Universit´ e PAUL SABATIER 2019-2020
M1 ESR - Fiche d’exercices 3 Stabilit´ e
Exercice 1 (Minimum et stabilit´ e.) Sur l’espace R
nmuni du produit scalaire usuel, on con- sid` ere le syst` eme diff´ erentiel du second ordre
x
00= −grad U (x), x(0) = x
0, x
0(0) = v
0, (∗)
o` u l’inconnue x est une fonction de la variable num´ erique t, ` a valeurs dans R
n, o` u
0d´ esigne la d´ erivation par rapport ` a t, et U : R
n→ R est une fonction donn´ ee de classe C
2( fonction potentiel).
Dans cet exercice, une position d’´ equilibre a (point critique de U ) sera dite stable si pour tout ε > 0, il existe α > 0 tel que toute solution de (∗) avec kx
0− ak ≤ α et kv
0k ≤ α soit d´ efinie pour tout t ≥ 0, et v´ erifie kx(t) − ak ≤ ε pour tout t ≥ 0.
1. Dans cette question, on suppose que U est une forme quadratique, autrement dit, il existe une matrice sym´ etrique A ∈ M
n( R ) telle que pour tout x ∈ R
n,
U(x) = 1
2 hx, Axi,
(on identifie un vecteur de R
net le vecteur colonne correspondant dans M
n,1( R )).
(a) Calculer ∇U (x) pour tout x ∈ R
n.
(b) On r´ eduit A sous la forme A = P DP
−1avec D diagonale et P inversible. Montrer qu’une fonction x : t 7→ x(t) est solution de (∗) si et seulement si la fonction y : t 7→
P
−1x(t) est solution du syst` eme
y
00= −Dy, y(0) = P
−1x
0, y
0(0) = P
−1v
0(∗∗).
(c) Montrer que l’origine est stable pour (∗) si et seulement si elle l’est pour (∗∗).
(d) Montrer que l’origine est une position d’´ equilibre stable pour (∗) si et seulement si U poss` ede un minimum strict en ce point.
2. D´ esormais, on ne suppose plus que U est quadratique. Etant donn´ e une solution x de (∗), montrer que la quantit´ e
E(t) = 1
2 kx
0(t)k
2+ U (x(t)) (1)
reste constante.
3. On suppose que U est minor´ ee sur R
n. Montrer que toute solution maximale x : I → R
nde (∗) est d´ efinie sur R (on pourra d’abord justifier avec la question pr´ ec´ edente que x
0est born´ ee sur I ).
4. On suppose que U admet un minimum local strict en un point a.
(a) Justifier qu’il existe ε
0> 0 tel que pour tout ε ∈]0, ε
0[, on a U(a) < min
∂B(a,ε)
U.
(b) Montrer que pour un tel ε, il existe α > 0 tel que si kx
0− ak ≤ α et kv
0k ≤ α, alors
la solution x correspondante v´ erifie E < min
∂B(a,ε)U (E est la quantit´ e d´ efinie en
(1)).
(c) En d´ eduire que cette solution x est ` a valeurs dans la boule B(a, ε) et conclure.
Exercice 2 (Partiel - 2019 : Esp` eces en comp´ etition) On consid` ere le syst` eme diff´ erentiel suivant :
x
0(t) = x(1 − x − βy), y
0(t) = y(1 − y − αx),
x(0) = x
0,
y(0) = y
0,
avec α, β > 0.
Il mod´ elise l’´ evolution des populations de deux esp` eces en comp´ etition (elles partagent une mˆ eme ressource pour survivre et sont donc en concurrence pour celle-ci).
1. Montrer que ce syst` eme diff´ erentiel v´ erifie les hypoth` eses du th´ eor` eme de Cauchy-Lipschitz local.
2. On se donne des donn´ ees initiales x
0, y
0positives ou nulles et on appelle (J, (x, y)) la solution maximale associ´ ee. Montrer que les fonctions x et y sont positives sur J .
3. Toujours pour des donn´ ees initiales positives, montrer que x(t) ≤ x
0e
t, ∀t ≥ 0, y(t) ≤ y
0e
t, ∀t ≥ 0.
En d´ eduire que [0, +∞[⊂ J .
4. A l’aide des r´ esultats vus en cours, discuter en fonction des param` etres α et β la stabilit´ e des trois points d’´ equilibre :
P
1= 0
0
, P
2= 1
0
, P
1= 0
1
.
Peut-on interpr´ eter ces r´ esultats du point de vue du mod` ele ?
5. Montrer que si α > 1 et β > 1, ou bien si α < 1 et β < 1, alors il existe un autre ´ equilibre P
4dans le quart de plan ]0, +∞[
2, que l’on d´ eterminera. Etudier sa stabilit´ e dans les deux cas.
Exercice 3 (Stabilit´ e par lin´ earisation ?) On consid` ere les deux EDOs suivantes (EDO
1)
y
1y
2 0=
y
2− y
1(y
21+ y
22)
−y
1− y
2(y
21+ y
22)
, (EDO
2)
y
1y
2 0=
y
2+ y
1(y
21+ y
22)
−y
1+ y
2(y
12+ y
22)
1. Montrer que, pour toute condition de Cauchy, les deux EDOs admettent une unique solu- tion maximale.
2. Montrer que les deux EDOs admettent le mˆ eme unique point d’´ equilibre.
3. Peut-on conclure sur la stabilit´ e de ce point d’´ equilibre par lin´ earisation ?
4. Etudier la stabilit´ e de ce point d’´ equilibre ` a l’aide de la fonction r : t 7→ y
1(t)
2+ y
2(t)
2(on
pourra montrer que r
0(t) = −2r(t)
2pour (EDO
1) et r
0(t) = 2r(t)
2pour (EDO
2)).
Exercice 4 (Flot potentiel et minimiseurs.) Soit f une fonction de classe C
2de R
ndans R et (t
0, x
0) ∈ R × R
n.
On consid` ere le probl` eme de Cauchy
x
0= −∇f (x)
x(t
0) = x
0et on suppose que lim
|x|→+∞
f (x) = +∞.
1. Montrer que ce probl` eme de Cauchy admet une unique solution maximale x sur ]T
∗, T
∗[.
2. Montrer que la fonction t 7→ f(x(t)) est d´ ecroissante. En d´ eduire que T
∗= +∞ et que x est born´ ee sur [0, +∞[.
3. A-t-on n´ ecessairement T
∗= −∞ ? (On pourra consid´ erer l’exemple n = 1 avec f (x) = x
4.) 4. On suppose ` a partir de maintenant que f est strictement convexe. Montrer que f admet
un unique point de minimum strict global f(x
m) = m.
5. Justifier que x
mest l’unique z´ ero de |∇f|. On pourra utiliser l’in´ egalit´ e :
∀y, z ∈ R
n, f (y) ≥ f (z) + h∇f(z), y − zi.
6. On veut montrer que, pour toute condition initiale (t
0, x
0), on a x(t) → x
mquand t → +∞.
(a) Justifier que la fonction r(t) = f (x(t)) tend en +∞ vers une limite ` ∈ R .
(b) Montrer que pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que r
0(t) ≤ −η pour tout t ∈ [0, +∞[
tel que m + ε ≤ f (x(t)).
(c) En d´ eduire que ` = m.
(d) Conclure.
Exercice 5 (Circuit RLC.) L’analyse des circuits RLC conduit ` a des EDOs sur R
2du type
L di
dt = v − h(i) C dv
dt = −i
, avec h : R 7→ R de classe C
1. Les variables v et i sont respectivement un voltage et une intensit´ e, et les constantes strictement positives L et C une r´ esistance et une capacit´ e.
1. D´ eterminer l’unique ´ equilibre de l’EDO, et discuter sa stabilit´ e en fonction de h.
2. On suppose que h v´ erifie xh(x) > 0 pour tout x 6= 0. L’objectif de cette question est de montrer que l’´ equilibre est asymptotiquement stable. Pour cela, on introduit l’´ energie du syst` eme E(i, v) =
12L i
2+ C v
2). On notera ϕ le flot associ´ e au syst` eme : pour tout (i
0, v
0), t 7→ ϕ(t, (i
0, v
0)) est la solution du syst` eme qui vaut (i
0, v
0) ` a l’instant t = 0.
Dans la suite, on fixe (i
0, v
0) ∈ R
2.
(a) En ´ etudiant les variations de t 7→ E(ϕ(t, (i
0, v
0))), montrer que pour tout (i
0, v
0) ∈ R
2, l’intervalle de d´ efinition de ϕ(·, (i
0, v
0)) contient R
+.
(b) Soit (t
n)
n∈Nune suite qui tend vers +∞ tel que (ϕ(t
n, (i
0, v
0)))
n∈Nconverge vers un couple (i
∞, v
∞). Montrer que pour tout s ≥ 0,
n→+∞
lim E(ϕ(s + t
n, (i
0, v
0))) = E((i
∞, v
∞)).
En d´ eduire que
∀s ≥ 0, E(ϕ(s, (i
∞, v
∞))) = E((i
∞, v
∞)). (2)
(c) Montrer que pour tout s > 0, (i
∞, v
∞) = (0, 0) (on pourra d´ eriver la relation (2) par rapport ` a s).
(d) Conclure.
Exercice 6 (Pendule non lin´ eaire.) On ´ etudie l’´ equation suivante θ
00+ µθ
0+ sin θ = 0,
o` u µ > 0 est une constante donn´ ee.
1. En r´ e´ ecrivant l’´ equation sous la forme d’un syst` eme du premier ordre Y
0= f (Y ) avec Y = (θ
0, θ)
t, montrer que pour toutes conditions initiales θ(0) = θ
0et θ
0(0) = θ
1il existe une unique solution globale.
2. Trouver les points d’´ equilibre du syst` eme.
3. On veut montrer que le point d’´ equilibre (0, 0) est asymptotiquement stable. Soient θ
0∈ ] −
π2,
π2[ et θ
1∈ R tel que
12θ
12− cos θ
0< 0. On d´ efinit pour la solution θ correspondante l’´ energie E(t) =
12(θ
0(t))
2− cos(θ(t)).
(a) Montrer que E est d´ ecroissante et admet une limite finie en +∞.
(b) Montrer que θ(t) ∈] −
π2,
π2[ pour tout t ∈ R
+. (c) Montrer que θ
0est globalement Lipschitz sur R
+.
(d) En d´ eduire que lim
t→+∞θ
0(t) = 0 (on pourra raisonner par l’absurde et supposer que lim sup
t→+∞θ
0(t)
2> 0 pour obtenir que lim
t→+∞E(t) = −∞).
(e) En d´ eduire que θ tend vers 0 en +∞.
4. Retrouver le r´ esultat de la question pr´ ec´ edente en ´ etudiant la lin´ earisation du syst` eme en (0, 0).
5. Que peut-on dire du point d’´ equilibre (π, 0) ?
Exercice 7 (Spirales.) On consid` ere le champ de vecteurs d´ efini par V (x, y) =
−y + x cos x
2+ y
2exp
−
x2+y1 2x + y cos x
2+ y
2exp
−
x2+y1 2
pour (x, y) 6= (0, 0), et par V (0, 0) = (0, 0).
1. Montrer que V d´ efinit une fonction de classe C
∞sur R
2et que, si Y = (x, y)
tle probl` eme de Cauchy
Y
0= V (Y ) Y (0) = Y
0est localement bien pos´ e.
2. Montrer qu’il existe une infinit´ e de cercles (C
k)
k≥0> 0, de rayons R
k% +∞, qui sont des courbes int´ egrales du champ
1. En d´ eduire que toute trajectoire est globale. Indication : d´ ecomposer le champ de vecteurs en une partie radiale et une partie tangentielle.
3. Trouver les points d’´ equilibre du syst` eme et ´ etudier leur stabilit´ e lin´ eaire. Qu’en d´ eduire ? 4. Dessiner le champ de vecteurs V . Si Y (0) est strictement compris entre deux cercles C
ket C
k+1, comment se comporte la trajectoire correspondante quand t → ±∞? Et si Y (0) 6= 0 est ` a l’int´ erieur du cercle C
1? Quelle information en tirer par rapport ` a la question 3?
1autrement dit, siY0∈Ck,Y(t)∈Ckpour toutt.