G1917. Des urnes et des boules ***

G1917. Des urnes et des boules ***

Puce dispose de trois lots de boules rouges, bleues et vertes.

Il met dans une même urne les boules rouges et bleues (à l’exclusion des boules vertes) et constate qu’avec un tirage (sans remise) de deux boules il a exactement une chance sur deux de tirer deux boules de même couleur.

Il met ensuite dans l’urne les boules bleues et vertes (à l’exclusion des boules rouges) et constate qu’avec un tirage (sans remise) de deux boules il a à nouveau exactement une chance sur deux de tirer deux boules de même couleur. Il met enfin toutes les boules dans l’urne et constate qu’avec un tirage (sans remise) de deux boules il a une probabilité de tirer deux boules de même couleur égale à 11/32.

Q1 Déterminer le nombre de boules bleues.

Q2 Calculer la probabilité d’obtenir deux boules de même couleur quand Puce met dans l’urne les boules rouges et vertes (à l’exclusion des boules bleues).

Solution de Claude Felloneau

Q1 Il y a 21 boules bleues.

On désigne respectivement parb,v,r les nombres de boules bleues, vertes, rouges.

Les hypothèses se traduisent par b(b−1)+r(r−1)

(b+r)(b+r−1) =1

2, b(b−1)+v(v−1) (b+v)(b+v−1) =1

2 et b(b−1)+r(r−1)+v(v−1) (b+r+v)(b+r+v−1) =11

32 La première équation s’écrit 2b(b−1)+2r(r−1)=b(b−1)+2br+r(r−1)

soit

(1) b(b−1)+r(r−1)=2br.

De même, la deuxième équation s’écrit

(2) b(b−1)+v(v−1)=2bv.

et la troisième s’écrit

(3) b(b−1)+r(r−1)+v(v−1)=11

32(b+r+v)(b+r+v−1) , soit

32b(b−1)+32r(r−1)+32v(v−1)=11b(b−1)+11r(r−1)+11v(v−1)+22br+22bv+22r v d’où en tenant compte de (1) et (2),

21b(b−1)+21r(r−1)+21v(v−1)=11b(b−1)+11r(r−1)+11b(b−1)+11v(v−1)+22r v.

soit

(4) −b(b−1)+10r(r−1)+10v(v−1)=22r v.

Par soustraction de (1) et (2), on obtient (r−v)(r+v−1)=2b(r−v) donc r=v ou b=1

2(r+v−1).

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• Sir=v, (4) s’écrit−b(b−1)+20r(r−1)=22r², soitb²−b+2r²+20r=0, équation du second degré dont le discriminant∆=1−4(2r²+20r) est strictement négatif. Il n’y a donc pas de solution dans ce cas.

• Sib=1

2(r+v−1), (1)+(2)−(3) donneb(b−1)=2b(v+r)−11

32(b+v+r)(b+v+r−1) soitb(b−1)=2b(2b+1)−11

32(3b+1)(3b).

En multipliant par 32/b, on obtient 32(b−1)=64(2b+1)−33(3b+1) donc 3b=63 d’oùb=21.

Q2 La probabilité d’obtenir deux boules de même couleur lorsque l’urne ne contient que des boules rouges ou vertes estp=23/43.

p=r(r−1)+v(v−1)

(v+r)(v+r−1) . Orr+v=2b+1 et (1)+(2) donne

v(v−1)+r(r−1)= −2b(b−1)+2b(r+v)= −2b(b−1)+2b(2b+1)=2b(b+2) donc

p= 2b(b+2)

2(2b+1)b = b+2 2b+1=23

43 carb=21.

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