G1917 – Des urnes et des boules (1ère épisode) [*** à la main]
Puce dispose de trois lots de boules rouges, bleues et vertes.
Il met dans une même urne les boules rouges et bleues (à l’exclusion des boules vertes) et constate qu’avec un tirage (sans remise) de deux boules il a exactement une chance sur deux de tirer deux boules de même couleur.
Il met ensuite dans l’urne les boules bleues et vertes (à l’exclusion des boules rouges) et constate qu’avec un tirage (sans remise) de deux boules il a à nouveau exactement une chance sur deux de tirer deux boules de même couleur.
Il met enfin toutes les boules dans l’urne et constate qu’avec un tirage (sans remise) de deux boules il a une probabilité de tirer deux boules de même couleur égale à 11/32.
Q₁ Déterminer le nombre de boules bleues.
Q₂ Calculer la probabilité d’obtenir deux boules de même couleur quand Puce met dans l’urne les boules rouges et vertes (à l’exclusion des boules bleues)
Solution proposée par Bernard Vignes
Q₁
Soient r,b et v les nombres respectifs de boules rouges,bleues et vertes.
On va démontrer que v et b sont nécessairement deux nombres triangulaires consécutifs.
On pose n = r + b.
On a par hypothèse r(r – 1)/n(n – 1) + b(b – 1)/n(n – 1) = 1/2
D’où r² + b² – n(n – 1) = 0. Comme (r + b)² = r² + b² + 2rb, on en déduit rb= n(n – 1)/4.
Les variables r et b sont donc les racines de l’équation quadratique X² – nX +n(n – 1)/4 dont le discriminant Δ = n est un carré parfait si et seulement si n = k².
D’où r = k(k + 1)/2 et b = (k – 1)k/2 ou bien b = k(k + 1)/2 et rb = k(k – 1)/2. Ces deux termes sont bien deux nombres triangulaires consécutifs de rangs k – 1 et k.
De la même manière les termes b et v sont deux nombres triangulaires consécutifs .Deux cas sont possibles : 1) v = (k – 2)(k – 1)/2, en d’autres termes r,b,v constituent trois nombres triangulaires consécutifs distincts.
Soit N le nombre total de boules = r + b + v = k(k + 1)/2 + (k – 1)k/2 + (k – 2)(k – 1)/2 = (3k² – 3k + 2)/2 On a la relation
r(r – 1)/N(N – 1) + b(b – 1)/N(N – 1) + v(v – 1)/N(N – 1) = 11/32
ou encore 32 r(r – 1) + 32b(b – 1) + 32v(v – 1)= 11N(N – 1) qui donne après développement des expressions de r,b et v en fonction de l, l’équation du 3ème degré k3 – 2k² – 41k + 42 = 0 qui se factorise sous la forme (k – 7).(k – 1).(k + 6) = 0. Seule la solution k = 7 est à retenir et l’on en déduit les deux triplets de valeurs de (r,b,v) = (28,21,15) et (15,21,28)
2) v = r = k(k + 1)/2 et la relation 32 r(r – 1) + 32b(b – 1) + 32v(v – 1)= 11N(N – 1) donne l’équation du 3ème degré 3k₃ + 2k² + 41k +42 = 0 qui n’a évidemment aucune solution positive en k.
Conclusion : une seule solution avec b = 21.
Q2
On a r + v = 43.
D’où la probabilité p d’avoir deux boules rouges ou vertes de même couleur = (28*27 + 15*14)/(43*42), soit p =23/43 > 1/2
