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Plusieurs questions sur un syst` eme.

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Academic year: 2022

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(1)

Exercices Alternatifs

Plusieurs questions sur un syst` eme.

c

°2001 Vincent Guirardel(copyleftLDL : Licence pour Documents Libres).

Source:questions-systeme.tex.

Version imprimable:questions-systeme.pdf

Alg`ebre lin´eaire.DEUG premi`ere ann´ee. Angle p´edagogique : M´eta-math´ematiques.

Objectifs et commentaires. Le but de cet exercice, est de mettre en ´evidence le fait qu’il y a plusieurs questions `a se poser sur un syst`eme d’´equations `a part sa r´esolution.

Lorsqu’on a un syst`eme d’´equations, il n’y a pas que sa r´esolution qui est int´eressante. On peut se poser d’autres questions : est-ce que le syst`eme admet au moins une solution ? Est-ce qu’il en admet une unique ?

a. On consid`ere le syst`eme suivant :

(S)





x+y+z+t = a x−y−z−t = b

−x−y +t = c

−3x+y−3z−7t = d

1. A quelle condition (S) admet-il une solution ?

2. Montrer que si a, b, c, d >0 alors (S) n’a pas de solution.

3. Quel est l’ensemble des solutions du syst`eme homog`ene associ´e ?

(2)

b. Soit A=

1 1 1 1

1 −1 −1 −1

−1 −1 0 1

−3 1 −3 −7

etX=

 x y z t

. Soit f :R4 →R4 d´efinie par f(X) =A.X.

1. Calculer f(X). Montrer quef est lin´eaire.

2. Quelle est sa matrice dans la base canonique de R4?

3. f est-elle surjective ? injective ? Trouver l’image et le noyau de f.

4. f est-elle inversible ?

5. Le vecteur

 1 1 1 1

appartient-il `a l’image def? au noyau def?

c.

1. Le vecteur V =

 1 2 3 4

appartient-il `a l’espace vectoriel engendr´e par V1 =

 1 1

−1

−3

 , V2 =

 1

−1

−1 1

 , V3=

 1

−1 0

−3

 , V4 =

 1

−1 1

−7

?

2. Ces 4 vecteurs sont-ils lin´eairement ind´ependants ?

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