(x) = 0∀x∈]0; +∞[

g⁰(1) =af⁰(a)−f⁰(1) = 0.

6. Posons f⁰(1) =k. Exprimons f⁰(a) en fonction de a et de k.

D’après 5) af⁰(a)−f⁰(1) = 0 d’où af⁰(a)−k = 0 c’est-à dire af⁰(a) = k

Donc f⁰(a) = ^k_a

7. Montrons que f est la primitive de la fonction x7→ ^k_x sur ]0; +∞[ qui s’annule en 1.

On a : f⁰(a) = ^k_a avec a > 0. Comme a est quelconque dans ]0; +∞[, alors ∀x ∈ ]0; +∞[, f⁰(x) = ^k_x donc f est la primitive de la fonction x 7→ ^k_x sur ]0; +∞[ qui s’annule en 1 car f(1) = 0 d’apr`es 1).

B) Soit y >0, on d´efinie h_k(x) =f_k(xy)−f_k(x)−f_k(y); 1. v´erifions que hk(1) = 0.

On a :

hk(1) = fk(y)−fk(1)−fk(y)

= f_k(y)−f_k(y)

= 0,

donc h_k(1) = 0 .

2. fk est une primitive de gk, elle est donc dérivable et par suite hk est dérivable comme somme de fonctions dérivables.

h⁰_y(x) = f_k⁰(xy)−f_k⁰(x)−f_k⁰(y)

= yf_k⁰(xy)−f_k⁰(x)−0 ;carfk(y)ne d´epend pas de x

= yg_k(xy)−g_k(x)

= y k xy − k

x

= k x − k

x

= 0.

D’o`u h⁰_y(x) = 0

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3. D´eduction.

D’apr`es la question 2, h⁰_y(x) = 0 ce qui implique R

h⁰_y(x)dx=C avec c∈R

c’est-`a-dire queh_y(x) =c o`u c∈Ret ∀x∈R, montrons que c= 0. Supposons que c6= 0, alors on a ,

h_y(1) = c6= 0 absurde car h_y(1) = 0, d’apr`es la question 4.

par cons´equent h_y(x) = 0, ∀x, y ∈R donc f_k(xy)−f_k(x)−f_k(y) = 0

⇔ fk(xy) = fk(x) +fk(y), ∀x, y ∈R.

Remarque 3.1.

Une fonction v´erifiant la relation (I) s’annule en 1.

Activit´e 3.2.

1. ´Etudier et tracer la fonction f :x7→ ¹_x, on notera (C) sa courbe repr´esentative.

2. Justifier que cette fonction admet des primitives sur ]0; +∞[.

3. Justifier qu’une seule de ces primitives transforme les produits en sommes.

4. Donner le sens de variation de ces primitives sur ]0; +∞[.

5. Sachant que une de ces primitives s’annule en1, donner l’allure de sa courbe sur ]0; +∞[.

f(x) = ¹_x

1. ´Etude et trac´e de f.

a)Domaine de d´efinition de f

∀x∈R, f(x) existe si et seulement si x6= 0. D_f =]− ∞; 0[∪]0; +∞[.

b) Limites de f aux bornes de D_f et asymptotes.

– lim

x→−∞f(x) = lim

x→−∞(¹_x) = 0 – lim

x→+∞f(x) = lim

x→+∞(¹_x) = 0 – lim

x→0⁺f(x) = lim

x→0⁻(¹_x) =−∞

– lim

x→0⁺f(x) = lim

x→0⁺(¹_x) = +∞

Nous pouvons donc conclure que :

– La droite (D) d’´equationy = 0est asymptote horizontale `a (C).

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– La droite (L) d’´equationx= 0est asymptote verticale `a (C).

c) D´eriv´ee, sens de variation et tableau de variation de f.

∀x ∈ D_f, f⁰(x) = −_x¹2 ; ainsi f⁰(x) ne s’annule pas sur D_f de plus ∀x ∈ D_f, f⁰(x) <

0donc f est strictement d´ecroissante sur ]− ∞; 0[ et sur ]0; +∞[.

Tableau de variation

x −∞ 0 +∞

f⁰(x) − −

0 +∞

f(x) & &

−∞ 0

f n’est pas d´efinie en0 etf(x) ne s’annule pas surDf, donc la courbe def ne rencontre pas les axes.

Trac´e de f

2. La fonctionf est continue sur]0; +∞[, donc elle admet des primitives sur cet intervalle.

3. Toute fonction transformant un produit en une somme s’annule en 1. De plus f admet des primitives sur ]0; +∞[,0 ∈ R,1 ∈]0; +∞[, alors il existe une primitive de f sur ]0; +∞[et une seule qui prend la valeurs 0 en 1.

D’o`u une seule des primitives def transforme un produit en une somme.

4. Sens de variation des primitives sur ]0; +∞[.

∀x∈]0; +∞[, f(x)>0, donc si nous d´esignons par F une primitive de f sur ]0; +∞[, F est strictement croissante sur ]0; +∞[ et F(1) = 0.

5. Allure de la courbe de F.

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Remarque 3.2. La primitive F de la fonction f qui s’annule en a est d´efinie par : F(x) =Rx

a f(t)dt.

3.2 D´ efinitions et propri´ et´ es

D´efinition 3.1.

La fonction logarithme N ÉP ÉRIEN est la primitive sur ]0; +∞[ de la fonction x7→ _x¹ qui s’annule en 1.Cette fonction est notée provisoirement parln. C’est donc l’application de]0; +∞[

dans R d´efinie par :

ln:]0; +∞[ → R x 7→

Z x 1

1 tdt.

Cons´equences imm´ediates.

– La fonction ln est d´efinie sur ]0; +∞[˙

– ln(1)=0.

– La fonction d´eriv´ee de la fonction ln est la fonction x7→ _x¹ pour tout x∈]0; +∞[˙

– Comme la fonction ln est d´erivable sur ]0; +∞[ elle y est continue.

– Elle est strictement croissante sur ]0; +∞[.

Propriété 3.1. :(de dérivabilité)

La fonction ln est dérivable sur ]0; +∞[ et admet pour fonction dérivée sur cet intervalle la fonction x7→ _x¹ .

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Activit´e 3.3.

1. Comparer les nombres suivants :

– ) ln(3)+ln(2) et ln(6) ;ln(3)+ln(5) et ln(15) ; ln(4)+ln(7) et ln(28).

– ) ln(¹₂) et ln(2) ; ln(¹₃) et ln(3); ln(¹₅) et ln(5);

ln(²₃) et ln(2)−ln(3) ; ln⁴₅ et ln(4)−ln(5) ;ln(¹¹₉ ) et ln(11)−ln(9).

2. Calculer les quotients suivants :

ln2³

ln2 ;^ln3_ln3⁴ ;^ln5_ln5⁻²;^ln2

3 4

ln2 . Que constatez-vous ?

Laisser aux lecteurs.

Activit´e 3.4.

Soit x ∈ R^∗+ ; et la fonction g : y 7→ ln(xy). Notre but est de comparer ln(xy) et ln(x) +ln(y).

1. Montrer que g est dérivable sur ]0; +∞[ et calculer sa dérivée.

2. Montrer qu’il existe α ∈R tel que g(y) = ln(y) +α.

3. En calculant g(1), justifier que ln(x) = α. Conclure.

Soit x∈R^∗+, consid´erons la fonction g :y 7→ln(xy).

1. g est la composée de la fonction y7→xy dérivable sur]0; +∞[ et de la fonctiony 7→lny dérivable sur ]0; +∞[, donc g est dérivable sur ]0; +∞[.

On a g⁰(y) =x(ln⁰(xy)) =x._xy¹ = ¹_y

2. D’apr`es la question 1, g est une primitive sur ]0; +∞[ de la fonction y 7→ _y¹, d’o`u g(y) =R ₁

tdt, ainsi, il existe α∈R tel que g(y) =ln(y) +α. (*) C’est `a dire ∀y >0 on a : g(y) =ln(y) +α.

3. on a g(1) =ln(1) +α=α car ln(1) = 0

De plus g(1) =ln(1.x) =ln(x) donc α=ln(x). (**) Conclusion.

En reportant (**) dans (*), on obtient g(y) = ln(y) +ln(x).

D’o`u ln(xy) =ln(y) +ln(x).

D’où la propriété suivante :

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Propri´et´e 3.2. (fondamentale).

Pour tous nombres r´eels aetb strictement positifs, on a : ln(a.b) = ln(a) +ln(b).

Exercice d’entrainement 1.

Ecrire plus simplement :´

ln2 +ln3; ln7 +ln3; ln5 +ln2; ln2 +ln11.

Activit´e 3.5. . Soit a, b∈R^∗+.

L’objectif de cette activit´e est d’exprimerln(¹_a) etln(aⁿ) en fonction delna d’une part et ln(^a_b) en fonction de lna et lnb d’autre part.

1. En remarquant que â_a = a.¹_a et en utilisant la propriété fondamentale, montrer que ln(¹_a) = −lna.

2. Utiliser 1 et la propriété fondamentale pour montrer que ln(â_b) =ln(a)−ln(b).

3. Montrer que ∀n ∈Z, lnaⁿ=n.lna 4. Montrer que ∀r ∈Q, lna^r =r.lna

Soit a, b∈R^∗+ n∈Z r∈Q

1. On a :ln(1) =ln(â_a) =ln(a.¹_a) = ln(a) +ln(¹_a) Donc ln(a) +ln(¹_a) = 0 d’où ln(_a¹) =−ln(a) 2. ln(â_b) = ln(a.¹_b) =ln(a) +ln(¹_b)

=ln(a)−ln(b) d’apr`es (i).

Donc ln(^a_b) =ln(a)−ln(b).

3. pour n = 0, on a :ln(a⁰) =ln(1) = 0 et donc 0.ln(a) = 0 Donc ln(a⁰) = 0.ln(a)

Si n > 0 ,alors ln(aⁿ) =ln(a×a× · · · ×a

| {z } n fois

) =ln(a) +ln(a) +...+ln(a)

| {z }

n fois

=n.ln(a).

Donc ln(aⁿ) =n.ln(a).

Si n < 0 , alors il existe m∈N tel que n=−m et on a ln(aⁿ) = ln(a^−m)

= ln( 1 a^m)

= −ln(a^m), d⁰apr/‘es1

= −mln(a)

= nln(a)

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Ainsi ∀n∈Z, ln(aⁿ) = nln(a).

4. Si r ∈Q, alors il existe (p, q)∈ZXZ^∗ tels que r= ^p_q, ainsi ln(a^r) =ln(a^p^q)

qln(a^p^q) =ln((a^p^q⁾^q) = ln(a^p) =p.ln(a)

ceci implique ln(a^p^q) = ^p_qln(a) = rln(a) donc ,ln(a^r) =rln(a) ∀r∈Q

Propri´et´e 3.3.

Soient a et b deux nombres r´eels strictement positifs, soit r∈Q alors on a : (1) ln(_a¹) =−lna; (2) ln(^a_b) = ln(a)−ln(b)

;(3) lna^r =r.lna.

En particulier pour a= 10 ; (3) donne ∀n ∈Z, ln(10ⁿ) = nln(10) Remarque 3.3. :

En particulier, ∀a ∈R^∗+, on a : 1. ln√

a=lna¹² = ¹₂lna.

2. ln√ⁿ

a=lnaⁿ¹ = ¹_nlna∀n ∈N^∗. Exercice d’application 1.

Ecrire plus simplement : a)´ ln14−ln7 ; b) ln⁵₂ +ln²₅ ;c) ^ln100_ln10 ; d)ln8−ln12 +ln15 ; e) lLn10000 +ln0,01 ;f ) ln(3−2√

2) +ln(3 + 2√ 2) R´esolution 1.

a)ln14−ln7 =ln¹⁴₇ =ln2

b)ln⁵₂ +ln²₅ =ln(⁵₂.²₅) =ln^5.2_2.5 =ln1 = 0 c)^ln100_ln10 = ^ln10_ln10² = ^2ln10_ln10 = 2

d)ln8−ln12 +ln15 =ln₁₂⁸ +ln15 =ln²₃ +ln15 =ln(²₃.15)

=ln(2.5) =ln2 +ln5

e)ln10000 +ln0,01 =ln10⁴+ln10⁻² = 4ln10−2ln10 = 2ln10 f )ln(3−2√

2) +ln(3 + 2√

2) = ln(3−2√

2)(3 + 2√

3) =ln(9−8) = ln1 = 0.

1. Mettre les nombres suivants sous la forme αlna ou αlna+βlnb o`u a, b∈R^∗+ : ln21 ; ln3√

5 ; ln3√⁴

2 ; ln(¹₅ ; ln(

√ 8

11) ; ln16; ln33 ; ln27.

(12)

2. Exprimer chacun des nombres suivants en fonction de ln5 et de ln2 : ln10 ; ln2√

5 ; ln(5√ⁿ

2) o`u n∈N^∗ ; ln(₂₅²) ; ln(⁸₅) ; ln(²⁵₁₆).

3.3 Etude de la fonction ´ ln : x 7→ lnx

Ensemble de d´efinition de la fonction ln.

La fonctionln est d´efinie sur R^∗+.

3.3.1 Le nombre e

La fonction Ln est continue et strictement croissante sur ]0; +∞[ ; donc elle réalise une bijection de ]0; +∞[ dansR. Donc il existe une unique valeur de xtelle que lnx= 1 ; ce réel x est notée et lne= 1. En utilisant une calculatrice on trouve e'2,7182881828

Remarque 3.4. Pour tout nombre r´eelr, on a : lne^r =r.

3.3.2 D´eriv´ee et sens de variation de la foncton ln.

La fonction ln est dérivable sur ]0; +∞[ et sa dérivé est la fonction :x7→ _x¹.

∀x∈]0; +∞[, ¹_x >0 donc ln est strictement croissante sur ]0; +∞[.

Activit´e 3.6.

Soient a et b∈R^∗+.

a)Sachant que lna=lnb, comparer a et b.

b)Sachant que lna < lnb, comparer a et b.

R´eciproquement, comparer lna et lnb : – si a=b

– si a < b

Il suffit juste d’utiliser le sens de variation de la fonction ln pour avoir le r´esultat.

On en déduit les propriétés suivantes :

Propri´et´e 3.4.

∀a, b∈]0; +∞[ on a :

(i) lna=Lnb si et seulement si a=b.

(ii) lna < lnb si et seulement si a < b.

Remarque 3.5.

En particulier on a :

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– ) lnx= 0⇔x= 1.

– ) lnx <0⇔x∈]0; 1[.

– ) lnx >0⇔x∈]1; +∞[.

3.3.3 Calculs des limites.

Activit´e 3.7.

1. Calculer lim

x→1 lnx

x−1 en utilisant la définition du nombre dérivé.

2. D´eduire de 1, lim

x→0

ln(1+x) x . Solution de l’activit´e 3.7.

1. La fonction ln est dérivable en 1 et son nombre dérivé est 1 En effet par définition du nombre dérivé, on a : lim

x→1

f(x)−f(1)

x−1 =f⁰(1) , donc lim

x→1

lnx−ln1

x−1 =f⁰(1).

Or ln1 = 0 et ln⁰(x) = _x¹, c’est `a dire f⁰(1) = ¹₁ = 1.

Donc, lim

x→1 lnx x−1 = 1.

2. Posons X =x+ 1doncx=X−1; quandx→0, X →1,ainsi lim

x→0

ln(1+x)

x = lim

X→1 lnX X−1 = 1, d’apr`es (i).

Il en r´esulte que lim

x→0

ln(1+x)

x = 1.

On en déduit la propriété suivante : Propriété 3.5. :

(i) lim

x→1 lnx

x−1 = 1; (ii) lim

x→0

ln(1+x) x = 1.

Exercice d’application 2.

Calculer : a)lim

x→1 lnx

x³−1 ; b) lim

x→0

ln(1+x²) x² . c)lim

x→0

ln(1−x²)

x ; d) lim

x→+∞ xln(1 + _x¹).

R´esolution 2.

a) On a : _x^lnx3−1 = _x−1^lnx._x2+x+1¹ x→1lim

lnx

x³−1 = lim

x→1 lnx

x−1._x2+x+1¹ = ¹₃.

b)Posons 1 +x² =X ⇒x² =X−1, alors quand x→0, X →1 ainsi, lim

x→0

ln(1+x²)

x² = lim

X→1 lnX X−1 = 1.

(14)

On peut aussi poser x² =X, alors quand x→0, X →0 ainsi, lim

x→0

ln(1+x²)

x² = lim

X→0

ln(1+X)

X = 1.

c)On a : ^ln(1−x_x ²⁾ = ln(1−x)(1+x)

x = ln(1−x)+ln(1+x) x x→0lim

ln(1−x²)

x = lim

x→0

ln(1−x)

x + 1

Posons 1−x=X ⇒x= 1−X , quand x→0, X →1.

x→0lim

ln(1−x)

x = lim

X→0 −_X−1^lnX =−1.

D’o`u lim

x→0

ln(1−x²)

x =−1 + 1 = 0.

d)Posons X = _x¹ , quand x→+∞, X →0 ,xln(1 + _x¹) = ^ln(1+

1 x)

1 x

= ^ln(1+X_X ⁾ d’o`u lim

x→+∞xln(1 + ¹_x) = lim

X→0

ln(1+X)

X = 1.

Donc lim

x→+∞xln(1 + ¹_x) = 1.

Calculer : a)lim

x→1

3x+2lnx

(x−1)² . b)lim

x→2 (^ln(x−1)_x−2 + ¹_x).

c) lim

x→−1

x²+3+ln(x+2)

x+1 . d)lim

x→0

x−5+ln(1+x) x² . Activit´e 3.8. .

La fonction ln est croissante.

1. Montrer qu’elle est non major´ee.

2. En d´eduire la valeur de lim

x→+∞lnx.

3. En utilisant le changement de variable u= _x¹, et le r´esultat de 2, calculer lim

x→0⁺lnx.

Solution de l’activit´e 3.8. 1. Par l’absurde supposons que la fonction ln est major´ee, alors on a : lim

x→+∞lnx=l o`u l∈R.

Soit a∈]1; +∞[, posons u=ax quand x→+∞, u→+∞ , on a : l = lim

u→+∞lnu

= lim

x→+∞ln(ax)

= lim

x→+∞(lna+lnx)

= lna+ lim

x→+∞lnx.

Donc on obtient alors l =ln2 +l contradiction carln2>0(d’apr`es la remarque 3.5.

2. D’après ce qui précède, la fonction ln est croissante et non majorée, donc lim

x→+∞lnx= +∞.

(15)

3. Posons u= ¹_x,quand x→0⁺, u→+∞ on a alors lim

x→0⁺lnx= lim

u→+∞ln(_u¹) = lim

u→+∞(−lnu), car ln(_u¹) =−lnu.

Donc lim

x→0⁺lnx= lim

u→+∞lnu=−∞.

Il en r´esulte que lim

x→0⁺lnx=−∞.

On en déduit les propriétés suivantes : Propriété 3.6. :

(i) lim

x→+∞lnx= +∞; (ii)lim

x→0⁺lnx=−∞.

Comme lim

x→0⁺lnx =−∞ alors on en d´eduit que la droiteD :x = 0 est asymptote verticale

`

a la courbe de ln.

a) lim

x→0⁺ x−lnx ; b) lim

x→+∞ x−lnx c) lim

x→0⁺

1−cos2x

x²lnx ; d) lim

x→+∞ ln√ x+x

R´esolution 3.

a) lim

x→0⁺f(x) = lim

x→0⁺(x−lnx) = +∞ car lim

x→0⁺lnx=−∞

b) lim

x→+∞f(x) = lim

x→+∞(x−lnx) = lim

x→+∞x(1− ^lnx_x ) Or lim

x→+∞lnx= +∞ et lim

x→+∞(1− ^lnx_x ) = 1 + 0 = 1, donc lim

x→+∞x(1− ^lnx_x ) = +∞

c)On a : 1−cos2x= 2(1−cos²x) = 2sin²x donc ^1−cos2x_x2lnx = ^2sin_x2lnx²^x = _lnx² .^sinx_x .^sinx_x

Ainsi lim

x→0

1−cos2x

x²lnx = lim

x→0 2

lnx.^sinx_x .^sinx_x = 0.1.1 = 0.

d) lim

x→+∞ ln√

x+x= lim

x→+∞

1

2lnx+x= +∞.

Calculer : a) lim

x→+∞ln(1 +x) +ln(x−3). b) lim

x→+∞ (^x²^+2x+3_x2 − _lnx¹ ).

c) lim

x→0⁺(x³ −5)._x+3^lnx. d)lim

x→0⁺ x+2

lnx. Activit´e 3.9.

Soit f la fonction d´efinie sur ]1; +∞[ par f(t) = lnt−2√ t.

1. Montrer que f est dérivable sur ]1; +∞[ puis calculer sa dérivée.

2. Montrer que ∀t ∈]1; +∞[ 0< ¹_t < ^√¹

t.

(16)

3. En d´eduire un encadrement de ^lnx_x par deux fonctions qui tendent vers0 quand x→+∞.

Conclure.

4. En utilisant le changement de variable X = _x¹, et la conclusion pr´ec´edente, calculer lim

x→0⁺xlnx.

Consid´erons la fonction f d´efinie sur ]1; +∞[ par f(t) =lnt−2√ t.

1. f est dérivable sur ]1; +∞[ comme différence deux fonctions dérivables sur ]1; +∞[ et

∀t∈]1; +∞[ f⁰(t) = ¹_t −^√¹_t =

√t−t t√

t . 2. ∀t∈]1; +∞[ √

t < t donc √

t−t <0⇒ ¹_t −^√¹

t <0 c’est-`a dire ¹_t < ^√¹

t . De plus 0< ¹_t, on a donc 0< ¹_t < ^√¹

t.

3. En intégrant membre à membre l’inégalité on obtient les inégalités suivantes : 0<Rx

1 1

tdt <Rx 1

√1

tdt car x≥1 0< lnx <2[√

t]^x₁ = 2(√ x−1) 0< lnx <2[√

t]^x₁ −2 = 2√ x 0< ^lnx_x < ²

√x

x apr`es division de chaque membre par x. On a donc :0≤ lim

x→+∞

lnx

x ≤ lim

x→+∞

2√ x x . Mais lim

x→+∞

2√ x

x = 0 ; d’après le théorème des gendarmes, on conclure que lim

x→+∞

lnx x = 0.

4. Posons x= _X¹ , quandx→0⁺, X →+∞ on a doncxlnx= _X¹ln_X¹ = _X¹(−lnX) = −^lnX_X . Ainsi lim

x→0⁺xlnx= lim

X→+∞−^lnX_X =−^lnX_X = 0. D’o`u le r´esultat.

Propri´et´e 3.7.

(i) lim

x→+∞

lnx

x = 0. (ii) lim

x→0⁺xlnx= 0.

Comme lim

x→+∞

lnx

x = 0 alors (C) admet une branche parabolique de direction celle de (OI).

Calculer : a) lim

x→+∞

ln(x+5)

x+2 ; b) lim

x→+∞

√

ln(ex)+x x

c) lim

x→2⁺(x−2)ln(x−2); d) lim

x→0⁺ xⁿlnx−1 (n ∈N^∗); e) lim

x→0⁺

√xlnx.

R´esolution 4.

a)Posons x+ 5 =X quand x→+∞, X →+∞, ainsi lim

x→+∞

ln(x+5)

x+2 = lim

X→+∞

lnX X−3 = 0 D’o`u lim

x→+∞h(x) = 0.

(17)

b)

x→+∞lim

pln(ex) +x

x = lim

x→+∞

1

2(ln(ex) +x) x

= lim

x→+∞

1

2(ln(e) +lnx+x

x )

= lim

x→+∞

1

2(1 +lnx+x

x )

= lim

x→+∞

1 2(1

x+ lnx x + 1)

= 1 2. c)Posons x-2=X quand x→2⁺, X →0⁺, donc lim

x→2⁺(x−2)ln(x−2) = lim

X→0⁺XlnX = 0. d) Soit n ∈N^∗ ,

lim

x→0⁺ xⁿlnx−1 = lim

x→0⁺ x.xⁿ⁻¹lnx−1

= 0−1

= −1.

e)

x→0lim⁺

√xlnx = lim

x→0⁺

√xln√ x.√

x

= lim

x→0⁺

√x(ln√

x+ln√ x)

= lim

x→0⁺ (√ xln√

x+√ xln√

x)

= 0.

Calculer : a) lim

x→+∞

ln(x+1)

x ; b) lim

x→+∞

ln(x−5)

x−4 .ln(x+ 2); c) lim

x→0⁺x²(lnx+_x¹3); d)lim

x→0⁺(x⁵−6 +xln(³_x)).

Tangentes `a la courbe de la fonction ln.

On sait que si (T) est la tangente `a une courbe en un point d’abscisse x₀ alors son ´equation est de la forme :y=f⁰(x₀)(x−x₀) +f(x₀).

Ici f(x) = lnx , et f⁰(x) = ¹_x.

– Au point d’abscisse 1 (donc x₀ = 1).

On a : f(1) = 0 etf⁰(1) = 1⇒(T₁) :y=x−1.

– Au point d’abscisse e.

f(e) = lne= 1 et f⁰(e) = ¹_e ⇒(T_e) :y= ¹_e(x−1) + 1 = ¹_ex−^e_e + 1 = ¹_ex (T_e) :y= ¹_ex

(18)

3.3.4 Repr´esentation graphique de la fonction ln:x7→lnx – Tableau de variation de ln

x 0 +∞

f⁰(x) +

+∞

f(x) %

−∞

– Trac´e de la courbe

3.4 R´ esolution des ´ equations et in´ equations avec le symbole ln

Pour résoudre une équation ou inéquation comportant ln, on peut suivre la démarche suivante :

– Déterminer les contraintes sur l’inconnue.Ici on impose que toute expréssion sur laquelle ln agit soit strictement supérieure à 0.

– On ramène à une ou plusieurs égalités (ou inéquation) de la formelna =lnb(oulna < lnb ).

ATTENTION

– A chaque fois qu’on trouve un membre égal à zero on le remplacera par ln1 , quand on trouve un membre égal à 1 on le remplacera par lne^r, r ∈ Q et quand on trouve un membre égal àr on le remplacera par lne.

– Après avoir déterminé les contraintes sur l’inconnue on trouve un ensemble de solution notéS1. Puis après résolution de l’équation ou inéquation on ne prendra que les solutions qui sont dansS₁ qui seront donc les solution cherchées.

– Les formules les plus utilisées pour la transformation des équations ou inéquationssont les suivantes :

(19)

– lnu−lnv=ln(^u_v) – ln(_u¹) = −lnu – lnu+lnv=ln(uv) – lnuⁿ=nlnu

O`uu et v sont des fonctions telles que u(x)>0et v(x)>0 , et n un nombre rationnel.

– Pour certaines équations et inéquations on sera appelé à faire des changements de variable pour obtenir des équations ou inéquations du second degré ou bicarrés.

Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes : 1. lnx+ln(x−1) = ln2 +ln3

2. ln(x²+x) = 1

3. lnx+ln(4−x) = ln(2x−1) +ln3 4. 3ln²x−5lnx+ 2 = 0

5. 2lnx−1>0 6. lnx > ln(2x−1)

7. ln(x−1) +ln(x−2)≤ln(4−x) 8. ln²x+ (1−2ln2)lnx−2ln2≤0 R´esolution 5.

1. lnx+ln(x−1) = ln2 +ln3 :

L’équation a un sens si et seulement si x >0 et x−1>0 ceci équivaut àx >0 etx >1 donc x∈]1; +∞[

lnx+ln(x−1) =ln2 +ln3 ⇔ ln(x(x−1)) =ln(2.3)

⇔ ln(x²−x) =ln6

⇔ x²−x= 6

⇔ x²−x−6 = 0

∆ = 1 + 24 = 25 = 5² donc x₁ = ¹⁻⁵₂ =−2;x₂ = ¹⁺⁵₂ = 3 Seule le r´eel x₂ = 3 v´erifie la contrainte donc S ={3}

(20)

2. ln(x²+x) = 1 :

L’équation a un sens si et seulement si x²+x >0 ceci équivaut à x∈]− ∞;−1[∪]0; +∞[

ln(x²+x) = 1 ⇔ ln(x² +x) = lne

⇔ x²+x=e

⇔ x²+x−e= 0

∆ = 1 + 4e donc x₁ = ⁻¹⁻

√1+4e

2 ;x₂ = ⁻¹⁺

√1+4e 2

Les deux x₁et x₂ r´eels v´erifient la contrainte donc S ={⁻¹⁻

√1+4e

2 ;⁻¹⁺

√1+4e

2 }

3. lnx+ln(4−x) = ln(2x−1) +ln3

L’´equation a un sens si et seulement si x >0,4−x >0 et2x−1>0 donc x >0, x > ¹₂, et x <4 c’est-`a dire x∈]¹₂; 4[

lnx+ln(4−x) = ln(2x−1) +ln3 ⇔ ln(x(4−x)) =ln(3(2x−1))

⇔ x(4−x) = 3(2x−1)

⇔ 4x−x² = 6x−3

⇔ x²+ 2x−3 = 0

∆ = 4 + 12 = 16 = 4² donc x₁ = ⁻²⁻⁴₂ =−3 :x₂ = ⁻²⁺⁴₂ = 1 Seule le r´eel x₂ = 1 v´erifie la contrainte ; donc S ={1}

4. 3ln²x−5lnx+ 2 = 0

Cette ´equation a un sens si et seulement si x >0.

Posons X =lnx , alors l’´equation devient 3X²−5X+ 2 = 0

∆ = 25−24 = 1, X₁ = ⁵⁻¹₆ = ²₃, X₁ = ⁵⁺¹₆ = 1.

Pour X =X₁ = ²₃ on a :lnx= ²₃ = ²₃.1 = ²₃lne donc lnx=lne²³ d⁰o/‘u x=e²³.

Pour X =X₁ = 1 on a :lnx= 1⇔x=e.

S ={e;e²³} 5. 2lnx−1≥0

L’in´equation n’a de sens que si : x >0.

2lnx−1≥0 ⇔ 2lnx≥1

⇔ lnx≥ 1 2

⇔ lnx≥ 1 2.1

⇔ lnx≥ 1

2lne car lne= 1

⇔ lnx≥ln√ e

⇔ x≥√ e Donc S =] +√

e; +∞[,

(21)

6. lnx > ln(2x−1) on doit avoirx >0,2x−1>0 doncx >0, x > ¹₂ ⇔x > ¹₂, S1 =]¹₂; +∞[.

lnx > ln(2x−1) ⇔ x >2x−1

⇔ −x >−1

⇔ x <1, Or x∈]¹₂; +∞[, donc S =]¹₂; 1[.

7. ln(x−1) +ln(x−2)≤ln(4−x) elle a un sens si et seulement si :







x−1>0 x−2>0 4−x >0

⇔





 x >1 x >2 x <4 Donc S₁ =]2; 4[.

ln(x−1) +ln(x−2)≤ln(4−x) ⇔ Ln(x−1)(x−2)≤Ln(4−x)

⇔ (x−1)(x−2)≤4−x

⇔ x²−3x+ 2≤4−x

⇔ x²−2x−2≤0

∆ = 4 + 8 = 12 = (2√ 3)² x₁ = ²⁻²

√3

2 = 1−√

3;x₂ = ²⁺²

√3

2 = 1 +√ 3 donc S₂ =]1−√

3; 1 +√ 3[

S =S₁∩S₂ =]2; 4[∩]1−√

3; 1 +√ 3[

donc S₂ =]2; 1 +√ 3[

8. ln²x+ (1−2ln2)lnx−2ln2≤0

On doit avoirx >0. Posonslnx=X , l’in´equation devient :X²+ (1−2ln2)X−2ln2≤0

∆ = (1−2ln2)²+ 8ln2 = (1 + 2ln2)² X1 =−1 et X2 = 2ln2

Pour X =−1, lnx=−1⇔x=e⁻¹. Pour X = 2ln2 = ln4, lnx=ln4⇔x= 4.

D’o`u S = [e⁻¹; 4].

3.5 Etude des fonctions de la forme ´ lnu

Noter que lnu est aussi not´e ln◦u.

3.5.1 Dérivée de la fonction lnu Activité 3.10.

Soit u une fonction numérique, en utilisant la définition de la composée des fonctions, calculer la dérivée de la fonction lnu.

(22)

La fonction lnu est la compos´ee des fonctions f et g d´efinies par :f(x) =lnx et g(x) = u(x).

Par définition de la dérivée on a :

(lnu)⁰ = (f ◦g)⁰ =g⁰.(f⁰◦g) = u⁰.¹_u = ^u_u⁰.

Propri´et´e 3.8.

Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle K. La fonction lnu est dérivable et on a : (lnu)⁰ = û_u⁰.

Après avoir déterminé le domaine de définition des fonctions suivantes, calculer leur dérivée : 1. f(x) = ln√

x

2. f(x) = ln(2x² + 3x+ 4) 3. f(x) = ln(^x²^+3x−4_x ) R´esolution 6.

1. ∀x∈R, ln√

x existe si et seulement si x >0⇒√

x >0; D_f =]0; +∞[.

Posons u(x) = √

x, alors u⁰(x) = ₂^√¹_x; ln⁰(√

x) = ^u_u(x)⁰^(x) =

1 2√

√x

x = _2x¹ ln⁰(√

x) = _2x¹ .

2. ∀x∈R, ln(2x²+ 3x+ 4) existe si et seulement si 2x²+ 3x+ 4>0

∆ = 9−32 =−23<0 donc 2x²+ 3x+ 4>0∀x∈R D’o`u D_f =R.

Posons u(x) = 2x²+ 3x+ 4,alors u⁰(x) = 4x+ 3;

∀x∈R,(lnu)⁰(x) = ^u_u(x)⁰^(x) = _2x2^4x+3+3x+4

3. ∀x∈R, ln(^x²^+3x−4_x ) existe si et seulement si ^x²^+3x−4_x >0 c’est-`a-dire

x²+ 3x−4>0 x >0 ou

x² + 3x−4<0 x <0

ceci impliquex∈(]−∞;−4[∪]1; +∞[)∩]0; +∞[=]1; +∞[ oux∈]−4; 1[∩]−∞; 0[=]−4; 0[.

D_f =]−4; 0[∪]1; +∞[.

Posons u(x) = ^x²^+3x−4_x , alors u⁰(x) = ^x²_x⁺⁴2 ; (lnu)⁰(x) = ^(u_u(x)⁰^(x) = ^x²_x⁺⁴2 ._x2+3x−4^x = _x3+3x^x²⁺⁴²−4x.

3.5.2 Primitive de ^u_u⁰ Activit´e 3.11.

(23)

On consid`ere une fonction d´erivableu ne s’annulant pas sur un intervalleK.

a) Montrer que u est continue et en d´eduire qu’elle est de signe constant sur K.

b) Si u est strictement positive sur K, montrer que la fonction lnu est dérivable sur K et calculer sa dérivée.

c)Si u est strictement négative sur K, montrer que la fonction ln(−u) est dérivable sur K et calculer sa dérivée.

Conclure.

a)La fonction u est continue surK (car d´erivable) et ne s’annule pas sur K ; elle est donc de signe constante sur K.

b) Si u est strictement positive sur K,

alors la fonction lnuest dérivable sur K et (lnu)⁰ = û_u⁰. c) Si u est strictement négative sur K,

alors la fonction lnuest d´erivable sur K et (ln(−u))⁰ = ^−u_−u⁰.

On en déduit que la fonction ln|u| est une primitive sur K de û_u⁰. Propriété 3.9.

Soit uune fonction d´erivable et ne s’annulant pas sur un intervalleK. La fonction ^u_u⁰ admet pour primitive sur Kla fonction ln|u|.

Exemples

a) La primitive dex7→ ^cos_sinx^x sur ]0;^π₂[ est x7→ln|sinx|.

b) La primitive dex7→ _x3^3x+4x²^+8x−3²−3x+2 sur ]2; +∞[ est x7→ln|x³+ 4x²−3x+ 2|.

D´eterminer les primitives de la fonctionf sur l’intervalle K dans chacun des cas suivants : a)f(x) = _2x^4x−12−x+1 K=]1; +∞[

b)f(x) =tanx K=[0;^π₂[ c)f(x) = _4x2^4x+1+2x+3K =R d)f(x) = _3x+1¹ K=]− ¹₃; +∞[

R´esolution 7.

a)Posons u(x) = 2x²−x+ 1, alors ∀x∈]1; +∞[, f(x) = ^u_u(x)⁰^(x)

c’est-`a-dire F(x) =ln|u(x)|, donc sur ]1; +∞[, la primitive de f est donn´ee par : F(x) =ln|2x²−x+ 1|.

b)Posons u(x) = cosx, alors ∀x∈[0;^π₂[ , f(x) = ^sinx_cosx =−^u_u(x)⁰^(x)

c’est-`a-dire F(x) =−ln|u(x)|, donc sur [0;^π₂[ , la primitive de f est donn´ee par : F(x)|=−ln|cosx|.

c)Posons u(x) = 4x²+ 2x+ 3, alors ∀x∈R, f(x) =

1 2u⁰(x)

u(x)

c’est-`a-dire F(x) = ¹₂ln|u(x)|, donc sur R , la primitive de f est donn´ee par :

(24)

F(x) = ¹₂ln|4x²+ 2x+ 3|.

d)Posons u(x) = 3x+ 1, alors ∀x∈]−¹₃; +∞[, f(x) =

1 3u⁰(x)

u(x)

c’est-`a-dire F(x) = ¹₃ln|u(x)|, donc sur ]− ¹₃; +∞[ , la primitive de f est donn´ee par : F(x) = ¹₃ln|3x+ 1|.

Dans chacun des cas suivants, d´eterminer un intervalle I et une fonction F qui soit une primitive de f sur I : a)f(x) = _x+1¹ ; b)f(x) = _2−x¹ ; c)f(x) = _sinxcosx¹

d)f(x) = _3x^2(3x+1)2+2x−2 ; e) f(x) = _(x+1)⁴ 3

3.5.3 Exemple d’´etude des fonctions comportant ln

Dans ce paragraphe , (C) d´esigne la courbe repr´esentative de la fonction f.

Etude de la fonction´ f d´efinie parf(x) = ln(x+ 1)−ln(3−x).

a) Domaine de d´efinition.

Soit x∈R, f(x) existe si et seulement si x+ 1>0 et 3−x >0 On a :x >−1 et x <3⇔x∈]−1; 3[

D_f =]−1; 3[.

b) D´eriv´ee de f.

∀x ∈ Df, f⁰(x) = _x+1¹ + _3−x¹ = _(x+1)(3−x)^3−x+x+1 = _−x2+2x+3⁴ . La d´eriv´ee de f ne s’annule pas et

∀x∈]−1; 3[,−x²+ 2x+ 3 >0 donc f⁰(x)>0 sur ]−1; 3[.

Donc f est strictement croissante sur ]−1; 3[.

c) Etude aux bornes du domaine de d´´ efinition.

– Posons x+ 1 =X ⇒x=X−1 , quandx→ −1⁺, X →0⁺; donc lim

x→−1⁺f(x) = lim

x→0⁺(lnX−ln4) =−∞.

– Posons 3−x=X ⇒x= 3−X , quand x→3⁻, X →0⁺; donc lim

x→3⁻f(x) = lim

x→0⁺(ln4−lnX) = +∞.

d)Branches infinies : -On a lim

x→−1⁺f(x) =−∞,

alors la droite d’´equation x=−1 est asymptote `a la courbe (C) de f. -On a aussi lim

x→3⁻f(x) = +∞,

donc la droite d’´equation x= 3 est asymptote verticale `a la courbe (C) de f. e)Tableau de variation

(25)

x −1 3

f⁰(x) +

+∞

f(x) %

−∞

f)Points de rencontre de la courbe avec les axes -Avec l’axe des abscisses.

f(x) = 0 ⇔ln(x+ 1)−ln(3−x) = 0

⇔ln(^x+1_3−x) =ln1⇔ ^x+1_3−x = 1⇔x+ 1 = 3−x⇔2x= 2⇔x= 1.

Donc la courbe coupe l’axe des abscisses au point A(1,0).

-Avec l’axe des ordonn´ees.

f(0) =ln1−ln3 = 0−ln3 =−ln3 = ln(¹₃).

Donc la courbe coupe l’axe des ordonn´ees au point B(0,−ln3).

g) Trac´e de f

Etude de la fonction´ f :x7→ _x−1^x +ln|x−1|.

a) Domaine de d´efinition.

Soit x∈R, f(x) existe si et seulementx−16= 0; soitx6= 1 Donc D_f =R\{1}.

b) D´eriv´ee de f.

∀x∈D_f, f⁰(x) = ^x−1−x_(x−1)2 +_x−1¹ = _x−1¹ (1− _x−1¹ ) = _(x−1)^x−22. Donc ∀x∈D_f, f⁰(x) = _(x−1)^x−22.

– ∀x∈]− ∞; 2[, x−2<0 , donc f⁰(x)<0 sur ]− ∞; 1[ et sur ]1; 2[ doncf est strictement

(26)

d´ecroissante sur ]− ∞; 1[ et sur ]1; 2[.

– ∀x ∈]2; +∞[, x−2 > 0 , donc f⁰(x) >0 sur ]2; +∞[ , donc f est strictement croissante sur ]2; +∞[.

c) Etude aux bornes du domaine de d´´ efinition.

Posons u(x) = _x−1^x et v(x) = ln|x−1|. Posons x−1 =X quand x→1X →0 , on a : – lim

x→−∞u(x) = 1et lim

x→−∞v(x) = +∞ d’o`u lim

x→−∞f(x) = +∞.

– lim

x→+∞u(x) = 1et lim

x→+∞v(x) = +∞d’o`u lim

x→+∞f(x) = +∞.

– lim

x→1⁺f(x) = lim

X→0[_X¹((X+ 1) +XlnX)] =−∞

– lim

x→1⁺f(x) = lim

X→0[_X¹((X+ 1) +XlnX)] = +∞

d)Branches infinies : – On a lim

x→1⁻f(x) =−∞

et lim

x→1⁺f(x) = +∞ ;

donc la droite d’´equationx= 1 est asymptote verticale `a la courbe (C) de f. – On a aussi lim

x→+∞f(x) = +∞ , lim

x→−∞f(x) = +∞ et f(x)

x =

x

x−1 −ln|x−1|

x

= x+ (x−1)ln|x−1|

x−1 .1 x

= 1

x−1 +ln|x−1|

x Donc lim

x→+∞

f(x)

x = 0 et lim

x→−∞

f(x) x = 0.

(C) admet une branche parabolique de direction celle de (OI).

e)Tableau de variation

x −∞ 1 2 +∞

f⁰(x) − − 0 +

+∞ +∞ +∞

f(x) & & %

−∞ 1

f)Points de rencontre de la courbe avec les axes

L’équation f(x) = 0 a pour solution x = 0 de plus f(0) = 0 donc la (C) rencontre l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées à l’origine.

g) Trac´e de f

(27)

4 Les fonctions logarithmes

Une fonction logarithme est la primitive qui s’annule en 1 sur ]0; +∞[ de la fonctionx7→ ^k_x( oùk est un nombre réel non nul). Il existe alors une infinité de fonction logarithme car R^∗ est infini.

Généralement on notera cette fonction parfk ; elle est définie comme suite : f_k :]0; +∞[ → R

x 7→

Z x 1

k tdt.

Des paragraphes précédents on déduit les propriétés suivantes : soit k un réel non nul soit x, y ∈R^∗+

1. La fonction f_k est dérivable sur ]0; +∞[ et sa dérivée est la fonction x7→ ^k_x . 2. ∀x, y ∈R^∗+, fk(xy) =fk(x) +fk(y).

3. f_k(_x)¹ =−f_k(x) 4. fk(^x_y) =fk(x)−fk(y) 5. ∀n∈Zf_k(xⁿ) =nf_k(x).

(28)

5 Logarithme de base a , a > 0 , a 6= 1

5.1 D´ efinitions et propri´ et´ es

D´efinition 5.1.

k est un réel non nul. L’unique réel strictement positif et différent de 1noté a tel que f_k(a) = 1 est appelé base a de la fonction logaritme f_k.

On rappelle que :f_k(x) = Rx 1

k

tdt et f_k(a) = 1 d’o`u f_k(a) = k.Ra 1

1

tdt=k.lna. Or f_k(a) = 1 , donc k= _lna¹ .

D´efinition 5.2.

On appelle fonction logarithme de base a et on note log_a , la fonction f_k avec k = _lna¹ . Ainsi pour tout x, un r´eel positif non nul, log_a(x) = ^lnx_lna

Les fonctions logarithmes de base ont les mêmes propriétés que la fonction logarithme népérien.

Activit´e 5.1.

On suppose que x et y sont deux nombres r´eels strictement positifs.

Soit g la fonction x7→log_a(x), x > 0.

1. Calculer g(xy) 2. Calculer g(^x_y) 3. Calculer g(_x¹)

4. Calculer g(x^r), r∈Q^∗. Solution de l’activit´e 5.1.

1. g(xy) =log_a(xy) = ^ln(xy)_lna = ^lnx+lny_lna = ^lnx_lna +_lna^lny =g(x) +g(y).

2. g(^x_y) = ^ln

x y

lna = ^lnx−lny_lna = ^lnx_lna − ^lny_lna =g(x)−g(y).

3. g(¹_x) = ^ln

1 x

lna = ^−lnx_lna =−g(x).

4. Soit r ∈Q^∗g(x^r) = ^lnx_lna^r = ^rlnx_lna =rg(x).

On en déduit les propriétés suivantes :