Puce dispose de trois lots de boules rouges, bleues et vertes.
Il met dans une même urne les boules rouges et bleues (à l’exclusion des boules vertes) et constate qu’avec un tirage (sans remise) de deux boules il a exactement une chance sur deux de tirer deux boules de même couleur.
Il met ensuite dans l’urne les boules bleues et vertes (à l’exclusion des boules rouges) et constate qu’avec un tirage (sans remise) de deux boules il a à nouveau exactement une chance sur deux de tirer deux boules de même couleur.
Il met enfin toutes les boules dans l’urne et constate qu’avec un tirage (sans remise) de deux boules il a une probabilité de tirer deux boules de même couleur égale à 11/32.
Q₁ Déterminer le nombre de boules bleues.
Q₂ Calculer la probabilité d’obtenir deux boules de même couleur quand Puce met dans l’urne les boules rouges et vertes (à l’exclusion des boules bleues)
Soient r>1, b>1, v>1 les nombres de boules rouges, bleues et vertes respectivement.
Avec les boules rouges et bleues, il y a r(r-1)+b(b-1) façons de tirer deux boules
identiques contre 2rb façons de tirer des boules différentes. Donc r2-(2b+1)r+b(b-1)=0, équation du second degré en r dont le discriminant d2=(2b+1)2-4b(b-1)=8b+1 est un carré parfait si 8b=(d-1)(d+1), donc pour tout d≥5 impair ou encore b=k(k+1)/2 pour tout entier k≥2 (d=2k+1). Alors, 2r=2b+1±d=k(k+1)+1±(2k+1) soit r=k(k-1)/2 ou r=(k+1)(k+2)/2 : r et b sont donc deux nombres triangulaires consécutifs.
Il en est de même de b et v, avec quatre cas possibles : r=v<b, b<r=v, r<b<v ou v<b<r.
Q1 : Lorsque toutes les boules sont dans l’urne, il y a m=r(r-1)+b(b-1)+v(v-1) façons de tirer 2 boules identiques sur un total de n=(r+b+v)(r+b+v-1) tirages possibles.
On trouve simplement à l’aide d’un tableur que pour b=21 avec r=15 et v=28 (ou l’inverse) m=1386=11*126 et n=4032=32*126
Q2 : Avec r=15 boules rouges et v=28 boules vertes (ou l’inverse) dans l’urne il y a 15*14+28*27=966 façons de tirer deux boules identiques sur 43*42=1806 tirages possibles soit une probabilité de 23/43 (53,5%).
