Devoir (II,2) du 13 février 2017 - corrigé Exercice 1

(1)

2C1 Devoir en classe 2016-17 _______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

AB Beran - 2016-17-2C1-Corrige-II2.doc Bonne Chance et Bon Courage - 1 -

Devoir (II,2) du 13 février 2017 - corrigé

Exercice 1 Partie théorique voir cours

Soient f et g des fonctions dérivables sur un intervalle

 

^{a b}^; ^:

1) Recopiez et complétez la formule de dérivation suivante : ^x

 

^{a b}^; ^avec^{g x}

 

^{0 :} ^{g x}

 

¹ ^...

 

     

 

2) Etablissez la formule de dérivation de la fonction ^f ^: ^ ^:^x^^{f x}

 

^^sin

 

^x

3) Déduisez de 1) et 2) la formule de dérivation de la fonction tangente sur

 

^{a b}^; ^.

_______________________________________________________________________________________

Exercice 2 Partie : Exercices de calcul

1) Déterminez les domaines de définition et de dérivabilité des fonctions suivantes et calculez leur fonction dérivée.

   

   

   

2

'

2 '

2 2

) 3 1 3 2 2 1 Annulez la dérivée, si

1 1

:3 2 1 0 ; 1; ; 1;

3 3

: ' 3 3 2 1 2

possible !

3 2 1

3 1

2

f f

f

CE x

x

a f x x x x

x D D

x D f

x

x x



 



  

             



  

   

    

       



³ ¹



2

x

 

2

2 2 2

2 2

'

' '

3 2 1

3 3 2 1 9 6 1 18 12 2

3 2 1 3 2 1

: ' 0 18 12 2 0 9 6 1 0

6 6 2

: ' 0

18

1 2 1 2

0,14 0,8

3 3

f

f f

x x

x x x x x x

x x x x

x D f x x x x x

x D f x x

x D ou x D

 

       

 

   

          

      

 

       

Par conséquent, cette fonction dérivée ne s’annulle pas sur son domaine.

(2)

_______________________________________________________________________________________

 

' 2

2

'

2 1

) Annulez la dérivée, si possibl

2 1 0 1 1 1

: 2 ; ;

2 2

4 0 0 4

2 :

e

'

! 4

f f

f

x x

CE D D

x x x et x

x D f x

b f x x

x x

  

 

       

       

    

 







2

  ^ ^

 

  

   

 

2

2 2

2 '

'

' '

4 2 1 2 4

2 1

4

4 2 1 2 4 3 2 4

4 2 1 4 2 1

: ' 0 3 2 4 0

2 2 13 1 13

: ' 0

6 3

1 13 1 13

1,53 0,87

3 3

2 1 2 1

f

f f

x x x x

x

x x

x x x x x x

x D f x x x

x

D f x x x

x D o

x

u x D

     





      

 

     

       

  

      



   

    



  

 

Cette fonction dérivée ne s’annulle donc qu’au seul point d’abscisse 1 13

x  3 .

2) Déterminez les domaines de définition et de dérivabilité de la fonction f et l’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse x₀ :

 

2 2 0 2

2 3 1

) 1

2

x x

c f x x

x x

 

 



          ^ ^

 

      ^ ^

 

2

'

2 2 2 2

': 2 4

par mise en

évidence et 2 2

simplification

2 3

3 2 2 3 2 2

2 3

3 2

: 2 0 1;0

2

4 3 2 2 3 1 2 2 4 1

'

2

4 3 2 2 3 1 8 2

2

8 4 6 3 16 4 24 6 8 2

2

8 18

f f

f

CE x x D D

x x x x x x x x

x D f x

x x

x x x x x x

x x

x x x x x x x x x

x x

 

      

 

         

  



       





        





 



 

   

₀

2 3

1

5 2

2

3 1 1 1

1 0 ' 1

27 9 ^x 9 9

x

x x

f f t _ y x

 



      

(3)

_______________________________________________________________________________________

3) Déterminez les fonctions dérivées des trigonométriques suivantes :

     

 

     

 

     

   

2

3 2

2 2 3

2 2 2

2

sin 2 cos 2

) sin 4

2 cos 2 2sin 2 sin 4 sin 2 cos 2 4 cos 4 '

sin 4

) sin 4 cos 4

' 3sin 4 cos 4 4 cos 4 2sin 4 cos 4 sin 4 4 ' 4sin 4 cos 4 3cos 4 2sin 4

) tan 3

' 2 tan 3 1 tan 3

x x

d f x

x

x x x x x x

f x

x

e f x x x

f x x x x x x x

f x x x x x

f f x x

f x x x

 

    



 

        

   



   ³ ^^{6 tan 3}^x^{ }



^{1 tan 3}² ^x



_______________________________________________________________________________________

Répartition des points: 18 + 40 (14+8+18) + 2 (présentation)