Fonctions exponentielle de base a

Chapitre 16

Fonctions exponentielle de base a

Soitaun réel strictement positif, etnun entier relatif. On sait que ln(aⁿ) =nlnadoncaⁿ = e^blna. On décide alors de généraliser aux réelsb.

16.1 Définition

Définition 1

Soitaun réel strictement positif, pour tout réel b, on pose a^b = e^blna.

Exemples :

2^1,5= exp(1,5 ln 2)≈2,83 3^π= exp(πln 3)≈31,54

Propriété 1 (règles de calculs)

Pour tous les réelsaeta^′ strictement positifs et pour tous réelsbetb^′, on a :

•ln(a^b) =blna •a^b+b′ =a^ba^b′ •a^b−b′ = a^b a^b′

•(a^b)^b′ =a^bb′ •(aa^′)^b=a^ba^′b •

a

a^{′ b}

= a^b a^′b

16.2 Racine n-ième d’un réel positif

Définition 2 (et propriété)

Pour tout réel strictement positifaet tout entier naturel non nuln, il existe un unique réel positifbtel quebⁿ =a Le réelbest noté √ⁿ

aet s’appelle la racine n-ième du réel positifa. On a :

√n

0 = 0 et, poura >0, √ⁿ

a=aⁿ¹.

16.3 Fonction exponentielle de base a

Définition 3

Soitaun réel strictement positif et différent de1.

La fonctionx7−→a^x définie surRs’appelle fonction exponentielle de basea.

Pour tout réelx,fa(x) = e^xlna est de la formee^u, avecu :7−→xlna, doncfaest dérivable surRetf_a^′(x) = (lna)e^xlna.

1

CHAPITRE 16. FONCTIONS EXPONENTIELLE DE BASEA

Propriété 2 :

Pour tout réelx,a^x>0 on a donc

• si 0< a <1 :

x

a^x

−∞ 0 +∞

+∞

1

0

• sia >1

x

a^x

−∞ 0 +∞

−∞

1

+∞

Exemples :

-3 -2 -1 0 1 2 3

-1

0123456

O ~ı

~

y= 2^x

y=

3

2 ^x y=

1 2

^x

y=

2

3 ^x

2