Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2012-2013
D. Blotti`ere Math´ematiques
Correction du devoir maison n˚5
Exercice (Une suite d’entiers qui converge stationne)
Soit (un)n∈N une suite d’entiers (i.e. pour toutn∈N,un∈Z) qui converge.
On se propose de montrer que la suite (un)n∈Nest stationnaire, i.e. qu’il existen0∈Ntel que pour toutn∈N: n≥n0⇒un =un0.
1. Montrer qu’il existen0∈Ntel que pour toutn∈N:
n≥n0⇒ |un0−un| ≤ 1 2.
On pourra introduire la limite l∈Rde la suite (un)n∈N et appliquer la d´efinition de la convergence de la suite(un)n∈N versl ≪pour unε >0bien choisi≫.
2. Conclure.
Correction
1. On note l∈Rla limite de la suite (un)n∈N.
• Une observation
Soit (n, m)∈N2. On a :
|un−um|=|un−l+l−um| ≤
(∗)
|un−l|+|l−um| =
(∗∗)|un−l|+|um−l|
l’in´egalit´e (∗) r´esultant de l’application de la premi`ere in´egalit´e triangulaire, l’´egalit´e (∗∗) r´esultant du fait que si x∈R, alors |x|=| −x|. Ainsi, en majorant|un−l| et|um−l|, on obtient une majoration de|un−um|.
Mais en utilisant la convergence de la suite (un)n∈Nversl, on peut obtenir une majoration de|un−l|
avec un majorant arbitrairement petit, `a partir d’un certain rang. On en d´eduit que l’on peut obtenir une majoration de|un−um|avec un majorant arbitrairement petit, `a partir d’un certain rang.
Ce sont ces id´ees qui sous-tendent la suite qui, pour partie, consiste `a formaliser le raisonnement ci- dessus.
• Heuristique
Soit ε > 0. Comme la suite (un)n∈N converge vers l, il existe un entier naturel n0 tel que pour tout n∈N:
n≥n0⇒ |un−l| ≤ε. (1)
Notons qu’en appliquant (1) avecn=n0, on a :
|un0−l| ≤ε. (2)
Soitn∈Ntel quen≥n0. Alors d’apr`es (1), on a :
|un−l| ≤ε. (3)
D’autre part :
|un−un0| = |un−l+l−un0|
≤ |un−l|+|l−un0| (1`erein´egalit´e triangulaire)
≤ |un−l|+|un0−l| (six∈R,|x|=| −x|)
≤ 2ε (cf. (2) et (3)).
On a ainsi prouv´e que pour tout n∈N:
n≥n0⇒ |un−un0| ≤2ε.
• Conclusion
On d´eduit de cette ´etude qu’en choisissant ε = 1
4 > 0 au d´ebut de la preuve, on obtient le r´esultat demand´e.
2. • Un argument
Pour d´emontrer le r´esultat, on s’appuie sur la propri´et´e suivante : le nombre 0 est le seul entier relatif compris entre−1
2 et 1 2.
• Solution
On consid`ere l’entier naturel n0 livr´e par la question 1. Soitn un entier naturel tel quen≥n0. On a alors :
|un−un0| ≤ 1 2. On en d´eduit que :
−1
2 ≤un−un0≤ 1
2 (sia∈R+ etx∈R, alors on a|x| ≤assi−a≤x≤a). (4) Mais la suite (un)n∈Nest une suite d’entiers, donc un0 etun sont des ´el´ements deZ. Par suite :
un−un0∈Z. (5)
De (4) et (5), on d´eduit queun−un0 = 0 et donc queun=un0. La suite (un)n∈Nest donc stationnaire.
Probl`eme (La constante γ d’Euler)
1. Deux ´etudes de signes (a) Soit la fonction
f:R+∗→R; x7→ 1 x+ ln
x x+ 1
.
i. ´Etudier les limites ´eventuelles def en 0+ et en +∞.
ii. ´Etudier les variations de f surR+∗.
iii. En d´eduire le signe def(x) pour tout x∈R+∗. (b) Soit la fonction
g:R+∗→R; x7→ 1 x+ 1 + ln
x x+ 1
.
i. ´Etudier les limites ´eventuelles deg en 0+et en +∞.
ii. ´Etudier les variations de gsurR+∗.
iii. En d´eduire le signe deg(x) pour toutx∈R+∗. 2. La constante γ d’Euler
Pour toutn∈N≥2, on d´efinit : un=
n−1
X
k=1
1 k
!
−ln(n) et vn =
n
X
k=1
1 k
!
−ln(n).
(a) Montrer que les suites (un)n∈N≥2 et (vn)n∈N≥2 sont adjacentes.
D’apr`es le th´eor`eme des suites adjacentes, les suites (un)n∈N≥2 et (vn)n∈N≥2 convergent vers une limite finie commune. Cette derni`ere est appel´ee constante d’Euler et est not´eeγ.
(b) D´eduire du th´eor`eme des suites adjacentes un entier natureln0tel que :
|vn0−γ| ≤10−3.
(c) ´Ecrire un algorithme qui affiche une valeur approch´ee de γ avec une pr´ecision inf´erieure ou ´egale `a 10−3.
(d) Impl´ementer l’algorithme pr´ec´edent (sur Maple ou sur une calculatrice) et donner la valeur approch´ee deγ ainsi obtenue.On donnera un nombre d´ecimal, avec un nombre pertinent de d´ecimales.
3. Divergence vers +∞ de la suite
n
X
k=1
1 k
!
n∈N≥2
Deux suites (αn)n∈N≥2 et(βn)n∈N≥2 `a termes tous non nuls sont dites ´equivalentes si : αn
βn →
n→+∞1.
Dans ce cas, on note : αn ∼
n→+∞βn.
D´eduire de la convergence de (vn)n∈N≥2 versγ que :
n
X
k=1
1
k →
n→+∞+∞
puis que :
n
X
k=1
1
k ∼
n→+∞ln(n).
Remarque − La derni`ere assertion signifie intuitivement que ≪les suites
n
X
k=1
1 k
!
n∈N≥2
et (ln(n))n∈N≥2
divergent vers +∞ `a la mˆeme vitesse≫. Correction
1. Deux ´etudes de signes
(a) i. • Etude de la limite ´´ eventuelle de f en0+ Pour toutx∈R+∗, on a :
f(x) = 1 x+ ln
x x+ 1
= 1
x+ ln(x)−ln(x+ 1). (6)
On a :
x+ 1 →
x→0+1 ln(X) →
X→10 (continuit´e de ln en 1)
composition
de limites⇒ ln(x+ 1) →
x→0+0. (7) Il reste donc `a ´etudier le comportement asymptotique de 1
x+ ln(x) quandxtend vers 0+. Pour tout x∈R+∗, on a :
1
x+ ln(x) = 1 +xln(x)
x .
De
xln(x) →
x→0+0 (croissances compar´ees) et des op´erations sur les limites (≪ 1
0+ = +∞≫), on d´eduit que : 1
x+ ln(x) = 1 +xln(x)
x →
x→0++∞. (8)
D’apr`es (6), (7), (8) et les op´erations sur les limites, on a donc : f(x) →
x→0++∞.
• Etude de la limite ´´ eventuelle def en+∞
Pour toutx∈R+∗, on a :
x
x+ 1 = x x
1 + 1
x
= 1 1 + 1
x .
On en d´eduit :
x x+ 1 →
x→+∞1.
On a alors : x x+ 1 →
x→+∞1 ln(X) →
X→10 (continuit´e de ln en 1)
composition de limites⇒ ln
x x+ 1
x→+∞→ 0. (9)
D’apr`es (9), 1
x →
x→+∞0 et les op´erations sur les limites, on a : f(x) = 1
x+ ln x
x+ 1
x→+∞→ 0.
ii. • D´erivabilit´e de f surR+∗
La fonction
f1:R+∗→R+∗; x7→ x x+ 1 est bien d´efinie car six∈R+∗ :
x+ 16= 0 et x x+ 1 >0.
En outre, elle est d´erivable surR+∗ (comme restriction d’une fonction rationnelle).
La fonction
f2:R+∗→R:x7→ln(x)
est d´erivable sur R+∗ (fonction usuelle). De plus, comme l’ensemble de d´epart def2 co¨ıncide avec l’ensemble d’arriv´ee def1, la compos´eef2◦f1 est bien d´efinie.
La fonction
f3:R+∗→R:x7→ 1 x est d´erivable surR+∗ (restriction de la fonction inverse, usuelle).
D’apr`es les d´efinitions des fonctionsf1, f2, f3, on a :
f =f3+f2◦f1. (10)
Par op´erations (somme et compos´ee) sur les fonctions d´erivables,f est d´erivable surR+∗.
• Calcul def′(x)pour toutx∈R+∗
D’apr`es (10), on a pour tout x∈R+∗ :
f′(x) =f3′(x) +f1′(x)×f2′(f1(x)). (11) De plus, pour toutx∈R+∗:
f1′(x) = 1×(x+ 1)−1×x
(x+ 1)2 = 1
(x+ 1)2 (12)
f2′(x) = 1
x (13)
f3′(x) =−1
x2. (14)
De (11), (12), (13) et (14), on d´eduit que pour toutx∈R+∗ : f′(x) = −1
x2 + 1
(x+ 1)2× 1 x x+ 1
= −1
x2 + 1
(x+ 1)2×x+ 1 x
= −1
x2 + 1 x(x+ 1)
= − x+ 1
x2(x+ 1) + x x2(x+ 1)
= − 1
x2(x+ 1).
• Signe def′
Pour toutx∈R+∗, on ax2>0,x+ 1>0 et par suite : f′(x) =− 1
x2(x+ 1) <0.
• Variations def
– La fonction f est d´efinie surR+∗= ]0,+∞[ qui est un intervalle deR. – La fonction f est d´erivable (donc continue) surR+∗.
– f′ est strictement n´egative surR+∗.
D’apr`es le crit`ere diff´erentiel de monotonie stricte, la fonction f est strictement d´ecroissante surR+∗.
iii. – La fonctionf est d´efinie surR+∗= ]0,+∞[ qui est un intervalle deR.
– La fonction f est continue surR+∗(puisque d´erivable surR+∗, d’apr`es la question 1.(a).ii).
– La fonction f est strictement d´ecroissante surR+∗.
La fonction f v´erifie donc les hypoth`eses du th´eor`eme de la bijection. Une cons´equence de ce th´eor`eme est que l’imagef(R+∗) def est donn´ee par :
f(R+∗) =f(]0,+∞[) =
x→+∞lim f(x), lim
x→0+f(x)
= ]0,+∞[ (cf. question 1.(a).i).
Ainsi a-t-on :
∀x∈R+∗ f(x)>0.
(b) i. • Etude de la limite ´´ eventuelle deg en0+ On a :
x x+ 1 →
x→0+0+ ln(X) →
X→0+−∞ (limite usuelle)
composition de limites⇒ ln
x x+ 1
x→0→+−∞. (15)
De (15), 1 x+ 1 →
x→0+1 et des op´erations sur les limites, on d´eduit que : g(x) = 1
x+ 1 + ln x
x+ 1
→
x→0+−∞.
• Etude de la limite ´´ eventuelle deg en+∞
D’apr`es (9), 1 x+ 1 →
x→+∞0 et les op´erations sur les limites, on a : g(x) = 1
x+ 1 + ln x
x+ 1
x→+∞→ 0.
ii. • D´erivabilit´e de g surR+∗
La fonction
g1:R+∗→R:x7→ 1 x+ 1
est bien d´efinie (si x∈R+∗ alors 1 +x6= 0) et d´erivable sur R+∗ (restriction d’une fonction rationelle).
D’apr`es les d´efinitions des fonctionsf1, f2 (cf. question 1.(a).ii) etg1, on a :
g=g1+f2◦f1. (16)
Par op´erations (somme et compos´ee) sur les fonctions d´erivables,g est d´erivable surR+∗.
• Calcul deg′(x) pour toutx∈R+∗
D’apr`es (16), on a pour tout x∈R+∗ :
g′(x) =g′1(x) +f1′(x)×f2′(f1(x)). (17) En reprenant les calculs effectu´es en 1.(a).ii, on voit que pour toutx∈R+∗ :
f1′(x)×f2′(f1(x)) = 1
x(x+ 1). (18)
De plus, pour toutx∈R+∗:
g1′(x) =− 1
(x+ 1)2 (19)
De (17), (18) et (19), on d´eduit que pour toutx∈R+∗ : g′(x) = − 1
(x+ 1)2 + 1 x(x+ 1)
= − x
x(x+ 1)2 + x+ 1 x(x+ 1)2
= 1
x(x+ 1)2.
• Signe deg′
Pour toutx∈R+∗,x >0, (x+ 1)2>0 et par suite : g′(x) = 1
x(x+ 1)2 >0.
• Variations deg
– La fonction gest d´efinie surR+∗= ]0,+∞[ qui est un intervalle deR. – La fonction gest d´erivable (donc continue) surR+∗.
– g′ est strictement positive surR+∗.
D’apr`es le crit`ere diff´erentiel de monotonie stricte, la fonctiong est strictement croissante sur R+∗.
iii. – La fonctiongest d´efinie surR+∗= ]0,+∞[ qui est un intervalle deR.
– La fonction gest continue sur R+∗(puisque d´erivable surR+∗, d’apr`es la question 1.(a).ii).
– La fonction gest strictement croissante surR+∗.
La fonction g v´erifie donc les hypoth`eses du th´eor`eme de la bijection. Une cons´equence de ce th´eor`eme est que l’imageg(R+∗) degest donn´ee par :
g(R+∗) =g(]0,+∞[) =
xlim→0+g(x), lim
x→+∞g(x)
= ]− ∞,0[ (cf. question 2.(a).i).
Ainsi a-t-on :
∀x∈R+∗ g(x)<0.
2. La constante γ d’Euler
(a) • Etude des variations de la suite´ (un)n∈N≥2
Soitn∈N≥2.
un+1−un =
(n+1)−1
X
k=1
1 k
−ln(n+ 1)− n−1
X
k=1
1 k
!
−ln(n)
!
=
n
X
k=1
1 k
!
−
n−1
X
k=1
1 k
!
+ ln(n)−ln(n+ 1)
= 1
n+ ln n
n+ 1
= f(n)
Or on a ´etabli en 1.(a).iii quef est strictement positive sur R+∗. On a donc f(n)>0.
La suite (un)n∈N≥2 est donc (strictement) croissante.
• Etude des variations de la suite´ (vn)n∈N≥2
Soitn∈N≥2.
vn+1−vn =
n+1
X
k=1
1 k
!
−ln(n+ 1)− n
X
k=1
1 k
!
−ln(n)
!
=
n+1
X
k=1
1 k
!
−
n
X
k=1
1 k
!
+ ln(n)−ln(n+ 1)
= 1
n+ 1+ ln n
n+ 1
= g(n)
Or on a ´etabli en 2.(a).iii queg est strictement n´egative surR+∗. On a doncg(n)<0.
La suite (vn)n∈N≥2 est donc (strictement) d´ecroissante.
• Etude du comportement asymptotique de la suite´ (un−vn)n∈N≥2
Soitn∈N≥2.
un−vn =
n−1
X
k=1
1 k
!
−ln(n)− n
X
k=1
1 k
!
−ln(n)
!
=
n−1
X
k=1
1 k
!
−
n
X
k=1
1 k
!
= −1 n On a donc :
un−vn=−1 n n →
→+∞0.
• D’apr`es les trois points pr´ec´edents, les suites (un)n∈N≥2 et (vn)n∈N≥2 sont, par d´efinition, adja- centes.
(b) Soit γ ∈ R la limite commune des suites (un)n∈N≥2 et (vn)n∈N≥2. D’apr`es le th´eor`eme des suites adjacentes, on a pour tout n∈N≥2 :
u2≤un≤γ≤vn ≤v2.
Soitn∈N∗.
un≤γ≤vn ⇒ un−vn≤γ−vn≤0 (soustraction devn `a chaque membre)
⇒ −1
n ≤γ−vn≤0 (cf. question 2.(a))
⇒ |γ−vn| ≤
−1 n
(la fonction valeur absolue est d´ecroissante surR−)
⇒ |vn−γ| ≤ 1
n (six∈R, alors|x|=| −x|) Ainsi voit-on qu’en posantn0= 103, on obtient :
|vn0−γ| ≤ 1 n0
= 10−3.
Remarque : On aurait pu choisir pour n0 tout entier sup´erieur ou ´egal `a103.
(c) D’apr`es la question 2.(b), on sait que la valeur deu1000 fournit une une valeur approch´ee deγ avec une pr´ecision inf´erieure ou ´egale `a 10−3. L’algorithme suivant calcule, puis affiche, une valeur ap- proch´ee deu1000.
s := 0 : # s sert `a calculer la somme pour k allant de 1 `a 1000 des 1/k for k from 1 to 1000 do
s := s + 1/k : od :
u1000 := evalf( s - ln(1000) ) : # valeur approch´ee cherch´ee print(u1000) ;
(d) On ne donne que trois chiffres apr`es la virgule, d’apr`es l’estimation de l’erreur que nous connaissons.
A l’aide de l’algorithme pr´ec´edent, on trouve qu’une valeur approch´ee de` γ est : 0,577.
3. Divergence vers +∞ de la suite
n
X
k=1
1 k
!
n∈N≥2
• Comportement asymptotique de la suite
n
X
k=1
1 k
!
n∈N≥2
Pour toutn∈N≥2, on a :
vn=
n
X
k=1
1 k
!
−ln(n) et donc :
n
X
k=1
1
k =vn+ ln(n). (20)
Devn →
n→+∞γ∈R, ln(n) →
n→+∞+∞et des op´erations sur les limites, on d´eduit que :
n
X
k=1
1
k =vn+ ln(n) →
n→+∞+∞.
• Equivalent de la suite´
n
X
k=1
1 k
!
n∈N≥2
Soitn∈N≥2. En divisant chaque membre de l’identit´e (20) par ln(n)>0, il vient :
n
X
k=1
1 k ln(n) = vn
ln(n)+ 1.
Devn →
n→+∞γ∈R, ln(n) →
n→+∞+∞et des op´erations sur les limites, on d´eduit que :
n
X
k=1
1 k ln(n) = vn
ln(n)+ 1 →
n→+∞1.
En d’autres termes : n
X
k=1
1
k ∼
n→+∞ln(n).
