muni du produit scalaire usuel, on con- sid` ere le syst` eme diff´ erentiel du second ordre

Universit´ e PAUL SABATIER 2019-2020

M1 ESR - Fiche d’exercices 3 Stabilit´ e

Exercice 1 (Minimum et stabilit´ e.) Sur l’espace R

muni du produit scalaire usuel, on con- sid` ere le syst` eme diff´ erentiel du second ordre

x

= −grad U (x), x(0) = x

, x

(0) = v

, (∗)

o` u l’inconnue x est une fonction de la variable num´ erique t, ` a valeurs dans R

, o` u

d´ esigne la d´ erivation par rapport ` a t, et U : R

→ R est une fonction donn´ ee de classe C

( fonction potentiel).

Dans cet exercice, une position d’´ equilibre a (point critique de U ) sera dite stable si pour tout ε > 0, il existe α > 0 tel que toute solution de (∗) avec kx

− ak ≤ α et kv

k ≤ α soit d´ efinie pour tout t ≥ 0, et v´ erifie kx(t) − ak ≤ ε pour tout t ≥ 0.

1. Dans cette question, on suppose que U est une forme quadratique, autrement dit, il existe une matrice sym´ etrique A ∈ M

( R ) telle que pour tout x ∈ R

,

U(x) = 1

2 hx, Axi,

(on identifie un vecteur de R

et le vecteur colonne correspondant dans M

( R )).

(a) Calculer ∇U (x) pour tout x ∈ R

.

(b) On r´ eduit A sous la forme A = P DP

avec D diagonale et P inversible. Montrer qu’une fonction x : t 7→ x(t) est solution de (∗) si et seulement si la fonction y : t 7→

P

x(t) est solution du syst` eme

y

= −Dy, y(0) = P

x

, y

(0) = P

v

(∗∗).

(c) Montrer que l’origine est stable pour (∗) si et seulement si elle l’est pour (∗∗).

(d) Montrer que l’origine est une position d’´ equilibre stable pour (∗) si et seulement si U poss` ede un minimum strict en ce point.

2. D´ esormais, on ne suppose plus que U est quadratique. Etant donn´ e une solution x de (∗), montrer que la quantit´ e

E(t) = 1

2 kx

(t)k

+ U (x(t)) (1)

reste constante.

3. On suppose que U est minor´ ee sur R

. Montrer que toute solution maximale x : I → R

de (∗) est d´ efinie sur R (on pourra d’abord justifier avec la question pr´ ec´ edente que x

est born´ ee sur I ).

4. On suppose que U admet un minimum local strict en un point a.

(a) Justifier qu’il existe ε

> 0 tel que pour tout ε ∈]0, ε

[, on a U(a) < min

∂B(a,ε)

U.

(b) Montrer que pour un tel ε, il existe α > 0 tel que si kx

− ak ≤ α et kv

k ≤ α, alors

la solution x correspondante v´ erifie E < min

U (E est la quantit´ e d´ efinie en

(1)).

(c) En d´ eduire que cette solution x est ` a valeurs dans la boule B(a, ε) et conclure.

Exercice 2 (Partiel - 2019 : Esp` eces en comp´ etition) On consid` ere le syst` eme diff´ erentiel suivant :



 



 



x

(t) = x(1 − x − βy), y

(t) = y(1 − y − αx),

x(0) = x

,

y(0) = y

,

avec α, β > 0.

Il mod´ elise l’´ evolution des populations de deux esp` eces en comp´ etition (elles partagent une mˆ eme ressource pour survivre et sont donc en concurrence pour celle-ci).

1. Montrer que ce syst` eme diff´ erentiel v´ erifie les hypoth` eses du th´ eor` eme de Cauchy-Lipschitz local.

2. On se donne des donn´ ees initiales x

, y

positives ou nulles et on appelle (J, (x, y)) la solution maximale associ´ ee. Montrer que les fonctions x et y sont positives sur J .

3. Toujours pour des donn´ ees initiales positives, montrer que x(t) ≤ x

e

, ∀t ≥ 0, y(t) ≤ y

e

, ∀t ≥ 0.

En d´ eduire que [0, +∞[⊂ J .

4. A l’aide des r´ esultats vus en cours, discuter en fonction des param` etres α et β la stabilit´ e des trois points d’´ equilibre :

P

= 0

0

, P

= 1

0

, P

= 0

1

.

Peut-on interpr´ eter ces r´ esultats du point de vue du mod` ele ?

5. Montrer que si α > 1 et β > 1, ou bien si α < 1 et β < 1, alors il existe un autre ´ equilibre P

dans le quart de plan ]0, +∞[

, que l’on d´ eterminera. Etudier sa stabilit´ e dans les deux cas.

Exercice 3 (Stabilit´ e par lin´ earisation ?) On consid` ere les deux EDOs suivantes (EDO

)

y

y

=

y

− y

(y

+ y

)

−y

− y

(y

+ y

)

, (EDO

)

y

y

=

y

+ y

(y

+ y

)

−y

+ y

(y

+ y

)

1. Montrer que, pour toute condition de Cauchy, les deux EDOs admettent une unique solu- tion maximale.

2. Montrer que les deux EDOs admettent le mˆ eme unique point d’´ equilibre.

3. Peut-on conclure sur la stabilit´ e de ce point d’´ equilibre par lin´ earisation ?

4. Etudier la stabilit´ e de ce point d’´ equilibre ` a l’aide de la fonction r : t 7→ y

(t)

+ y

(t)

(on

pourra montrer que r

(t) = −2r(t)

pour (EDO

) et r

(t) = 2r(t)

pour (EDO

)).

Exercice 4 (Flot potentiel et minimiseurs.) Soit f une fonction de classe C

de R

dans R et (t

, x

) ∈ R × R

.

On consid` ere le probl` eme de Cauchy

x

= −∇f (x)

x(t

) = x

et on suppose que lim

|x|→+∞

f (x) = +∞.

1. Montrer que ce probl` eme de Cauchy admet une unique solution maximale x sur ]T

, T

[.

2. Montrer que la fonction t 7→ f(x(t)) est d´ ecroissante. En d´ eduire que T

= +∞ et que x est born´ ee sur [0, +∞[.

3. A-t-on n´ ecessairement T

= −∞ ? (On pourra consid´ erer l’exemple n = 1 avec f (x) = x

.) 4. On suppose ` a partir de maintenant que f est strictement convexe. Montrer que f admet

un unique point de minimum strict global f(x

) = m.

5. Justifier que x

est l’unique z´ ero de |∇f|. On pourra utiliser l’in´ egalit´ e :

∀y, z ∈ R

, f (y) ≥ f (z) + h∇f(z), y − zi.

6. On veut montrer que, pour toute condition initiale (t

, x

), on a x(t) → x

quand t → +∞.

(a) Justifier que la fonction r(t) = f (x(t)) tend en +∞ vers une limite ` ∈ R .

(b) Montrer que pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que r

(t) ≤ −η pour tout t ∈ [0, +∞[

tel que m + ε ≤ f (x(t)).

(c) En d´ eduire que ` = m.

(d) Conclure.

Exercice 5 (Circuit RLC.) L’analyse des circuits RLC conduit ` a des EDOs sur R

du type



 

  L di

dt = v − h(i) C dv

dt = −i

, avec h : R 7→ R de classe C

. Les variables v et i sont respectivement un voltage et une intensit´ e, et les constantes strictement positives L et C une r´ esistance et une capacit´ e.

1. D´ eterminer l’unique ´ equilibre de l’EDO, et discuter sa stabilit´ e en fonction de h.

2. On suppose que h v´ erifie xh(x) > 0 pour tout x 6= 0. L’objectif de cette question est de montrer que l’´ equilibre est asymptotiquement stable. Pour cela, on introduit l’´ energie du syst` eme E(i, v) =

L i

+ C v

). On notera ϕ le flot associ´ e au syst` eme : pour tout (i

, v

), t 7→ ϕ(t, (i

, v

)) est la solution du syst` eme qui vaut (i

, v

) ` a l’instant t = 0.

Dans la suite, on fixe (i

, v

) ∈ R

.

(a) En ´ etudiant les variations de t 7→ E(ϕ(t, (i

, v

))), montrer que pour tout (i

, v

) ∈ R

, l’intervalle de d´ efinition de ϕ(·, (i

, v

)) contient R

.

(b) Soit (t

)

une suite qui tend vers +∞ tel que (ϕ(t

, (i

, v

)))

converge vers un couple (i

, v

). Montrer que pour tout s ≥ 0,

n→+∞

lim E(ϕ(s + t

, (i

, v

))) = E((i

, v

)).

En d´ eduire que

∀s ≥ 0, E(ϕ(s, (i

, v

))) = E((i

, v

)). (2)

(c) Montrer que pour tout s > 0, (i

, v

) = (0, 0) (on pourra d´ eriver la relation (2) par rapport ` a s).

(d) Conclure.

Exercice 6 (Pendule non lin´ eaire.) On ´ etudie l’´ equation suivante θ

+ µθ

+ sin θ = 0,

o` u µ > 0 est une constante donn´ ee.

1. En r´ e´ ecrivant l’´ equation sous la forme d’un syst` eme du premier ordre Y

= f (Y ) avec Y = (θ

, θ)

, montrer que pour toutes conditions initiales θ(0) = θ

et θ

(0) = θ

il existe une unique solution globale.

2. Trouver les points d’´ equilibre du syst` eme.

3. On veut montrer que le point d’´ equilibre (0, 0) est asymptotiquement stable. Soient θ

∈ ] −

,

[ et θ

∈ R tel que

θ

− cos θ

< 0. On d´ efinit pour la solution θ correspondante l’´ energie E(t) =

(θ

(t))

− cos(θ(t)).

(a) Montrer que E est d´ ecroissante et admet une limite finie en +∞.

(b) Montrer que θ(t) ∈] −

,

[ pour tout t ∈ R

. (c) Montrer que θ

est globalement Lipschitz sur R

.

(d) En d´ eduire que lim

θ

(t) = 0 (on pourra raisonner par l’absurde et supposer que lim sup

θ

(t)

> 0 pour obtenir que lim

E(t) = −∞).

(e) En d´ eduire que θ tend vers 0 en +∞.

4. Retrouver le r´ esultat de la question pr´ ec´ edente en ´ etudiant la lin´ earisation du syst` eme en (0, 0).

5. Que peut-on dire du point d’´ equilibre (π, 0) ?

Exercice 7 (Spirales.) On consid` ere le champ de vecteurs d´ efini par V (x, y) =





−y + x cos x

+ y

exp

−

x + y cos x

+ y

exp

−





pour (x, y) 6= (0, 0), et par V (0, 0) = (0, 0).

1. Montrer que V d´ efinit une fonction de classe C

sur R

et que, si Y = (x, y)

le probl` eme de Cauchy

Y

= V (Y ) Y (0) = Y

est localement bien pos´ e.

2. Montrer qu’il existe une infinit´ e de cercles (C

)

> 0, de rayons R

% +∞, qui sont des courbes int´ egrales du champ

. En d´ eduire que toute trajectoire est globale. Indication : d´ ecomposer le champ de vecteurs en une partie radiale et une partie tangentielle.

3. Trouver les points d’´ equilibre du syst` eme et ´ etudier leur stabilit´ e lin´ eaire. Qu’en d´ eduire ? 4. Dessiner le champ de vecteurs V . Si Y (0) est strictement compris entre deux cercles C

et C

, comment se comporte la trajectoire correspondante quand t → ±∞? Et si Y (0) 6= 0 est ` a l’int´ erieur du cercle C

? Quelle information en tirer par rapport ` a la question 3?

1autrement dit, siY0∈Ck,Y(t)∈Ckpour toutt.