Un système de Riquier et le calcul tensoriel. II

(1)

L EWIS -B AYARD R OBINSON

Un système de Riquier et le calcul tensoriel. II

Bulletin de la S. M. F., tome 68 (1940), p. 129-133

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(2)

129

UN SYSTÈME DE RIQUIER ET LE CALCUL TENSORIEL;

(DEUXIÈME PARTIE).

PAR M. LEWIS-BATARD ROBINSON.

Introduction.

Wilczynski a calculé les covariants et semi-covariants du sys- tème

( y^-^-7

^?

lly^•+•/

^?

l2y3-+"î

^r

llyl-+-yl2y2

^:

=o,

{ y

ⁿ

l-^p^y'^ -^-p^y'i-^ï^y^ ^22^2== o

sous le groupe de transformations

2

j^==^«nQy)m>

\=i

2 /

y^ ==^ ^( ^{(aQ-n^p^ =/(0 (À:= i, 2; ^= o, i, 2,..., m) (i),

X=ip==o

où ( ^ est le coefficient de a-P dans le développement de (i -h a?/.

Quand il s'agit des semi-covariants

^ = / ( 0 = S -

nous pouvons associer au système ci-dessus un système desemi- tenseurs

11

^^kw.^^^

A==0

i^(^rA«—-^—Tv. (.=1,2,...,.),

r! |_ ^Aii cAzi J f1) rot/' WILCZYNSKI, Projective différentiel! Geometry, Chapter IV.

LXVIII. 9

(3)

/^ P^ s^/ ( ^ y = ^2) »

_ «11 «i2

«21 «22 Ali== «22, A i î = = — « a i , A î i = = — « 1 2 , À22= « 1 1 -

Nous avons étudié en détail le cas où

r = 2 (9-).

Nous procéderons au calcul des semi-tenseurs dans le casgénéral.

Nous pourrons les trouver comme les solutions d^un système d^équations désigné par le symbole (A).

Écrivons le système

*' 1 ^ -» C

^-.i^'

àf àf àf

^(

^—y^^;

.-. <y

W=-y,^-y^

P^-Ï-.-P^^'^^àp\] àpt\

àf\

àq\,r

\=i

àf , àf , àf àf

-è-^P^-ér-P,^^^^

V^ / àf àf , àf

•2(^^-^A^^

^{àp\, ^àp,} ^-^q1^àf\^{^)}

Cherchons à résoudre le système

f Û(/(I*) ==0 ((,./= 1 , 2 ) ,

^.(I^)=o (Â-=i,2,...,r-n);

$11 (îk) =— (r—/•-<-! )I^+i, 4>u(I*)=-l-(^-i)lA, f>tt(ït)=+(r-k-l-i)lk,

\ $,i(^)=-(Â--i)lA-i.

(A)

L'intégration du système

Qy(/)=o, yo-(/)=o, $</(/) =0 (a)

(2 ) Voir Comptes rendus (Doklady) de l'Académie des Sciences del'U.R.S.S;

i9.î7, p. 4n.

(') Voir Projective differential Geometry, loco-citoto.

(4)

131 —

nous donne un système complet de semi-covariants. L/intégration du système (A) nous donne un système complet de semi-tenseurs.

L/intégration du système (A) est équivalente à Pintégration du système suivant

û/7 (/)==<>, ^,(/)=0, k=r+l

^(/)- 2 ( ^ - ^ + 1 ) 1 ^ 1 ^ = 0 ,

(B)

K—.r-fi

<t>n(/)+ 2 (Â:-I)I^=0?

A==i

A:=r-+-l

<y

^(/)+ ^ (r-k+i)ïk^=P22^/;+ ^ ^

À-==:l

A==r-H

^î i(/)== 2 (

Â

-

I

)

I

^%== <y

0

(

4

)- A==i

Une intégrale première du système (B) peut s^écrire

A -yî l^i - ryï-^ lr+ ^^"^yr

²

^ ir-i (-1 ^S ir

Nous tirons une chaîne de solutions fs^ de la première solution ainsi

^1-(Y 1^+ Y 2^)^ (^i,2,...,r),

où

Yis 2^ H-y2/?i2-+-^ij?n, Yg = 2^2 -i- yi^îi -+- yîpîî-

Nous avons aussi comme solutions

1 == Mn-h Uîî, 3 == MII^ÎS— MiaMai,

^ s ^ ( ^nyj — M2i.rî -»- (^11 — «22)yi ys ;,F T

^ - g ( Mis Yî - ^iY?-+- («ii ~ Mî2)YiY2 } ,

(A) ^oir RTQUIEB, Les systèmes adéquations aux dérivées partielles^ p. 5o2.

(5)

Mis == a^ 2 -- 4 qiî -+- PIÎ (PU •+- Pîî),

Uîi =E 2//2 i — 4 ^21 -+- 7^21 Cpn -4- Pu), Uîî === 2JD22 — 4 ^22 -+- ^2 ^^lîPîl»

yi Y,

D : y. YÎ

Par conséquent la solution générale du système (B) peuts^écrire

^j/1,/2, • • - , / r - H ; I, J , ] ) » g l »

où <1> est une fonction arbitraire.

Écrivons

(G) $1 = «î». = . . . = = ^r-n = o.

Les ^i sont des fonctions arbitraires de

F /i? fîî - • • » ^*

Résolvons les ^i== o par rapport aux^i, ^2» * • • ? V/'+i • Nous aurons

/^^{l,^^} ( ï = l , 2 , ...,r+i).

où les V sont des fonctions arbitraires.

Écrivons

x.-P(/l>A ——>/^l) M = = SD ( I „ h , . . . , I ^ ) • Les/sont linéaires par rapport aux I.

Pour cette raison, M ne dépend pas des I.

Désignons les mineurs du déterminant M par les symboles M,y.

Attachons-nous à résoudre le système /, = ^ par rapport aux I.

Nous obtiendrons

r-H

L= ^ ^/M(/V/ (i = i, 2, ..., r -+-1).

"^MZ/"1'

1

(6)

— 133 -

Voilà la solution générale du système (A) et le système complet de semi-tenseurs.

Conclusion.

Si Pon veut calculer les semi-tenseurs qui dépendent de

y^ y'i ' P^]^ ^/»

il faut ajouter aux quantités

T î —, —E F

9 J î D' D

tous les semi-covarianis restants de Wilczynski.