Syst` eme dynamique

Convergence uniforme des moyennes ergodiques des fonctions continues

J-F Bertazzon

Universit´ e de la M´ editerran´ ee - Marseille

6 mai 2010

Syst` eme dynamique

I

topologique : X = (X , d , T )

avec (X , d ) espace m´ etrique compact et T : X 7→ X continue.

I

mesurable : Y = (Y , B, S)

avec Y un sous-ensemble d’un espace m´ etrique compact sur lequel agit une application mesurable S telle que S(Y ) ⊂ Y , et B la tribu des bor´ eliens engendr´ ee sur Y .

I

mesur´ e : Y = (Y , B, µ, S )

o` u (Y , B, S ) est un syst` eme mesurable, et µ une mesure bor´ elienne de probabilit´ e invariante, c’est-` a-dire : ∀A ∈ B,

−1

Exemples

I

translation sur un groupe ab´ elien compact : G un groupe ab´ elien compact muni d’une m´ etrique invariante par

translation et a ∈ G . L’application est T (g ) = a · g pour tout g ∈ G .

I

le d´ ecalage sur {0, 1}

: On consid` ere l’application :

S : (

)

7→ (

)

.

Propri´ et´ es fondamentales

I

Une mesure bor´ elienne invariante d’un syst` eme mesurable Y est dite ergodique, si ∀A ∈ B, µ(A∆S

A) = 0 = ⇒ µ(A) ∈ {0, 1}.

I

Un syst` eme mesurable est dit uniquement ergodique s’il n’y

a qu’une mesure invariante.

Propri´ et´ es fondamentales

I

Un syst` eme topologique X est dit minimal, si les seuls ensembles ferm´ es T -invariants de X sont Ø et X .

I

Un syst` eme dynamique topologique admet toujours un sous-ensemble ferm´ e minimal.

I

Un syst` eme dynamique topologique admets toujours au moins

une mesure invariante. (Krylov et Bogoliougov)

Exemples

On munit le cercle S

de la mesure de Lebesgue λ et on s’interesse

` a l’application de S

dans lui mˆ eme d´ efinie par T (ξ) = θξ, avec θ = e

Si a est irrationnel, le syst` eme est minimal et uniquement

ergodique.

Exemples

Le d´ ecalage sur {0, 1}

n’est pas minimal mais il existe des points dont l’orbite est dense, par exemple le point :

[0, 1] [00, 01, 10, 11] [000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111]...

Muni des mesures invariantes suivantes

δ

ou la mesure de Bernouilli uniforme,

le syst` eme est ergodique.

Th´ eor` emes fondamentaux

Th´ eor` eme (Van Neumann ∼ 1930)

Soit Y = (Y , B, µ, S ) un syst` eme dynamique m´ etrique.

On pose I = {f ∈ L

(µ); f ◦ S = f , µ − pp}, et P : L

(µ) 7→ I la projection orthogonale de L

(µ) sur I.

∀f ∈ L

(µ),

N−1

P

n=0

f ◦ S

→ P(f ) dans L

(µ).

Th´ eor` emes fondamentaux

Th´ eor` eme (Birkoff ∼ 1930 )

Soit Y = (Y , B, µ, S ) un syst` eme dynamique m´ etrique.

On consid` ere la sous-tribue A = {A ∈ B; µ(A∆S

A) = 0}.

∀f ∈ L

(µ),

N−1

P

n=0

f ◦ S

→ E(f | A) µ-presque partout.

Questions :

I

Si le syst` eme X est topologique, que peut-on dire de la limite des expressions du type :

1 N

N−1

X

n=0

f ◦ T

o` u f est une fonction continue.

I

Quel pourrait ˆ etre l’´ equivalent de la projection orthogonale ou

de l’esp´ erance conditionnelle ?

Probl` emes :

Soit X un syst` eme dynamique topologique, f ∈ C(X ) et x ∈ X . Il se peut que les moyennes

1 N

N−1

X

n=0

f (T

x) ne convergent pas.

Par exemple, les ”0” n’ont pas de fr´ equence d’apparition dans le mot :

w = 0110000 . . . 0

1

. . .

Probl` emes :

Soit X un syst` eme dynamique topologique et f ∈ C(X ), les moyennes

N−1

P

n=0

f (T

x) peuvent exister pour tout x mais la fonction limite ainsi obtenue peut ne pas ˆ etre continue.

T : [0, 1] 7→ [0, 1], d´ efinie par T (x) = x

. T

x → 0 si x ∈ [0, 1[ et pour tout n, T

1 = 1.

Alors, les moyennes ergodiques convergent vers

f (0) si x ∈ [0, 1[ et f (1) sinon.

Exemple

On consid` ere l’application T de [0, 1]

dans lui mˆ eme d´ efinie par : T (x, y ) = (x + α mod 1, x + y mod 1)

On consid` ere l’application facteur π de [0, 1]

dans [0, 1] d´ efinie par :

π(x, y) = x.

Sous π, le syst` eme T

de [0, 1] dans [0, 1] d´ efinie par

T

(x) = π(T (x, y )) = x + α mod 1,

D´ efinition des facteurs

Soient X et X

deux syst` emes dynamiques mesur´ es. X

est un facteur de X s’il existe une application mesurable surjective φ : X

→ X

, avec µ(X

) = 1, µ

(X

) = 1, et φ transporte la mesure µ en la mesure µ

, tel que le diagramme suivant commute :

X

//

φ

X

X

T⁰

// X

Facteur mesurable invariant maximal

Soit X un syst` eme topologique. On consid` ere

Z

= {µ ∈ M

; ∃x ∈ X tel que µ = lim 1 N

N−1

X

n=0

δ

}

On consid` ere l’application d´ efinie presque partout :

π

: X 7→ Z

par π

(x) = lim 1 N

N−1

X

n=0

δ

.

Th´ eor` eme

Soit X un syst` eme dynamique topologique.

Th´ eor` eme

La projection de X dans Z

(X ) est continue si et seulement si pour toute fonction continue f ,

1 N

N−1

X

n=0

f ◦ T

converge uniform´ ement.

Facteur de Kronecker

Soit X un syst` eme topologique minimal et uniquement ergodique.

K = < {f ∈ L

(µ); ∃θ ∈ S

; f ◦ T = θf , µ − pp} >

K d´ etermine un facteur du syst` eme appel´ e facteur de Kronecker.

C’est le ”plus gros” facteur mesurable qui est une translation sur

un groupe ab´ elien compact.

Th´ eor` eme

Soit X un syst` eme minimal et uniquement ergodique. On peut construire un facteur de Kronecker Z

(X ) tel que la projection π

: X 7→ Z

(X ) est continue si et seulement si ∀θ ∈ S

, les moyennes

1 N

N−1

X

n=0

f (T

x)θ

converge uniform´ ement en x avec N.

Equivalence de syst` emes

Deux syst` emes dynamiques topologiques X et X

seront dits

´ equivalents, s’il existe un hom´ eomorphisme φ : X → X

, tel que le diagramme suivant commute :

X

^//

φ

X

X

T⁰

// X

Idem syst` emes m´ etrisables et m´ etris´ es

Exemple

L’´ echange de deux intervalles et la rotation du cercle.

Th´ eor` emes de repr´ esentation

Th´ eor` eme (Jewit-Krieger)

Tout syst` eme m´ etrique ergodique est ´ equivalent ` a un syst` eme topologique minimal et uniquement ergodique.

Th´ eor` eme (Weiss)

Il existe un syst` eme dynamique topologique minimal X , tel que

pour tout syst` eme m´ etrique ergodique Y, il existe une mesure σ

sur X telle que les syst` emes Y et (X , σ) soient ´ equivalents.

Th´ eor` emes de repr´ esentation

Th´ eor` eme

Tout syst` eme mesur´ e ergodique admet un mod` ele minimal,

uniquement ergodique dans lequel la projection dans le facteur

Z

(X ) est continue.