Devoir (I,1) du 13 octobre 2015 - corrigé Exercice

LGL Devoir en classe 2015-16 _______________________________________________________________________________________

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AB Beran - 2015-16-1DG-Corrige-I1.doc Bonne Chance et Bon Courage - 1 -

Devoir (I,1) du 13 octobre 2015 - corrigé

Exercice :

1) Résolvez dans l’équation suivante :



^3x2y



^{4xi  yi 2 i}

     

   

     

   

 

3 2 4 2 3 2 2 1 4 0 0

3 2 2 1

3 2 2 0

4 1 2

1 4 0

2 2 1 : 5 0 0 2 : 1

; 0;1

x y xi yi i x y x y i i

x y

x y

x y x y

x x dans y

S x y

              

  

  

 

        

     

  

2) Déterminez les racines carrées complexes du nombre z247i .

 

   

 

   

   

2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

24 7 les racines complexes de

24 1 partie réelle

2 7 2 partie imaginaire 0

24 7 25 3 module

49 98 7 2

3 1 : 2 49

2 4 2

1 2 2

3 1 : 2 1

2 4 2

D'où les

z i x yi avec x yi z

x y

xy xy signes contraires

x y

x x x

y x x

    

  

     

    



      

      

1 2 1

7 2 2 7 2 2

deux racines complexes : et

2 2 2 2

z   i z    z  i 3) Résolvez dans l’ équation suivante: i z ²    i z 3 i 0

Comme il s’agit d’une équation du second degré à coefficients complexes :

^Δ       ^{i2 4i}



^{3 i}



^{1 12i}   ^{4 5 12i} Racines complexes de ce nombre :

 

   

 

   

   

2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

Δ 5 12 les racines complexes de Δ

5 1 partie réelle

2 12 2 partie imaginaire 0

5 12 13 3 module

3 1 : 2 8 4 2

3 1 : 2 18 9 3

D'où les deux racines com

i x yi avec x yi

x y

xy xy mêmes signes

x y

x x x

y x x

     

   

    

    



     

     

plexes de Δ : δ 2 3  i et δ'    δ 2 3i

Donc : ₁ 2 3 1 ₂ 2 3 1 2

1 2

2 2

i i i i i i

z i z i

i i i

i i i

i i

      

          



^{1 ; 2}



S   i i

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4) On considère les nombres complexes suivants: (Ex D-06/2011)

   

1 2

1 3 1 3 3 2 2

2 2 et 1 2

i i

z z

i i

    

  

 

 Ecrivez z₁ et z₂ sous forme algébrique et sous forme trigonométrique.

 Calculez z z₁ ₂ à l’aide des formes algébriques, puis à l’aide des formes trigonométriques.

 Déduisez des calculs précédents les valeurs exactes de 23π 23π cos et sin

12 12 .

Voir le corrigé sur http://mathematiques.lmrl.lu/ ou sur http://www.italian-llama.com/examen-mathe-1

5) On considère les nombres complexes suivants: ₁ 3π ₂ 2π

2 2 et 4

4 5

z  cis z  cis .

Calculez les nombres complexes suivants sous leur forme trigonométrique :

3

2 1

1 1 2 2 4

2

et z

Z z z Z

z

  

2 2

1 1 2

1

3 3

2 14 4

2

3π 2π 3π 4π 3π 4π

2 2 4 2 2 16 32 2

4 5 4 5 4 5

32 2 31π

20 3

5 4

5 4

2 2 π 16

et 4

4 2π 5

Z z z cis cis cis cis cis

Z cis

z cis Z

z cis

   

               

  

  

  

  

 

 

  

  

 

 

2 9π 4 256

cis

16

2

2 9π 8π

8π 16 4 5

5

2 13

5 4

5 4

π

16 20

cis cis

Z cis

 

   

 

 









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Répartition des points: 60 ( 5+7+10+24+14 )