Devoir (II,3) du 21 mars 2016 Exercice 1

(1)

Devoir (II,3) du 21 mars 2016

Exercice 1 : Etude de fonction

Faites d’étude de la fonction f définie par :

 

^{ln 2}

 

: :

2

x x

f x f x

x

   

(Domaines, limites et asymptotes, position relative aux AH/AO éventuelles, recherche des extrema et points d’inflexions éventuels, esquisse du graphe)

_______________________________________________________________________________________

 

 

'

0

pour lever d'abord la forme indéterminée

) : 2 0 0 0;

0

) lim ln 2 0

2 0

. . " "

lim ln 2 lim

2

f f

x

x x

a CE x x D D

x x

b AV x

x

f i

x x x

x



   

      

  

    



  

 

  2x

 

par c.i.

1 . .

2

ln 2 1

lim 2 2

1

ln 2 2

calcul intermédiaire: lim lim 2

x

f i de la forme

H

x x

 



   

 



x2

       

     

 

'

 

lim 1 0

2 2

1 2

ln 2 1 ln 2

Position de la courbe par rapport à : Δ

2 2 2

Δ 0 ln 2 0 ln 1 1

2 0 1

2

ln 2 0

2 0

Tableau des positions :

Δ 0

1 1

) : '

x

AH

f AH

AH f

f

x AH y

x x x

AH x f x y

x x

x x x

x

Positions Int y y

c x D f x x

   

  

 

    

     

  

  

 

 

  

C

   

2

2 ln 2 2

2 4

x x x

x x

    

   2 2x

 

   

     

2

2 ln 2 4

ln 2 1

' 2

1 1 1

' 0 ln 2 1 ln 1,36 0,13

2 2 2

x x

f x x

x

f x x e x e f e

e



 

            

 

(2)

 

²

    _{ }

' 4 4

1 2 ln 2 1 4 2 4 ln 2 4 2

) : ''

4 4

f

x x x x x x x x

d x D f x x

x x

     

    



^{3 2 ln 2}

  

2

x x



   

 

3

3 2

2 3 2 ln 2

'

2

'' 0 ln 2 3 ln 2, 24

2 2

1 3

0,165

2 2 2

) Tableau de variation:

0 2 2

' 0

'' 0

1

min . . 2

0 1 1 1 3

2 2 2

x f x x

x

f x x e x e e

f e e

e e e

e e e

x f x f x

f x AV p i AH

x

e e e



 

 

 

      

 

 

 

    

 

   

   

 

  

f) Graphe :

(3)

Exercice 2 : Calculs de primitives et intégrales définies

1) Déterminez les primitives des fonctions suivantes (en ne vous occupant pas des domaines) :

     

           

 

2 1 2

2

2 2 2

1 1

2 2

) sin 2 1 cos 2 cos 2

2

' sin 2 ' cos 2

1: 2 :

1 1

' 2 cos 2 ' 1 sin 2

2 2

1 1 1 1 1 1

cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2

2 2 2 2 2 4

) sin

1 2

2 2

2

5

ipp

a x x dx x x x x dx

u x x v x x u x x v x x

ipp ipp

u x x v x x u x v x x

x x x x x dx x x x x x k

b x

   

     

    

 

        

 





 



     

       

     

   

arguments différents formules de Simpson

2 1 2 2

2 2

cos 3 1 sin 8 sin 2

2

1 1 1

sin 8 sin 2 cos 8 cos 2

2 16 4

) sin cos cos

' sin

1:

' 2

1 1

8 2

8

2 2

c

x ipp x x

x x

x dx x x dx

x x dx x x k

c I e x dx e x e x dx

u x e v x x

ipp

u x e v x

    

 

            

     

 





  





 

 

     

       

 

2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2

2

' cos

2 :

os ' 2 sin

cos 2 sin 2 sin

cos 2 sin 4 sin

' : 5 2sin cos : 1 2sin cos

5

tan 2 )

c 2

1

os 2

x x

ipp x x x

x x x

I

x x

u x e v x x

ipp

x u x e v x x

e x e x e x dx

I e x e x e x dx

D où I e x x et I e x x k

d x dx

x



 

  

 

        

       

           



   

 





       

         

     

       

2

2 2

mêmes arguments

2 3 2 2

mais parités distinctes

2 2

2 4

tan 2

1 1 1

tan 2 tan 2

2 2 4

cos 2

) sin 2 cos 2 = sin 2 cos 2 cos 2

sin 2 1 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2

2

1 1

2 2

2 2 sin 2 cos 2 1

x dx x k x k

x

e x x dx x x x dx

x x x dx

x x dx x x dx

       

  

 

   

 

 

     





 



 

       

3 5

sin 2 sin 2

1 1 1 1

sin 2 sin 2

2 3 2 5 6 10

x x

k x x k

         

(4)

2) On considère la fonction f définie sur



^^2;2



^par

 

² ² ₂³ ²

4

x x

f x

x

 

 

a) Déterminez les réels a, b et c tels que pour tout xD_f , on a

 

2 2

b c

f x a

x x

  

  . b) Déterminez ensuite l’intégrale définie ¹

 

1

f x dx





. Quelle conclusion pouvez-vous tirer de ce résultat quant à la position de la courbe par rapport à

 

^Ox sur cet intervalle ?

 Contrôle: ^DC^



^x^²



^x^²



^^x²^⁴ , donc les dénominateurs sont identiques.

 Identification des numérateurs : ^{   }^x



^{2;2 : 2}



^x²^³^x^{ }² ^{a x}



²^{ }⁴



^{b x}

^

^²

^{ }

^^{c x}^²

^

Méthode 1

 Recherche des valeurs de a, b et c :

  ^ ^{ } ^

valeur choisie arbitrairement

2 2

en remplaçant les vale

2 0

lim 4 2 2 4 lim 2 3 2 16

4

lim 4 2 2 4 lim 2 3 2 4

1

lim 4 2 2 4 2 2

x x

x

a x b x c x c x x

c

a x b x c x b x x

b

a x b x c x a b c

   

 



            

 

  

           

 

 

          

 

urs trouvées pour b et c

2 0

4 10

lim 2 3 2 2 4 8

2

x

a

x x a

a



 

 

        

 

Méthode 2

On peut évidemment résoudre également le système d’équations du premier degré que l’on obtient par identification des coefficients des puissances de x.

  ^ ^{ } ^ ^ ^ ^ ^

2 2 2

2x 3x 2 a x  4 b x2 c x2 ax  b    c x 4a 2b2c Par identification des coefficients de puissances de x :

   

 

   

 

   

1 3

2 1 3

2 1 2 2 1

3 2 3 2 2, 1, 4

4 2 2 2 3 2 2 4

dans puis

a a

b c b c a b c

a b c b

     

             

 

     

 

 Par conséquent :

 

² ¹ ⁴

   

² ^ln ² ^4ln ²

2 2

f x F x f x dx x x x k

x x

           

 



 D’où : ¹

     

1

1 1 2 ln1

f x dx F F



    

 

^^{4ln 3}



^{  }



² ^{ln 3 4ln1}^



^{ }^{4 5ln 3}

(5)

Exercice 3 : Calculs d’aires géométriques

1) Déterminez l’aire géométrique de la surface décrite par les données suivantes : a) Tracez, à l’aide du tableur, plusieurs points des fonctions ^_^x^{ }



^2;3



^_^:

i. ^{f x}

  

^ ^x^¹



² ^{g x}

 

^^x³^²^x²^³^x^²

b) Il s’agit de déterminer par un calcul, l’aire géométrique de la surface finie enfermée par ces deux graphes.

i. Esquisser ces deux courbes dans un repère.

ii. Etudier la position relative de ces deux courbes en calculant d’abord leurs racines.

iii. Calculer ensuite cette aire !

Résolution de la question telle qu’elle a été posée au devoir:

Fonction de la différence :

^{h x}

 

^ ^{f x}

   

^^{g x} ^{  }^x³ ³^x²^{ }^x ¹

Racines trouvées de cette fonction différence:

 

1 0,675 2 0, 46 3 3, 21 2;3

x   x  x   

Calcul de la primitive :

   

¹ ⁴ ³ ¹ ²

 

4 2

H x 



h x dx  x x  x x k

Comme les racines ne sont pas entières, ni même fractionnaires, nous devons nous servir du graphique pour déterminer les positions relatives des deux courbes et les présenter au sein d’un tableau des positions:

1 2 3

2 3

f f f g f f f g

g g g f g g g f

x x x x

Positions

Int Int Int

des courbes



C C C C C C C C

D’où le calcul des aires géométriques :

     

^{ }

     

           

     

2 2

1

2

1 2 1

1

changement des bornes pour pouvoir utiliser partout la même primitive

3 3

2 2

1 1 2 2

1

2 3

3 2 2

x x H x x

x x

x x x

Aire h x dx h x dx h x dx h x dx h x dx h x dx

H x H H x H x H H x

H H H x H

 

       

      

     

     

 

     

     

2

1 2 3

0,54 8 0,54 0, 27 8, 25 0, 27 8,54 0,81 8,52

33 65

8 2 0,54337 0, 26806 1,62285

4 4

17,87 . .

Aire Aire Aire x

Aire u a

  

       

 

  

        



(6)

Résolution de la question comme initialement prévue pour le devoir:

  

1



²

 

³ 2 ² 3 4

f x  x g x x  x  x Fonction de la différence :

     

       

   

3 2

2 2

3 3

3 3 3 1

3 1 1

h x f x g x x x x

x x x x x

x x x

      

       

   

Alternative : utiliser Horner

Racines trouvées de cette fonction différence:

x₁ 1 x₂ 1 x₃3 Calcul de la primitive :

   

¹ ⁴ ³ ¹ ² ³

 

4 2

H x 



h x dx  x x  x  x k

Comme les racines sont entières, nous devons rechercher le signe de la fonction différence pour déterminer les positions relatives des deux courbes et les présenter au sein d’un tableau des positions:

 

1 2 3

2

2 1 1 3

3 0

1 0 0

0 0 0

f f f g f f f

g g g f g g g

x x x x

x x h x Positions

Int Int

des courbes

    

        

       

     

C C C C C C C

D’où le calcul des aires géométriques :

     

^{ }

     

           

       

1 1 3 1 3

2 1 1 2 1

1

1 2 1 1 3 1

3 2 2 1 1

H x

Aire h x dx h x dx h x dx h x dx h x dx h x dx

H H H H H H

H H H H

 

  



       

        

        



     

 

1 2 3

9 9 7 9 7

4 4 4 4 4 4

94 4 2 94 74 254 4 4

57 . . 14, 25 . . 4

Aire Aire Aire

Aire u a u a

  

     

          

  

         

 

(7)

2) Soit la fonction f donnée par ^{f x}

  

^{ }^{1 2}^{x e}



^ ²^x et représentée ci-dessous.

a) Déterminer l’aire géométrique ^A

 

^λ ^{de la}

surface comprise entre la courbe, l’axe des x et les droites d’équations xλ λ 0 et







x0 , avec x₀ la racine de la fonction f .

b) Calculez ensuite

 

λlim A λ

   .

Résolution :

 x₀  Racine de f

 

0

 

² 0

0

0 1 2 0 1

2

x

f x x e x



       

 D’après le graphe, la courbe est toujours située au-dessus de l’axe des x pour λ 0

 Primitive :

         

   

2 2 2 2 2

2

2 2

1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 4 2

1 2 '

: 10 4

' 2

2 1 2 2

x par ipp x x x x

x

f x dx x e dx x e e dx x e e k

u x x v x e

IPP F x x e k

u x v x e

               

    

    

   



 

 Comme sur 1 λ; ,

2 I f

Ox

 

   

C on calcule :

       

1

1 λ

2

4 2

λ

λ 1 λ 8 10 4λ

f x dx F 2 F e e





        

A

 D’où :

     

 

calcul

1 λ intermédiaire 1

4 2 4 4

λ λ 0

λ

2 λ λ

λ 0 λ λ

2 2

lim λ 8 lim 10 4λ . . 8 8 . . 10,32 . .

10 4 4

calcul intermédiaire: lim 10 4λ lim lim 0

1 2

H

e e f i e e u a u a

e x

e e

     

         

         

 

    

 A

_______________________________________________________________________________________

Répartition des points: 16 + 28 (22+7) + 16 (8+8)

Voir annexes pour exercices supplémentaires

(8)

Annexes

Annexe 1 : Déterminez l’aire de la partie du plan délimitée par les deux courbes de fonctions et les droites d’équations x 3 et x1 avec ^{f x}

 

^^x²^⁴^x^³ ^{g x}

 

^{ }^x ³

 Fonction de la différence : ^{h x}

 

^ ^{f x}

   

^^{g x} ^^x²^⁴^x^{ }³



^x^{ }³



^x²^³^x^^{x x}



^³



Comme les racines sont entières, nous devons rechercher le signe de la fonction différence pour déterminer les positions relatives des deux courbes et les présenter au sein d’un tableau des positions:

  

3



0³ ⁰0 ¹

f g f f f

g f g g g

x h x x x Position relative

Int Int

des courbes



      

C C C C C

 Calcul d’une primitive :

   

¹ ³ ³ ²

 

3 2

H x 



h x dx x  x k

 D’où le calcul des aires géométriques :

   

^{ }

   

       

     

0 1 3 1

3 0 0 0

3 0 1 0

3 1 2 0

27 27 1 3

3 2 3 2

2 3 2 3

H x

Aire h x dx h x dx h x dx h x dx

H H H H

H H H



     

    

    

   

       

  

   

 

1 2

27 2 27 3 1 2 3

0 0

3 2 3 2

2 0 0 38

6 19 . . 6,

3

2 3 2

33 . . 3

3 Aire Aire

Aire u a u a

 

   

       

   

  

 



 

   

Annexe 2 : Adaptation du calcul de l’aire à la situation du volume

 Soit la fonction f donnée par ^{f x}

  

^{ }^{1 2}^{x e}



^ ²^x et représentée ci-dessous.

a) Déterminer le volume de rotation autour de l’axe

 

^Ox ^V

 

^λ délimité par la courbe, l’axe des x et les droites d’équations

 

0

λ λ 0 et

x  x , avec x₀ la racine de la fonction f .

b) Calculez ensuite

 

λlim V λ

   .

(9)

Résolution

a) Volume en fonction de λ

 D’après l’étude de la fonction, la courbe se trouve toujours au-dessus de l’axe des x tant que



0



1

x2 x . Il n’y a donc pas lieu de s’inquiéter quant au changement de position.

 Volume :

     

1 2 1

2 2

λ λ

λ π 1 2 π 1 2

x

V x e dx x ex dx

 

 

           







 Recherche d’une primitive :

         

     

   

       

1 2

2 2 2

2

2 2

1 2 1 2 4 1 2 1 2 4 1 2 2

1 2 '

1: 2 :

' 2

' 4 1 2

1 2 4 1 2 8 1 2 4 1 2 8 ,

ipp ipp

x x x x x x

x x x x

x e dx x e x e dx x e x e e dx

u x x v x e

ipp ipp

u x v x e

u x x v x e

x e x e e k x x e k k

 

                 

  

   

 

                

 

  

 D’où le volume cherché :

         

1 1

2 2 2 2 λ

λ

λ π 1 2 4 1 2 8 ^x π 8 1 2λ 4 1 2λ 8

V x x e e e

 

     

                

b) Limite du volume

     

   

 

1

2 λ

2

λ constante

calcul intermédiaire

2 λ

0 . .

2

lim λ lim π 8 1 2λ 4 1 2λ 8

8π lim 1 2λ 4 1 2λ 8 8π 41,44 . .

calcul intermédiaire:

lim 1 2λ

x

f i

x

V e e

e e e u v

     

   



  

 

 

         

 

         



     

 

2 λ

λ 0

λ λ

1 2λ 4 1 2λ 8

4 1 2λ 8 lim . . " "

4 1 2λ 8 8

lim lim 0

x

H H

x x

e f i

e

e e

   

 

 

     

      

       

    

  

  

