G1917. Des urnes et des boules
Puce dispose de trois lots de boules rouges, bleues et vertes.
Il met dans une même urne les boules rouges et bleues (à l’exclusion des boules vertes) et constate qu’avec un tirage (sans remise) de deux boules il a exactement une chance sur deux de tirer deux boules de même couleur.
Il met ensuite dans l’urne les boules bleues et vertes (à l’exclusion des boules rouges) et
constate qu’avec un tirage (sans remise) de deux boules il a à nouveau exactement une chance sur deux de tirer deux boules de même couleur.
Il met enfin toutes les boules dans l’urne et constate qu’avec un tirage (sans remise) de deux boules il a une probabilité de tirer deux boules de même couleur égale à 11/32.
Q₁ Déterminer le nombre de boules bleues.
Q₂ Calculer la probabilité d’obtenir deux boules de même couleur quand Puce met dans l’urne les boules rouges et vertes (à l’exclusion des boules bleues).
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Solution
Soit p,q,r les nombres respectifs de boules rouges, bleues et vertes.
Premier tirage
En posant S = p+q et P = pq, la probabilité de tirer deux boules de couleurs différentes (cad complémentaire de la probabilité de l’énoncé) vérifie
½ = (p/S)[q/(S-1)]+(q/S)[p/(S-1)] = 2P/S(S-1) d’où 4P = S^2-S
Les entiers p et q sont racines de l’équation x^2-Sx+P = 0 dont le discriminant n nécessairement entier vérifie n^2 = S^2-4P = S. Ils s’écrivent p,q = ½(n^2±n).
Ce sont les termes de rang n-1 et n de la suite “somme des entiers de 1 à n” : N(n) = 1,3,6,10,15,21,28,… ½(n-1)n,½n(n+1),...
Deuxième tirage
De même, les entiers q et r se succèdent dans N(n). De là, p,q,r (ou r,q,p) s’y succèdent et (à cette symétrie près) la solution ne dépend que de n.
Troisième tirage
La probabilité de tirer 2 boules de la même couleur est la fonction f(n) = [p(p-1)+q(q-1)+r(r-1)]/(p+q+r)(p+q+r-1)
que l’on tabule, ce qui pour f(n) = 11/32 fournit la réponse p,q,r = 15,21,28 soit 21 pour le nombre de boules bleues.
Quatrième tirage
La probabilité cherchée est (15.14+28.27)/43.42 = 23/43.
