Devoir (II,3) du 22 mars 2007 Double correction - 100'

Devoir (II,3) du 22 mars 2007

Double correction - 100'

Modérément avec

Exercice 1: Faites l'étude de la fonction f donnée par: ^{f x( )   x}



^{2 x e}



^x

i) Domaines, limites et asymptotes, extrema, tableau de variation, C_f Ox, esquisse du graphique dans un r.o.n. (unité =1 cm))

ii) Tracez sur le même graphique le point 3 2; 1 A  .

 Démontrez que A C _f .

 Montrez qu'il existe deux tangentes à C_f issues de A et déterminez les abscisses des points de tangeance à 10^3 près, en utilisant la calculatrice.

iii) Déterminez la primitive de f

 qui prend la valeur 1 pour x0;

 et calculez l'aire de la partie du plan limitée par C_f , Ox et les deux droites d'équations 0 et 2

x x ;

 et démontrez que l'aire de la partie du plan limitée par C_f , Ox et les deux droites d'équations x ( 0) et x0 tend vers une valeur finie, si  .

_______________________________________________________________________________________

Exercice 2: Calculez le volume de révolution autour de l'axe des x de la partie du plan limitée par C_f , Cg et les deux droites d'équations x 1 et x2, sachant que ^{f x}

 

^{x33x2 et g x}

 

^{ x 2}

Remarque: Un développement de produit de polynômes peut se faire à la V200

_______________________________________________________________________________________

Exercice 3:

1) Démontrez, en précisant pour quelles valeurs de a et de x les formules sont valables:

a)



^log



^{' 1}

ax ln

x a

 b)

 

^{ax 'axlna}

2) Résolvez les (in)équations suivantes: ( ,C D repêchage2005)

1 2 1 ln 2

) 3 2 12 ) ln 1 ln

2

x x

a e e e b x

x

          

_______________________________________________________________________________________

Répartition des points: 30 (10+7+13) + 12 + 18 (7+5+6)

Devoir (II,3) du 22 mars 2007

Double correction - 100' – corrigé détaillé

Exercice 1: Faites l'étude de la fonction f donnée par: ^{f x( )   x}



^{2 x e}



^x

i) Domaines, limites et asymptotes, extrema, tableau de variation, C_f Ox, esquisse du graphique dans un r.o.n. (unité =1 cm))

 Dom f  Dom f' (produit de fonctions continues et dérivables sur )

 ^lim



²



^{x lim ( ) lim 2}

 

^{x . .}

x x x

x x e f x x e B P de direction Oy

    x   

         

   

_{ }

0

2 2 2 2

lim 2 lim lim lim 0 0

H H

x

x x x

x x x x

x x x

x x e AH y

e e e

 

  



  

     

   

        





      

²



0

' 2 ^x 2 ^x 2 ^x

f x x x e x x e x e



            

 

' 0 2 2

f x   x  ou x 

 Tableau de variation:

 

     

²

2

2 2

' 0 0

min 2 2 2

0

2 2 2 x

f x f x e

e Max





  

    

 

   

 Esquisse:

ii) Tracez sur le même graphique le point 3 2; 1 A  

 .

 Démontrez que A C _f .

3 2

1,171

3 21

2 4 1 ^f

f e^ A C

 

      

 

 

 Montrez qu'il existe deux tangentes à C_f issues de A et déterminez les abscisses des points de tangeance à 10^3 près, en utilisant la calculatrice.

Equation d'une tangente à C_f en x0: t_x0  y f x

 

0  f'

  

x0  xx0



Comme At, ses coordonnées vérifient l'équation de t:

 

⁰



²



^{0 3 2 0}

0 0 0 0 0 0

200

0 0

3 1

1 2 2 3 1

2 2

4, 280 1, 246

x x x

V

x x e x e x x x e

x ou x

   

                   

   

   

Ces deux valeurs trouvées constituent les abscisses des points de tangeance et correspondent approximativement aux valeurs que l'on peut constater sur l'esquisse.

iii) Déterminez la primitive de f

 

^{( )}



²



^x

F x 



f x dx



x  x e dx

     

   

. . . 2 '

' 2 2

x x

i p p u x x x v x e

u x x v x e

  

  

     

   

   

   

     

  

²

 ^{   }

²

2 2 2

. . . 2 2 '

' 2

2 2 2 2

2 2 2 2

4 4 2

x x

x x

x x x

x x x

x x

F x x x e x e dx

i p p u x x v x e

u x v x e

x x e x e e dx

F x x x e x e e k

F x x x e k F x x e k

     

  

  

     

      

         





 qui prend la valeur 1 pour x0; ^F

 

^{0   }



^{0 2}



^{2e0 k 1  k5}

D'où la primitive cherchée: ^{F x}

  

^{  x 2}



^2ex5

 et calculez l'aire de la partie du plan limitée par C_f , Ox et les deux droites d'équations 0 et 2

x x ;

D'après notre étude de fonction, la courbe est située au-dessus de l'axe des x pour ^x

 

^{0;2 .}

D'où: Aire1 = ²

 

^{2 2}

 

0 0

( ) 2 ^x 0 4 4 . .

f x dx   x e      u a



 et démontrez que l'aire de la partie du plan limitée par C_f , Ox et les deux droites d'équations ( 0) et 0

x  x tend vers une valeur finie, si  .

D'après notre étude de fonction, la courbe est située en-dessous de l'axe des x pour

 

^{;0 ( 0)}

x   .

D'où: Aire2 = ⁰ f x dx( )



x 2



²e^{x 0} 4



2



² e^

 

  





        En passant à la limite:

 

2

 

²

2

0

2 2

lim 4 lim 2 4 lim 4 lim 4 . .

deux fois

H

Aire e u a

e e



 

   

 

     

         

Exercice 2: Calculez le volume de révolution autour de l'axe des x de la partie du plan limitée par C_f , Cg et les deux droites d'équations x 1 et x2, sachant que ^{f x}

 

^{x33x2 et g x}

 

^{ x 2}

Remarque: Un développement de produit de polynômes peut se faire à la V200

 Intersection et position relative des deux courbes:

     

 

 

3 2

2

3 2 2 4 0

) Racines: 2 1; 2 ou 0 ou 2

) Tableau des positions:

2 1 0 2

4 0 0 0

g f f f g f

f g g g f g

f x g x x x x x x

i x x x

ii

x x x

Positions Int Int Int

        

     

 

      

C C C C C C

C C C C C C

D'après le tableau des positions et le graphique, les deux courbes changent de position l'une par rapport à l'autre au sein de l'intervalle



^1;2



^.

 Etude du signe des deux fonctions :

    

 

par factorisation 3 2

0

0 3 2 0 2 1 0 2

0 2 0 2

f x x x x x x

g x x x



           

      

Par conséquent: ^{  x}



^{1;2 :}



^{f x}

 

^{0 et g x}

 

^0. L’écart par rapport à l’axe de rotation n’influe donc pas sur la position relative des deux courbes.

 Il faut donc, soit décomposer le volume total en deux volumes

       

0 2

2 2 2 2

1 0

Volume f x g x dx g x f x dx



   

^



   ^



   ^, soit utiliser la valeur absolue pour

éviter ce conflit: ^{2 2}

 

²

 

1

Volume  f x g x dx







 (pour le calcul avec la V200)

D'où le volume cherché:

      ^{ }

2 2 2 3 2 2

1

200 6 4 3 2

7 5 3 2

4 2

1

3 2 2

6 4 8 16

6 8

7 5 3 8

1552 904 2456

73, 483 . .

105 105 105

V

Volume f x g x dx x x x dx

x x x x x dx

x x x

x x

u v

 





  





       

     

     

    









_______________________________________________________________________________________

Exercice 3:

1) Démontrez, en précisant pour quelles valeurs de a et de x les formules sont valables:

a)



^log



^{' 1}

ax ln

x a

 b)

 

^{ax 'axlna}

voir livre p.57

2) Résolvez les (in)équations suivantes: ( ,C D repêchage2005)

 

 

1 2

2 2 2

2

) 3 2 12

3 2 12 3 2 12

2 12 3 0 Equation du second degré en

x x

x x x x x

x x x

a e e e Dom

e e e e e e e e e

e e e e e

  

 

    

           

      

 

 

2 200

Posons : 0 2 12 3 0

3 1

0,914 0

6 2

1 1

Revenons à x : ln ln 2

2 2

ln 2

x V

x

t e e t e t

t à rejeter ou t

e

e x

S

       

     



    

 

0

0

2

2 ln

1 ln 2

) ln 1 ln

2

* : 1 0 et 0 1 et 0

1 ln 2 1

* : ln 1 ln 2 ln 1 ln 2

2

1 1

ln 1 ln 2 ln ln 2

fonction 1

monotone croissante

b x

x

Conditions x x x x

Domaine

x x x

x x

x x

x x

x x





 

   

      



 

   

            

   

        

 

 

2

2 2

0

0 0

1 2

2 0

* Racines : 1; 0 ; 1

2

* Solution : 1;0

x x

x

x x x

S



 

    

     

 

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Répartition des points: 30 (10+7+13) + 12 + 18 (7+5+6)