_______________________________________________________________________________________
Devoir (I,3) du 21 novembre 2017
Exercice 1 :
1) Etudiez la fonction exponentielle suivante : f : :x f x
x 2
x 1
e2x(Domaines de définition et de dérivabilité, limites et comportement asymptotique, recherche des points extrema, abscisses des points d’inflexion, tableau de variation complet, tangente à la courbe en x00 , intersection avec les axes, esquisse soignée de la courbe représentative)
2 2 2
'
. . 2 2
0 2 2 2
2
2 1 2
) : /
2 2 1 2
) lim 2 1 lim lim lim 0
1 1
2 4
0
lim 2 1
x x
f f
x f i H H
x x x
x x x x
x
x
f x x x e x x e
a CE D D
x x x
b x x e
e e e
AHG y pour x
x x e AHD
2
2
2
lim
2
? lim
x
x
x
x x
x x
AO e BP de direction Oy pour x
x
2 2 2
'
2 2
2 2
) : ' 2 2 1 2 1 Amp
lification au 2
1 1
' 4 2 2 ' 3 4
2 2
' 0
2
4 1
x x
f
x x
c x D f x x e x x e DC
f x e x x x f x x x e
f x x ou x
2 2 2
'
2 2
2 2
1 1
) : '' 2 3 3 4 Amplification au
2 2
1 1
'' 4 6 3 4 '' 7 2
4 4
7 41 7 41
'' 0 6,7 0,
2
2 2 3
2
x x
f
x x
d x D f x x e x x e DC
f x e x x x f x x x e
f x x ou x
)
f tangente à la courbe en x0 0 :
0 2 ' 0
2 2 2
0
x0 0 2 2f f y x t y x
2) Soit la fonction g donnée par l’expression :
21
x x
g x x e e
Montrez que la fonction g donnée admet au moins une asymptote oblique à la courbe, dont vous déterminez l’(les) équation(s).
Déterminez les abscisses des points extrema de cette fonction.
21
x x
g x x e e
' 0
) f f
a D D 2 AO possibles
0
) lim 2
1
x x x
b x e AHG
e
1 0 0
2 1
? ) " ": lim 1 1
1
lim
x x x
x
x e
AO i la classique m
x x e
x
0
2
1
x x
e x
e
2 2
2
ex
h
AOG y x pour x
_______________________________________________________________________________________
*
1
lim 2
1
x x x
x e AHD
e
1 0 1
* . . lim lim 1
1
2 1
? ) " ": lim 1 1
1
lim
x H x
x x
x x
x x x
x
e e
c i
e e
x e
AO i la classique m
x x e
x
1
2 1
x x
e x
e
expression affine (droite)
) " ": 2 lim lim 1
1 2 1
1 1
1 1
x
x x x
ii la rapide Comme x et x e
e
AOD y x x p
h
AOD y
ou x pour x
r x
2 2
' 2
2 2
1 2 1
) : '
1 1
1
1
x x x x x
x
x x x
f x
e e e e e e e
c x D f x
e e
e
2
x x
e e
2
2 2
2
2
1
3 1
' ' 0 3 1 0
1
: 0 3 1 0
3 5 3 5
2 2
3 5 3 5
: ln ln
2 2
x
x x
x x
x
x
e
e e
f x f x E e e
e
posons t e E t t
t ou t
revenons à x x ou x
_______________________________________________________________________________________
Exercice 2
Etudiez la fonction logarithmique suivante :
3ln 2
: : x x
f x f x
x
(Domaines de définition et de dérivabilité, limites et comportement asymptotique, recherche des points extrema, abscisses des points d’inflexion, tableau de variation complet, esquisse soignée de la courbe représentative)
'
0
3ln 2
) lim 0
0
3ln 2 3 2
lim lim 1
f f
x
x x
x
x x
b AV x
x
x x
x
2
' 2
2 2
'
1 1
1 3 3ln 2
) : '
3 3ln 2 3 3ln 2
' '
' 0 ln 2 1 ln
2 1 1.36
2 3
) : ''
f
f
AHD x x
x x x
c x D f x x
x
x x x x
f x f x
x x
f x x e
x e x e
d x D x
x
f x
x
x2
4
4 3
3 2
2 3 3ln 2
3 1 2 2 ln 2 3 2 ln 2 3 ''
'' 0 ln 2 3 2
2
1 2.24
2
x x
x
x x x
f x
x x
f x x x e
x e e
_______________________________________________________________________________________
Répartition des points: 39 (27+12) + 21
_______________________________________________________________________________________
