Devoir (II,3) du 20 mars 2018 - corrigé

(1)

5LM2 Devoir en classe 2017-18 _______________________________________________________________________________________

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AB Beran - 2017-18-5LM2-Verbesserung-II3.doc Bonne Chance et Bon Courage - 1 -

Devoir (II,3) du 20 mars 2018 - corrigé

Exercice 1 :

1) Enoncez les théorèmes de Pythagore et d’Euclide .

 

2 2 2

2 2

: rectangle en (formulation générale)

ou: rectangle en ,

' : rectangle en '

'

conclusion thèse hypothèse

Théorème de Pythagore ABC A a b c

Si ABC A alors a b c

b b a

Théorème d Euclide ABC A

c c a



   

  

  

  

   (formulation générale)

2) Enoncez et démontrez le théorème du carré de la hauteur (h étant la hauteur issue du sommet A)

 

²

: rectangleen ' ' (formulation générale)

Théorème du carré de la hauteur  ABC Ah  b c Démonstration : expliquée au cours le 6 mars 2018

 comme 



ABC



rectangleen A , d’après Pythagore ^a²^^b²^^c²

 

¹

 en plus : ^a^{ }^b^' ^c^' ^ ^a²^



^b^'^^c^'



² ^^b^'²^{   }² ^{b c}^{' '} ^c^'²

 

²



carré de binôme = trinôme carré parfait



 Comme h est la hauteur issue du sommet A :

 

2 2 2

2 2 2 2 2

: : '

en additionnant membre à membre: b ' ' 2 3

ABH Pythagore b b h

AHC Pythagore c c h

c b c h

  

   

`

En appliquant les formules (1) et (2), on trouve l’égalité :

 

²^{ }

2 2 1 2 2

2

' ' b :

'

a b c c donc

b

   

2 b c' ' c'2

    ^{ }³ b'² c'² 2h²  2  b c' ' 2h²  b c' ' h² cqfd

3) En vous basant sur la figure ci-contre, quel est

 Le nom mathématique du côté désigné par a hypoténuse

 une lettre qui désigne la projection orthogonale d’une cathède sur le côté vis-à-vis de l’angle droit. b ou c' '

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(2)

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Exercice 2

1) Calculez et rendez rationnel les dénominateurs, tout en développant et réduisant les numérateurs

   

2 2

produit de binômes conjugués = différence

de deux carrés carrés de binômes = trinômes carrés parfaits

1 3 1 3

) 1 3 1 3 1 3 2

1 2 3 3 1 2 3 3

2

1 2 3 3 1 2 3 3 4 3

2 2 2 3

45 2 5

) 10

72 2 200

1 3 1 3

s a

b

 

    

 

 

    

 

    

   

 



  





 

simplifions d'abord les racines carrées

implifier rend la vie plus simple

10 3 5 2 5 2 5 5 2

= 6 2 2 10 2 14 2

!

      

  

 

⁵ ²

14 2

 5

 14

2) Dans le triangle rectangle en A ci-contre, nous savons que 6

AD et BC2x8 . Quelle est la valeur de x ? Expliquez ! Résolution

Comme le triangle



^ABC



est rectangle en A, A appartient au cercle circonscrit au triangle dont le diamètre est le segment

 

^BC . Il s’ensuit que : 6

2

AD BDDC r BC, r étant le rayon de ce

cercle circonscrit. Par conséquent : 2 8

6 4 6 10

2

x x x

     

3) Construisez les 5 points A, B, C, D et I tels que :

 le triangle



^ABC



soit rectangle en B,

 le triangle



^ACD



soit rectangle en D et

 I le milieu

 

^AC

Démontrez que IBID . Motivez brièvement votre raisonnement.

Résolution

La construction se base sur le fait que tout triangle rectangle s’inscrit dans un demi-cercle de diamètre l’hypoténuse de ce triangle en question. Comme les deux triangles rectangles



^ABC



^et



^ACD



possèdent le même diamètre

 

^AC , les points B et D appartiennent au mêmne cercle de centre I.

Il s’ensuit que IBIDr, avec r le rayon de ce cercle.

(3)

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4) En vous basant sur le triangle représenté à l’exercice 1 et sachant que b12cmet ' 8b  cm , déterminez les longueurs des côtés , , et 'a c h c . Indiquez les théorèmes utilisés !

Résolution

Comme le ^



^ABC



est rectangle en A et que H est le pied de la hauteur issue de A, les trois triangles ^



^ABC



^,^



^ABH



^et^



^AHC



^{sont des}

triangles rectangles ce qui nous permet d’appliquer à chacun d’eux un des trois théorèmes, Pythagore, Euclide et Hauteur.



 

rectangle en ² ' ² ¹⁴⁴ 18

' 8

Euclide b

AHC H b b a a

      b  

 Comme a b' c'  c'  a b' 18 8 10 



 

rectangle en ² ' ' 8 10 80 80 16 5 4 5

Hauteur

ABC A h b c h

           



 

rectangle en ² ² ² ² ² ² 18² 12² 324 144 180

Pythagore

ABC A a b c c a b

           

180 36 5 6 5

 c   

Il existe également d’autres possibilités de trouver les mêmes résultats, mais la première étape est (actuellement) indispensable.

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Répartition des points: 22 (8+12+2) + 43 (12+5+9+9) + 3 (présentation) Liste des carrés de 11 à 70 (Si nécessité il y avait !)

11 121 21 441 31 961 41 1681 51 2601 61 3721

12 144 22 484 32 1024 42 1764 52 2704 62 3844

13 169 23 529 33 1089 43 1849 53 2809 63 3969

14 196 24 576 34 1156 44 1936 54 2916 64 4096

15 225 25 625 35 1225 45 2025 55 3025 65 4225

16 256 26 676 36 1296 46 2116 56 3136 66 4356

17 289 27 729 37 1369 47 2209 57 3249 67 4489

18 324 28 784 38 1444 48 2304 58 3364 68 4624

19 361 29 841 39 1521 49 2401 59 3481 69 4761

20 400 30 900 40 1600 50 2500 60 3600 70 4900