Devoir (II,3) du 15 mars 2017 - Corrigé Exercice 1

(1)

2C1 Devoir en classe 2016-17 _______________________________________________________________________________________

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AB Beran - 2016-17-2C1-Corrige-II3.doc Bonne Chance et Bon Courage - 1 -

Devoir (II,3) du 15 mars 2017 - Corrigé

Exercice 1

Soit la fonction f donnée par son expression :

   

²

2

1 4 f x x

x

 

 Etudiez cette fonction en n’accomplissant que les étapes indiquées :

Domaines de définition et de dérivabilité, limites et asymptotes, recherche des extrema éventuels et tableau de variation, tangente à la courbe en x₀0, calcul de l’abscisse d’un point d’inflexion éventuel .

 

 

      ^ ^

 

' 2 2 9 0 2 2 2

0 1 0 2 2 2

0

2 2 2

' 2 2

2 2

) 2; 2

) lim lim 1 1

lim 1 2

4

lim 1 2

4

1 2

2 1 4 1 2

) : '

4

f f

x x

x

f x x

x

a D D

b f x x AH y

x

x AV x

x

x AV x

x

x x

x x x x

c x D f x

x









 

   

 

  

 





  

   

    

     



 

     



      

   





8 2x2



 



 

    

    ^

 

2 2

2

2 2

2 4

1 2 8 2 10 8

'

4 4 0

' 0 1 4

2 1 2 4

) ' 0 0

1 min 1

2 0 2 3

4 x x

x x x x

f x

x x

f x x ou x

x

d TV f x

f x AV Max AV

x x

 



 





 

     

  

    

   

 

      

  

     

0

1 1 1 1

) 0 ' 0 0

2 4 4 2

1 1

2 4

xo

e f f t y x

t _ y x

       

  

(2)

_______________________________________________________________________________________

        

 

  ^ ^    

 

   

 

2 2 2 2

2 4

2 2 2

2 4

3 2 3 2 3 2

3 3

2 2

4 10 4 2 2 10 8 4 2

) ''

4

4 4 10 4 4 2 10 8

4

4 16 10 40 8 40 32 4 30 48 40

4 4

'' 0 5, 7

par la calculatrice

x x x x x x

f f x

x

x x x x x x

x

x x x x x x x x x

x x

f x x

      





 

       





         

 

 

  

abscisse du point d’inflexion éventuel, à contrôler par l’étude du signe de ^f^''

 

^x ^.

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Exercice 2

Soit la fonction f donnée par son expression :

 

² ³ ₂⁷ ² ⁸ ⁵

3 4

x x x

f x

x x

  

  

1) Démontrez que cette fonction admet une asymptote oblique à la courbe, dont vous déterminez l’équation. (Méthode au choix !)

2) Déterminez ensuite l’abscisse du point d’intersection de C_f et AO , si un tel point d’intersection existe !

 

²₂³

) lim lim

x x

a f x x AH

     x   

  ^ ^{ } ^

 

3 2 2

3 2

2 2

?

) * : 2 7 8 5 3 4 2 1 3 1

2 7 8 5 3 1

' : 2 1

3 4 3 4

3 1 3

lim lim lim 0

3 4

: 2 1 (expression du quotient entier de la divisi

x x x

AO

b Par division x x x x x x x

x x x x

D où f x x

x x x x

x x

avec x

x x x

Donc AO y x

     



          

    

   

   

  

   

 

  

   

 

3 2 3

1 2 3

3 2 3

2 2 2

2

on)

** En utilisant Cauchy:

2 7 8 5 2

C : lim lim lim 2 2

3 4

2 7 8 5

: lim lim 2

3 4

lim 2

3 4 3 4

x x x

x x

x

f x x x x x

x x x x x m

x x x

C f x m x x

x

x x

x

x x

x

     

   

 

  

     

 

    

       

     





  

 

2 3

7x 8x 5 2x

   

   

2 2

6 8

lim 1 1

3 4

' : 2 1

) 0 3 1 0 1

3

x

AO

x x x

h

x x x

D où AO y x

c f x y x x x

 

  

      

 

  

         

Abscisse cherchée du point d’intersection de la courbe avec l’asymptote oblique.

(3)

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Exercice 3

1) Déterminez le tableau de variation de la fonction f, donnée par son graphe. Proposez en particulier des domaines de définition et de dérivabilité pour cette fonction.

(Toutes les valeurs sont à arrondir/lire à la demie unité près)

 

¹

Df    à cause de l’asymptote verticale. Cependant, la courbe admet un point de rebroussement en 1,5

x  (lecture graphique), ce qui fait que 3 2; 1 Df     

 . Ce point de rebroussement semble être en même temps minimum de la fonction et point d’inflexion de cette courbe. Nous constatons encore un maximum « normal » au point d’abscisse x 2 .

Le tableau de variation aurait alors l’allure suivante :

   

 

2 3 1

2

' 0

''

2

5 2 x

f x f x

Min

f x Max Infl

AV

    

    

     

   

 



(4)

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2) Soit le tableau de variation donné, esquissez le graphe correspondant à cette fonction, sans connaître l’expression de cette fonction.

   

 

4 2 0 1 4

' 0 0 0

'' 0

3 3

2 min

0 min x

f x f x

f x Max Infl

AV

 

     

       

    



3) A partir des données suivantes, esquissez le graphe de la fonction f:

a) AO   y x 2

b) Position de la courbe par rapport à l'AO:

 

2

2 1 4

1 0

2 8 0 0

0

f 1;3 f

f f

x x

x

C C

AO AO

Position AV I AV

C AO C AO

 

      

      

    



En analysant les données d’un peu plus près – ce qui n’a pas été posé comme question – , on pourrait deviner qu’à une constante près, la donnée de f est l’expression donnée plus loin.

Le graphique en est donc très proche de celui que nous cherchons.

    

abscisse du point d'intersection de la courbe avec l'AO

3 2

2 2

1 4 5 15

2 2 4 2 8

yAO

les asymptotes verticales

x x x x

f x x

x x x x

    

    

   

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Répartition des points: 20 + 16 + 20 (6+7+7) + 4 (présentation)

Devoir (II,3) du 15 mars 2017 - Corrigé Exercice 1

Devoir (II,3) du 15 mars 2017 - Corrigé

   

 

 

 

 

       

 

 





 

    

    

 

 

 

     

        

 

       

 

   

 

 

 

 

     

 

 

   

 

   

 

   

 

   

 

 

 

    

      ^ ^

    ^

  ^ ^    

  ^ ^{ } ^