Correction du devoir de préparation sur les probabilités Exercice n°1 ( 3 points ) :
Voici une expérience : « Dans une boîte, il y a 8 jetons jaunes et 5 jetons verts. On tire au hasard un jeton de la boîte et on regarde sa couleur. »
1. Est-ce une expérience aléatoire ? Si oui, quels sont les résultats possibles de cette expérience ?
Il s’agit bien d’une expérience aléatoire car l’énoncé précise que les jetons sont tirés au hasard, ce qui signifie qu’on ne connait pas à l’avance le résultat de l’expérience.
Les résultats possibles sont « jaune » et « vert » car l’expérience revient à noter la couleur du jeton que l’on tire.
2. Quelle est la probabilité de tirer un jeton jaune ?
Le nombre de cas favorables à cet événement est 8 car il y a 8 jetons jaunes dans la boîte.
Le nombre total de cas est 13 car il y a 13 jetons en tout dans la boite.
La probabilité de tirer un jeton jaune est alors p = 13
8
3. On effectue un très grand nombre de tirages en remettant, à chaque fois, le jeton dans le sac.
Quelle est, approximativement, la fréquence de l’événement « Tirer un jeton vert » ? On sait que quand on réalise un très grand nombre de fois un événement, sa fréquence de réalisation est très voisine de sa probabilité de réalisation.
Déterminons alors sa probabilité de réalisation :
Le nombre de cas favorables à cet événement est 5 car il y a 5 jetons verts dans la boîte.
Le nombre total de cas est 13 car il y a 13 jetons en tout dans la boite.
La probabilité de tirer un jeton vert est alors p = 13
5
On en déduit que la fréquence de l’événement « tirer un jeton vert » est voisine de 13
5 .
Exercice n°2 ( 4 points ) :
On fait tourner une roue circulaire partagée en 10 secteurs identiques et on regarde le numéro obtenu.
1. Quelle est la probabilité d’obtenir « 5 » ?
Le nombre de cas favorables est 1 car il y a un seul secteur numéroté 5.
Le nombre de cas total est 10 car il y a 10 secteurs identiques.
La probabilité cherchée est donc p = 10
1
2. Quelle est la probabilité de tomber sur un numéro impair ?
Le nombre de cas favorables est 5 car il y a 5 secteurs qui portent un numéro impair.
Le nombre de cas total est 10 car il y a 10 secteurs identiques.
La probabilité cherchée est donc p =
2 1 10
5 =
3. Quelle est la probabilité d’obtenir un multiple de 3 ?
Le nombre de cas favorables est 3 car il y a 3 secteurs qui portent un numéro multiple de 3 ( ce sont 3 , 6 et 9 ).
Le nombre de cas total est 10 car il y a 10 secteurs identiques.
La probabilité cherchée est donc p = 10
3
Exercice n°3 ( 3 points ) :
Dans un sac, il y a des boules bleues, des boules rouges et des boules blanches. On tire une boule au hasard. On sait que la probabilité de tirer une boule bleue est de
11
4 et que celle de tirer une boule rouge est
11 2 .
1) Calculer la probabilité de tirer une boule blanche.
Il y a 3 issues possibles qui sont « rouge », « bleue » et « blanche ». On en déduit que p(rouge) + p(bleue) + p(blanche) = 1 ( la somme des probabilités des différentes issues doit être égale à 1).
Ainsi : 11
2 + 11
4 + p(blanche) = 1 soit 11
6 + p(blanche) = 1.
D’où, p(blanche) =
11 5 11
6 11 11 11
1− 6 = − =
La probabilité de tirer une boule blanche est p = 11
5
2) Calculer la probabilité de ne pas tirer une boule rouge.
Les événements « tirer une boule rouge » et « ne pas tirer une boule rouge » sont contraires. On en déduit que :
P(Tirer une boule rouge) + P(Ne pas tirer une boule rouge) = 1 c’est-à-dire, on en déduit que :
11
2 + P(Ne pas tirer une boule rouge) = 1
Soit
P(Ne pas tirer une boule rouge) =
11 9 11
2 11 11 11
1− 2 = − =
La probabilité de ne pas tirer une boule rouge est p = 11
9
Exercice n°4 ( 5 points ) :
On dispose de deux sacs identiques contenant des boules numérotées de 1 à 4. On tire au hasard une boule dans le premier sac et on note son numéro. On tire ensuite au hasard une boule dans le deuxième sac et on note son numéro.
On additionne ensuite les deux nombres.
1. À l’aide d’un tableau à double entrée établir tous les résultats possibles.
Dans la première ligne, on place les numéros des boules du premier sac ( numérotés en bleu ) et dans la première colonne on place les numéros des boules du deuxième sac ( numérotés en rouge ). Cela nous donne :
1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
2. Calculer la probabilité de chacun de ces résultats.
Il y a 7 issues possibles : 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 et 8. Calculons les probabilités de ces différentes sommes.
Pour chacune des probabilités calculées, on effectuera le nombre de sortie de chaque
comme sur le nombre total de sorties ( ici 16 ( le tableau contient effectivement 16 cases ) ).
Probabilité d’obtenir la somme 2 : p(2) = 16
1 ( il y a une sortie 2 )
Probabilité d’obtenir la somme 3 : p(3) =
8 1 16
2 = ( il y a deux sorties 3 )
Probabilité d’obtenir la somme 4 : p(4) = 16
3 ( il y a trois sorties 4 )
Probabilité d’obtenir la somme 5 : p(5) =
4 1 16
4 = ( il y a quatre sorties 5 )
Probabilité d’obtenir la somme 6 : p(6) = 16
3 ( il y a trois sorties 6 )
Probabilité d’obtenir la somme 7 : p(7) =
8 1 16
2 = ( il y a deux sorties 7 )
Probabilité d’obtenir la somme 8 : p(8) = 16
1 ( il y a une sortie 8 )
3. Chloé pense qu’on a plus de chances d’obtenir comme résultat un multiple de 3 que d’obtenir un multiple de 2. A-t-elle raison ? Justifier la réponse.
Les multiples de 3 sont ici 3 et 6.
La probabilité d’obtenir un multiple de 3 est donc :
p(3) + p(6) =
16 5 16
3 16
2 + =
Les multiples de 2 sont ici 2, 4, 6 et 8.
La probabilité d’obtenir un multiple de 2 est donc :
p(2) + p(4) + p(6) + p(8) =
16 8 16
1 16
3 16
3 16
1 + + + =
Comme
16 8 16
5 < , on a plus de chance d’obtenir une multiple de 2 qu’une multiple de 3.
Chloé n’a donc pas raison.
Exercice n°5 ( 5 points ) :
On lance un dé à 6 faces, numérotées de 1 à 6.
Si le numéro obtenu est un multiple de 3, on extrait au hasard une boule dans l'urne 1 qui contient 3 boules noires, 4 boules blanches et 3 boules rouges.
Si le numéro obtenu n'est pas un multiple de 3, on extrait une boule dans l'urne 2 qui contient 3 boules noires et 2 boules blanches.
On notera pour cela :
N l’événement « tirer une boule noire » R l’événement « tirer une boule rouge » B l’événement « tirer une boule blanche »
M3 l’événement « numéro obtenu multiple de 3 » 3M l’événement « numéro obtenu non multiple de 3 »
1) Construis un arbre de probabilité.
L’arbre est le suivant :
Explications pour les probabilités relatives au dé :
Probabilité d’obtenir un numéro de dé multiple de 3 : 2 cas favorables ( 3 et 6 ) sur 6 ce qui nous donne une probabilité de
3 1 6 2= .
Probabilité de ne pas obtenir un numéro de dé multiple de 3 : 4 cas favorables ( 1 , 2 , 4 et 5 ) sur 6 ce qui nous donne une probabilité de
3 2 6 4 = .
Explications pour les probabilités relatives à l’urne 1 :
Probabilité d’obtenir une boule rouge : 3 cas favorables sur 10 ce qui nous donne une probabilité de
10 3 .
Probabilité d’obtenir une boule noire : 3 cas favorables sur 10 ce qui nous donne une probabilité de
10 3 .
Probabilité d’obtenir une boule blanche : 4 cas favorables sur 10 ce qui nous donne une probabilité de
5 2 10
4 = .
Explications pour les probabilités relatives à l’urne 2 :
Probabilité d’obtenir une boule noire : 3 cas favorables sur 5 ce qui nous donne une probabilité de
5 3.
Probabilité d’obtenir une boule blanche : 2 cas favorables sur 5 ce qui nous donne une probabilité de
5 2.
2) Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ?
Un seul chemin possible pour obtenir une boule rouge :
On sait que pour déterminer la probabilité de l’événement symbolisé par le chemin orange, il suffit de multiplier entre elles les probabilités situées sur les branches oranges, ici
3 1 et
10
3 : PR =
10 1 10
3 3
1× = .
La probabilité d’obtenir une boule rouge est 10
1
3) Quelle est la probabilité de tirer une boule noire ? Deux chemins possibles pour obtenir une boule noire :
Pour le chemin orange :
On applique le même principe que pour la question précédente : les probabilités situées sur les branches oranges sont
3 1 et
10
3 : PN =
10 1 10
3 3
1× = .
Pour le chemin vert :
On applique le même principe que pour la question précédente : les probabilités situées sur les branches vertes sont
3 2 et
5
3 : P’N =
5 2 5 3 3
2× = .
La probabilité d’obtenir une boule noire s’obtient en ajoutant cette fois les probabilités des deux chemins. La probabilité d’obtenir une boule noire est
2 1 10
5 10
4 10
1 5 2 10
1 + = + = = .
4) Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche ?
Pour le chemin orange :
On applique le même principe que pour la question précédente : les probabilités situées sur les branches oranges sont
3 1 et
5
2 : PB =
15 2 5 2 3
1× = .
Pour le chemin vert :
On applique le même principe que pour la question précédente : les probabilités situées sur les branches vertes sont
3 2 et
5
2 : P’B =
15 4 5 2 3
2× = .
La probabilité d’obtenir une boule blanche s’obtient en ajoutant cette fois les probabilités des deux chemins. La probabilité d’obtenir une boule blanche est
5 2 15
6 15
4 15
2 + = = .
On remarquera que p(rouge) + p(blanche) + p(noire) = 1
10 10 10
4 10
5 10
1 5 2 2 1 10
1 + + = + + = =
