Correction du devoir de mathématiques n°3 de 5ème : Expressions littérales Exercice n°1 ( 6 points ) :
Calculer les expressions littérales suivantes sachant que a = 3, b = 5 et c = 9 :
A = a + c – b A = 3 + 9 – 5 A = 12 – 5 A = 7
La valeur de l’expression A est 7 lorsque a = 3, b = 5 et c = 9.
B = 3a + 4c – 2b
B = 3 × a + 4 × c – 2 × b B = 3 × 3 + 4 × 9 – 2 × 5 B = 9 + 36 – 10
B = 45 – 10 B = 35
La valeur de l’expression B est 35 lorsque a = 3, b = 5 et c = 9.
C = a² + b3
C = a × a + b × b × b C = 3 × 3 + 5 × 5 × 5 C = 9 + 25 × 5
C = 9 + 125 C = 134
La valeur de l’expression C est 134 lorsque a = 3 et b = 5.
D = a(b + c) + 2(a + c) D = a × (b + c) + 2 × (a + c) D = 3 × (5 + 9) + 2 × (3 + 9) D = 3 × 14 + 2 × 12
D = 42 + 24 D = 66
La valeur de l’expression D est 66 lorsque a = 3, b = 5 et c = 9.
E = (6b + 2a) ÷ 9 E = (6 × b + 2 × a) ÷ 9 E = (6 × 5 + 2 × 3) ÷ 9 E = (30 + 6) ÷ 9
E = 36 ÷ 9 E = 4
La valeur de l’expression E est 4 lorsque a = 3 et b = 5.
F = (a + b)(a + c) F = (3 + 5) × (3 + 9) F = 8 × 12
F = 96
La valeur de l’expression F est 96 lorsque a = 3, b = 5 et c = 9.
Exercice n°2 ( 6 points ) :
Tester les égalités et les inégalités pour x = 3 , y = 7 et z = 11 :
a) 4x + 2y = 2z + 4
Calcul de la valeur de 4x + 2y :
4x + 2y = 4 × x + 2 × y = 4 × 3 + 2 × 7 = 12 + 14 = 26
Calcul de la valeur de 2z + 4 :
2z + 4 = 2 × z + 4 = 2 × 11 + 1 = 22 + 4 = 26
Comme 26 = 26, on peut conclure que l’égalité 4x + 2y = 2z + 4 est vraie lorsque x = 3, y = 7 et z = 11.
b) x² + y² = z²
Calcul de la valeur de x² + y² :
x² + y² = x × x + y × y = 3 × 3 + 7 × 7 = 9 + 49 = 58
Calcul de la valeur de z² :
z² = z × z = 11 × 11 = 121
Comme 121 ≠ 58, on peut conclure que l’égalité x² + y² = z² est fausse lorsque x = 3, y = 7 et z = 11.
c) 2(x + z) < 3y + 1
Calcul de la valeur de 2(x + z) :
2(x + z) = 2 × ( x + z ) = 2 × ( 3 + 11 ) = 2 × 14 = 28
Calcul de la valeur de 3y + 1 :
3y + 1 = 3 × y + 1 = 3 × 7 + 1 = 21 + 1 = 22
Comme 28 n’est pas inférieur à 22, on peut conclure que l’inégalité 2(x + z) < 3y + 1 est fausse lorsque x = 3, y = 7 et z = 11.
d) x² + y3 > 7z + 34
Calcul de la valeur de x² + y3 :
x² + y3 = x × x + y × y × y = 3 × 3 + 7 × 7 × 7 = 9 + 49 × 7
= 9 + 343 = 352
Calcul de la valeur de 7z + 34 :
7z + 34 = 7 × z + 34 = 7 × 11 + 34 = 77 + 34 = 111
Comme 352 > 111, on peut conclure que l’inégalité x² + y3 > 7z + 34 est vraie lorsque x = 3, y = 7 et z = 11.
Exercice n°3 ( 5 points ) :
Réduire les expressions littérales suivantes :
A = 2a + 5b + 3c + 7a – 2b A = 2a + 7a + 5b – 2b + 3c A = 9a + 3b + 3c
La forme réduite de l’expression A est 9a + 3b + 3c.
B = 3x² + 5y + 7x² – 4y B = 3x² + 7x² + 5y – 4y B = 10x² + y
La forme réduite de l’expression B est 10x² + y.
C = 7a × 2 + 5b × 3 + 3c × 6 – 4a × 3 + 5 × c – 4 × 2b C = 14a + 15b + 18c – 12a + 5c – 8b
C = 14a – 12a + 15b – 8b + 18c + 5c C = 2a + 7b + 23c
La forme réduite de l’expression C est 2a + 7b + 23c.
D = 5a × 3b + 3a × a – 2a × b + 5 a × a D = 15ab + 3a² – 2ab + 5a²
D = 15ab – 2ab + 3a² + 5a² D = 13ab + 8a²
La forme réduite de l’expression D est 13ab + 8a².
Exercice n°4 ( 3 points ) :
1) Ecrire l’expression littérale correspondant au programme de calcul ci- dessous :
• Choisir un nombre
• lui ajouter 3
• multiplier la somme par 4
• soustraire 8
Comme on choisit un nombre quelconque, nous allons le nommer x.
x x + 3 4(x + 3) 4(x + 3) – 8
Le programme se traduit par l’expression littérale 4(x + 3) – 8 pour un nombre x choisi au départ.
2) Qu’obtient-on comme résultat si on choisit 10 comme nombre ?
Première méthode : on utilise l’expression littérale déterminée au 1) :
Comme on choisit au départ le nombre 10, on va remplacer x par 10 :
4(x + 3) – 8 = 4 × ( 10 + 3) – 8 = 4 × 13 – 8
= 52 – 8 = 44
Deuxième méthode : on applique le programme de calcul à 10 :
10 13 52 44
Lorsqu’on applique ce programme de calcul au nombre 10, on obtient comme résultat final 44.
3) Quel nombre avait-on choisi si on a obtenu 24 comme résultat final ?
Il suffit d’appliquer le programme de calcul à l’envers et d’inverser les opérations :
On obtient 24 après avoir soustrait 8 : le nombre précédent cette soustraction était donc 24 + 8 = 32.
On obtient 32 après avoir multiplié par 4 : le nombre précédent cette multiplication était donc 32 ÷ 4 = 8.
On obtient 8 après avoir ajouté 3 : le nombre précédent cette addition était donc 8 – 3 = 5.
Ou utiliser le programme initial à l’envers, en partant de 24 à la fin :
? ? ? 24
5 8 32 24
Pour obtenir 24 avec ce programme de calcul, il fallait partir du nombre 5.
