Exercices Syst`emes Dynamiques - Master (M1) de Physique Feuille 1
1. On donne la fonction de Lagrange d’un syst`eme dynamique qui est d´ecrit par la variablex,
L(x,x) =˙ 1
2Mx˙2−V0(1−cos[kx]), o `uM >0, V0 >0, k∈R.
(a) D´eriver les ´equations du mouvement d’Euler-Lagrange.
(b) Construire l’hamiltonien et les ´equations du mouvement associ´ees.
(c) Trouver les points critiques et faire une analyse de stabilit´e autour de ces points.
2. On donne les ´equations du mouvement
˙
x1(t) =αx1(t)x2(t),
˙
x2(t) =−βx2(t)2, o `uα >0, β >0.
(a) Montrer que les variables dynamiques v´erifientxk(t)≥0(k= 1,2) pourt >0sixk(0)≥0.
(b) Faire une analyse de stabilit´e pour un point(x1, x2)quelconque.
(c) Y a-t-il un point fixe pour ce syst`eme dynamique ? On rappelle qu’un point fixe est d´efini parX∞:= limt→∞X(t), o `uX≡(x1, x2).
(d) D´eterminerβtel que le volume de l’espace de phases engendr´e par x1etx2soit conserv´e pendant l’´evolution du syst`eme dans le temps.
3. On consid`ere une r´eaction chimique, o `u x(t) est la concentration des mol´ecules r´eagissantes,
˙
x(t) =βx(t)2, β ∈R. (1)
(a) Trouver la solutionx(t)pour la condition initialex(0) =x0 > 0et faire un dessin sch´ematique pour les casβ >0etβ <0. Donner une interpr´etation physique du r´esultat.
(b) Pourquoi appelle-t-on une r´eaction du type (1) autocatalytique si β >0?
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Exercices Syst`emes Dynamiques - Master (M1) de Physique Feuille 2
1. On consid`ere une particule dont la dynamique est d´ecrite par la fonction de Lagrange
L(x,x) =˙ 1
2Mx˙2−V0(coshkx−1).
o `uM >0,V0>0,k >0.
(a) D´eriver les ´equations d’Euler-Lagrange.
(b) Construire l’hamiltonien et les ´equations du mouvement associ´ees.
(c) Construire l’hamiltonien “lin´earis´e” pour le cas|kx| 1et tracer sch´ematiquement les trajectoires correspondantes dans l’espace de phases.
(d) Montrer qu’il y a un seul point critique et faire une analyse de sta- bilit´e pour ce point. Relier le r´esultat de cette analyse `a la forme des trajectoires trouv´ee en (1c).
2. On donne les ´equations du mouvement
˙
x1=−αx2,
˙
x2=βx1−γx2, o `uα >0, β >0, γ ≥0.
(a) Trouver le (seul) point critique et faire une analyse de stabilit´e pour γ >0etγ = 0.
(b) On donne
G(x1, x2) = 1
2βx21+1 2αx22
Calculer dG/dt et dessiner sch´ematiquement les trajectoires dans l’espace de phases pourγ = 0etγ >0.
(c) Est-ce que le volume de l’espace de phases est conserv´e ?
3. On consid`ere un syst`eme deN points mat´eriels dont les ´equations du mouvement sans contraintes sont les ´equations de Newton,
M·x¨=−∂V(x)
∂x .
IciMest la matrice diagonale des masses (voir cours) etV(.)est l’´energie potentielle du syst`eme. A ce syst`eme on impose la contrainte
dE
dt =−2γEcin
o `uE et Ecinsont, respectivement, l’´energie totale et l’´energie cin´etique du syst`eme, et γ > 0 est une constante de relaxation avec la dimen- sion1/temps. D´eriver l’´equation du mouvement qui correspond `a cette contrainte.
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