UNIVERSITE MOHAMMED V Faculté des sciences, Rabat Année 2019–2020: SMA4/M21 Calcul intégrales et formes di¤érentielles.
CORRECTION-DEVOIR 3
Exercice 1 (Examen …nal2014-15).
Pour toutx 0;on pose :
F(x) =R1
0
1 cos(t) t2 e xtdt:
1)
Montrer que pour toutx 0;l’intégrale dé…nissantF est convergente:La fonction f(t; x) =1 cos(t)t2 e xt est continue sur]0;1[ [0;1[: De plus,jf(t; x)j 1 cos(t)t2 je xtj 1 cos(t)t2 ;
car 1 cos(t)t2 0et je xtj 1 pour toutt >0etx 0:
La fonction 1 cos(t)t2 est intégrable sur]0;1[car
limt!0+( 1 cos(t)t2 ) =12 ( on utilise le règle de l’Hspitale ou D.L).
La fonction 1 cos(t)t2 est prolongeable par continuité en0;
par conséquent la fonction 1 cos(t)t2 est intégrable sur[0;1]
et est bornée sur]0;1]:
Pourt >1;on a 0 1 cos(t)t2 2 t2
par conséquent la fonction 1 cos(t)t2 est intégrable sur[1;1[
et est bornée sur[1;1[:la fonction 1 cos(t)t2 est intégrable sur]0;1[ et est bornée sur]0;1[:La fonction f(t; x)est continue sur]0;1[ [0;1[ et est dominée par une fonction intégrable,
doncR1
0
1 cos(t)
t2 e xtdtest convergente:
2)Montrer que la fonction F est continue sur[0;1[:
La fonction f(t; x)véri…e les conditions du théorème de continuité donc la fonctionF(x) =R1
0
1 cos(t)
t2 e xtdtest continu sur [0;1[: 3)Etudier la limite éventuelle de F en +1:
La fonction 1 cos(t)t2 est bornée sur]0;1[ , il existe une constanteM telle que 1 cos(t)t2 M;donc pour tout x >0;on a
jF(x)j MR1
0 e xtdt=Mlimb!1
he xt x
ib 0= Mx: DoncF(x)tend vers0quandxtend vers1:
4)Montrer queF est de classeC1sur]0;1[et calculerF0(x):
Pour toutx0>0; on a :@x@ (f(t; x0)) = t(1 cos(t)t2 e x0t):
On a @x@ (f(t; x0)) t(1 cos(t)t2 e xt) M =g(t)sur]0;1]; et @x@ (f(t; x)) (1 cos(t)t e x0t) 2e x0t 2e ct=g(t);
0< c < x0; t2]1;1[:La fonction gest intégrable sur]0;1[: D’après le théorème de dérivation, on aF(x)de classeC1sur]c;1[;
F0(x0) =R1
0 (1 cos(t)t e x0t)dt:
DoncF est classeC1 sur]0;1[:
Contrôle 13 Avril 2017.
Exercice 1.
Calculer:
limn!1R1
0 sin(nt)
nt+t2dt:
La fonction fn(t) = sin(nt)nt+t2 est continue sur ]0;1[pour toutn2N : 0n alimt!0+fn(t) = limt!0+sin(nt)nt+t2 = 1;(Hospital;
sin(nt) nt
1+nt ):
La fonction est prolongeable par continuité en0;
doncR1
0 fn(t)dtest convergente pour toutn2N : Pour toutt 1;on ajfn(t)j=jsin(nt)j
jnt+t2j 1
t2 pour toutn2N : doncR1
1 fn(t)dtest convergente pour toutn2N : Par conséquent,R1
0 fn(t)dtest convergente pour toutn2N : Pour toutt2]0;1[,limn!1sin(nt)
nt+t2 = 0;la suite de fonctionsfn
converge simplement vers0:
De plus la suite de fonctionsfn est dominée par la fonction intégrable sur]0;1[dé…nie par :
g(t) = 1 si0< t 1; (car sin(nt) nt)
1
t2 si t >1: .
D’après le théorème de convergence dominée, on a:
limn!1R1 0
sin(nt)
nt+t2dt=R1
0 limn!1sin(nt)
nt+t2dt=R1
0 0dt= 0:
Exercice 2 .
On considère la fonctionF dé…nie par:
F(x) =R1 0
e t cos(t) t e xtdt:
1)
Montrer queF est bien dé…nie pour toutx >0:La fonction f(t; x) =e t tcos(t)e xt est continue sur ]0;1[ ]0;1[: limt!0+(e t tcos(t)e xt) = 1 ( on utilise le règle de l’Hspitale ou D.L).
La fonction f(t; x)est prolongeable par continuité en0;
par conséquent la fonctionf(t; x)est intégrable sur[0;1]
pour tout x >0:
Pourt >1; x >0;on a jf(t; x)j 2etxt t12 car je t cos(t)j 2 ete xt 1t pour toutt >1et x >0:
Par conséquent la fonctionf(t; x)est intégrable sur[1;1[ et donc la fonctionf(t; x)est intégrable sur]0;1[: On conclut queR1
0
e t cos(t)
t e xtdtest convergente pour tout x >0:
c-à-d queF est bien dé…nie pour toutx >0:
2)Montrer queF est de classeC1sur]0;1[ et calculer explicitementF0(x)pour toutx >0:
La fonction f(t; x)véri…e les conditions du théorème de continuité donc la fonctionF(x) =R1
0
e t cos(t)
t e xtdtest continue sur]0;1[: Soitx >0;pout toutt >0;on a :
@
@x(f(t; x)) = ( e t+ cos(t))e xt: La fonction f(t; x)est continue sur]0;1[ ]0;1[:
On a @x@ (f(t; x)) j( e t+ cos(t))e xtj 2e xt 2e ct=g(t);
0< c < x; t2]0;1[:La fonctiong est intégrable sur]0;1[: D’après le théorème de dérivation, on aF(x)de classeC1sur]0;1[;
F0(x) =R1
0
@
@x(f(t; x))dt=R1
0 ( e t+ cos(t))e xtdt:
Calculons explicitementF0(x) : F0(x) =R1
0 ( e t+ cos(t))e xtdt=R1
0 e (x+1)tdt+R1
0 cos(t)e xtdt R1
0 e (x+1)tdt= limb!1h
e (x+1)t x+1
ib
0= x+11 : Remarque:Pour calculer R1
0 cos(t)e xtdt;on utilise la même technique pour montrer l’expression suivante:
R eaucos(bu)du=eau(acos(bu)+ba2+b2 sin(bu))+c;
en intégrant deux fois partie et on obtient : R1
0 cos(t)e xtdt=he xt(cos(t) xsin( xt)) 1+x2
i1 0 = R1
0 cos(t)e xtdt= limB!1
he xt( xcos(t)+sin( xt)) 1+x2
iB
0 = 1+xx2: Véri…er le résultat directement.
Donc pout x >0;on a :
F0(x) = x+11 +1+xx2: 3)En déduire la valeur deF(x)pour toutx >0:
F(x) =R
( x+11 +1+xx2)dx=R 1
x+1dx+12R 2x
1+x2dx F(x) =12ln(1 +x2) ln(1 +x) = ln(p1+x1+x2) +c:
On alimx!1F(x) = 0( carjF(x)j Mx , comme précédemment ).
limx!1F(x) = limx!1(ln(p1+x1+x2) +c) =c= 0:
On obtient pour toutx >0 :
F(x) = ln(p1+x1+x2):
Exercice 3 .
On noteD le domaine délimité par les droites:
x= 0; y=x+ 2et y= x:
1)
Calculer directement:I= ZZ
D
(x y)dxdy:
On a :
D= (x; y)2R2 = 1 x 0 et x y x+ 2 D est un domaine régulier ( voir Image-Saghdaoui).
En utilisant le théorème 19 ( Fubini) page57.
I= ZZ
D
(x y)dxdy =R0 1(Rx+2
x (x y)dy)dx=R0 1
hxy y22ix+2 x dx= R0
1(2x2 2)dx= 43: 2)CalculerI au moyen du changement de variables:
u=x+y etv=x y:
Donc,x=u+v2 ety= u v2 :
@(x;y)
@(u;v) = det
1 2
1 1 2 2
1 2
= 12: On a ;
(1) 1 x 0 et (2) x y x+ 2 En ajoutant (1) à (2) on a
1 x x+y x+ 2 , on obtient : 0 u 2:
D’autre part en retranchant ( 2) de (1), on a x 3 v x, on obtient : 2 v 0:
De (1), on a x= u+v2 0 et doncv u:
On a alors : 2 v u:
L’image deDest déterminée par:
=f(u; v)= 0 u 2; 2 v u:g: I=
ZZ
D
(x y)dxdy=R2 0(R u
2 1
2vdv)du=R2
0(u42 1)du
I=h
u3 12 ui2
0= 128 2 = 43:
Exercice 4 .
SoitS le domaine dé…ni par : S =n
(x; y; z)2R3= z42 x2+y2 1; 2 z 2o : 1)DessinerS ( Image- Belmouden).
Le domaineS est la partie du cylindrex2+y2 1; 2 z 2 privé du cône d’équation z42 x2+y2= 0
(pour une illustration du cône voir page 18-19, Fonctions de plusieurs vari- ables).
2)Calculer
ZZZ
S
(x2+y2+z2)dxdydz:
On utilise les coordonnées cylidriques :
x=rcos( ); y=rsin( ); z=z:
On obtient: 0 2 ; jz2j r 1car z42 x2+y2 1
et 2 z 2:
I= ZZZ
S
(x2+y2+z2)dxdydz=R2 0 (R2
2(R1
jzj
2 (r2+z2)rdr)dz)d I=R2
0 (R0 2(R1
z
2(r2+z2)rdr)dz+R2 0(R1
z
2(r2+z2)rdr)dz)d On peut calculer directement ou remarquer que:
R0 2(R1
z
2(r2+z2)rdr)dz=R2 0(R1
z
2(r2+z2)rdr)dz:
On a alors:
I= 2R2 0 (R2
0(R1
z
2(r3+z2r)dr)dz)d = I= 2R2
0 (R2 0
hr4
4 +r22z2i1
z 2
dz)d I= 4 R2
0(14+z22 z644 z84)dz=10415:
