Sur le développement des fonctions elliptiques en séries trigonométriques

B ULLETIN DE LA S. M. F.

DE P ^RESLE

Sur le développement des fonctions elliptiques en séries trigonométriques

Bulletin de la S. M. F., tome 14 (1886), p. 131-135

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— 131 —

Sur le développement des fonctions elliptiques en séries trigonométriques ; par M. DE PRESLE.

(Séance du 7 juillet 1886.)

1. Expression des fonctions elliptiques en dérivées logarith- miques de sommes de fonctions elliptiques. — Prenons les rela- tions

D sm == cnz dnz, D cm =—dn-s sn-s, D dn-z ==—k^snzcnz'j ajoutons-les deux à deux, après avoir multiplié l'une d'elles par l'une des indéterminées a, jî, ^

D cnz-+- a D dns == snz(— dm — aÂ^cn^), Ddn^+pDsn^ = cnz(—Â^sn^-h P dn/s), D snz -h ^ Dcn-s == dn^(cn^—^snz).

Déterminons a, (B, y de manière que les premiers membres soient;

à un facteur constant près, les dérivées des seconds facteurs des deuxièmes membres

___ _ ' - P i ^ T .

_ - a  : 2 ' ~ — l7 p - - . ^ ^-y ~ ^

i a d'où

a = ± . ? ? == ± IÀ-, -y = -+- /;

on a donc

D dn 34= Â:D cnz =r ±: X: sns(dn5 rp k cm), D dnz± ikDsnz =± i/ccnz(dnz ± ik sn^), Dcnz± iD snz = =b idnz(cnz ±isnz\

et, par suite,

rt- À- sriz = D l o g ( d n ^ =pÂ:cn^), rh: IÂ" en-s = D log(dn-3 ± t'A' sn^),

±.1 dn-s = D log(cn-s ± ?'sn^).

2. Transformation des sommes précédentes en produits.

Prenons les relations

0) \ 1

sn ^sd-

1 ] k snz (o'\ _ i ânz 2 / A' sn z5

(

cn \z

2 / A- sn -s / œ'X ^ ( -+7 ) = - 7 du ( ^ œ' \ _ Î'Â: en ;

2 7 A: sn^

et

a a , a 2 sn - en - dn --

2 2 '2

s n a = ——————————?

i-^sn^

, a a , a en2 - — sn2- dn2 —

2 % 2 i-^sn^

dn^r :

d n - ^ - ^ s n2^ ^2^

2 2 2

i — ^ s n * ?

Remplaçons a par ^ + — dans les dernières ; il vient, en vertu des premières,

(

(

- + - ) c n ( - + — ) d n ( - + — ) a 4 7 \2 4 7 \a 4 7

/ <s o/ \

(^7)

a s n - - t - — ) c n - - 4 - — ) d n ( - 4 - — i 4 7 \ 2 4 7 \2 4 ^ À'sn^ , /-s œ'

i — X ^ s n4! - -4- —

\ 2 4

— 133 —

_^_«-(-M)-"-(^HM)

\ î 4 7

_ .^ _ -'(^^-*•'-(; - •o»-a

⁺ ï)

i — À-2 sn4 ( - 4- — 1

\2 4 7 ou bien

, - ^ s n 4 / - 4 - ^ )

^ s n ^ = ——__________V2 4 7______^

(

2sn - 4-- c n ( - + - ) d n ( " 4 - — ) 2 4 / \ 2 4 7 V'î 4 7

c^(^^\-^(z-^\^(^w\ -idaz = V2 4 7 \2 4 7 \ 2 ^ 4 7 ( z c</\ / ^ co'X , / z a/\ ' 2sn - 4- - ) en ( - 4- — ) dn ( - 4- — )

V9- 4 7 \ 2 4 7 \'î 4 7

dn.ff + ^) -/c.sn^ 4- ^)cn^(/i + S.^

-/^n.- \'2 4 7 ^ 4 7 ^^A2 / z œ \ / ^ ( o ^ - / ^ to'\ ?

asn - 4 - — ) c n ( - 4- — ) d n ( - 4- — 1

\² 4 7 \2 4 7 \ 2 4 7

ce qui donne, pour les valeurs des sommes des fonctions ellipti- ques,

^Jf-^

dn.-Â-cn. =- _______\2 4 7 / z ^ i /^ ^'\

en ( - 4- — ) dn ( - 4- — )

\'^ M \-2 4 7

/.; (0^

î c n ( - -4- — \ dn ^ 4- ik sn z = ——————^a 4 7____ ,

, I Z 0) \ /;; (O'N

dn( - 4- — s n ( - 4- -- )

\ 2 4 7 \'2 4 7

• -1 / z (ù'\

idn ( - 4- — i cn^-hisnz === ———————^v^———IZ____

, / - 5 0) \ / ^ CO' \

/<: sn ( - 4- — ) en ( - -4- — )

\ ^ 4 7 \ ^ 4 7 el

/ ^ ((/\ / ^ (o'\

< c n - 4- - 1 dn( - 4- - ) dn,;4-/cn.—— ___^ 4 7 ^2 4 7

/^ ^^

'"(î-T)

., ( Z (x/\ / Z (0'\

i d n ( - 4- •— ) sn( - 4- — )

dn^-t/Tsn^ \ a 4 / \ 2 4 /

/^ o/\

en ( - 4- -- )

\2 4 / , . / z <o'\ / ^ o/\

A-i sn ( - 4- — ) en ( - 4- — ) en^-.sn^=- ^ ^ ^ ^ A

, /^ (x)'\ ï

dn (- 4- — )

\2 4 /

les trois dernières relations donnent lieu aux mêmes calculs que les trois précédentes; nous ne nous occuperons que de celles-ci.

3. Dérivées logarithmiques des fonctions elliptiques. — Les dérivées logarithmiques des fonctions elliptiques ont pour ex- pression

fCZl __ TCZl

^, TTI e (0 4- e (x)

Dloesn^= — ——

(0 V.zi __'ltzi

e ^ — e w

« / 2 ( n -^-l)7l:^<' __ î ( n - > - l ) 7 c ^ t \

îTTt'^n y»-+-i\e tù — e ( ) ù y (o ^ i 4- y / i - 4 - i ?

o

'TCZi 'JTSf T . , T C l ' e1 0 — e <0

D logent === — ————————

co 'nzi __ 'KZJ

e~w~ -4- e" ~tû~

^ / 2(n-H)TC^i 8(n 4 - l ) f f g < \ 2TCt ^ y ^ + l \ g fa) — g (o j (x) ^ i - ^ . ( — j ) / H - l y / l - H?

^ / 2 ( 2 / l - H ) w z t 2 ( 2 / 1 - H ) 7 T g A

D W d n ^ = 'l^Vy2^1^ tû -e ^ )

(0 ^ I — y2(2/M-l)

(Ces formules se trouvent dans les Fundamenta nova de Jacobi et dans le Traité des fonctions elliptiques de Briot et Bouquet, n°297,p. 482.)

4. Expression des fonctions elliptiques. — Des formules pré- cédentes, on déduit

D i o g s n ^ — D logent— Diogdnz

. oo / 2(2/1-H)TCzi 2 ( 2 n - H ) 1 t g f \

^ 4^ ____I __ 47tt vi q^^\e ^ — e <«>——/

0) 2W^ _ 2TC^ ~~ "(o" ^i i _ ^2/t+l—————————————?

e ^ — e œ o -

- 135 - D logent — D logdn^ — D logsn^

« / 2 ( 2 « - » - î ) T C ^ j _ 2 ( 3 7 » 4 - 1 ) 7 C ^ A

== — i^ ____^I____ _ 4^ ^ y^-^\e fa) — e (^ù / to 2TCgi îr.zt ~ ^ Z ^ 1 4 _ qïn+\————————/~î

e ^to — e ^to o

D logdn^ — D logsn^ — D logent

^^zi î'iczi ^ / 4 ( n + l ) T C g ^ 4 ( n + l ' > 7 C g f \ _ _ ITti € (ù 4- g (x) 4 T C t ^ y2(»-+-l) ^ (ri _ g h) ^

(0 2TCSI __ 27t<St (0 j^| i 4-. ,(72(/t-+-l) g <*) — g (0 0

f TtWi

Remplaçons z par -•+•—, q étant égal à e (i) , introduisons les

2 4

facteurs constants , ? ^, , -. qui sont les inverses des coefficients de sn^, cn^, dn^ dans les deuxièmes équations du premier para- graphe, et multiplions par la dérivée de^ 4- tù- qui est-| ; nous au- rons, pour les expressions cherchées,

^ / ( 2 n •+-l}V:zi ( în + l ) ' J T S f \

ïTzi^q \^ q^e (x) — e tû ) snjz •— — ___—^- ^ •* •^>___________________i ,

ylto ^d i_^4-i '

0

/ ( 2 n - 4 - l ) ' j r g f _ ( 2 / l -H)TCJf\

— ^Tr/y ^1 ^»\g ^ -4- e____to / cn^ — ^ ^ " ~ j _ 4 - y 2 / i + i ?

0

oo / "2f " -M^TCSt _ ^J^J^TT^'\

, _ TC 2TC ^.1 y «4-1^ g 0) 4-g_____W )

~ w co JU 14- ^2(/t-n)

0

ou

4'n;V/<7^ ûf» . ( 2 / 1 + 1 ) ^ ^ sn^= " . •- > ——"——- sin————-—,

kts) À»à i— q^-^-i ^ o

i— 00

4 ' T C V < 7 Y ^ 0'^ ( 2 / l 4 - l ) ' î T ^

cnz = • , •' > ——³-—; cos ^v————'-— ? Â-O) JU l 4- y2»-'-1 co

o

00

, 7t 4 ^ ' V1 ûr»+l 2(n.-i-l)7T^

dn3=

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