Correction du devoir à la maison n

Correction du devoir à la maison n

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Exercice 1

1. a. On a 7⁴ = 2401 = 1 + 240×10 ≡ 1 [10] donc, comme 0 6 1 < 10, le reste de 7⁴ modulo 10est 1.

b. Soitn ∈N. Notonsr_n le reste den modulo4etR_nle reste de7ⁿmodulo10. Il existe une entier naturel q_n tel que n= 4qn+r_n donc

7ⁿ= 7^4qn+rn = 7^4qn×7^rn = (7⁴)^qn×7^rn ≡1^qn×7^rn [10]≡7^rn [10]. Si r_n = 0, 7ⁿ≡7⁰ [10]≡1 [10] donc, comme 061<10, R_n= 1.

Si r_n = 1, 7ⁿ≡7¹ [10]≡7 [10] donc, comme 067<10, R_n= 7.

Si r_n = 2, 7ⁿ≡7² [10]≡49 [10]≡9 [10] donc, comme 069<10,R_n= 9.

Si r_n = 3, 7ⁿ≡7³ [10]≡343 [10] ≡3 [10]donc, comme 063<10, R_n = 3.

2. Remarquons que 7² = 48 = 1 + 4×12 ≡ 1 [4]. Soit m ∈ N. Si m est pair, il existe un entier naturel q tel que m = 2q et alors 7^m = (7²)^q ≡1^q [4]≡ 1 [4]. Comme 06 1< 4, le reste de7^m modulo 4 est donc1. Si m est impair, il existe un entier naturel q tel que m= 2q+ 1 donc7^m = 7^2q+1 = (7²)^q×7≡1^q×7 [4]≡7 [4]≡3 [4]. Comme 063<10, le reste de 7^m modulo 4 est donc 3.

3. Le nombreB est de la forme7^C avec C = 7⁷ doncB est le produit deCnombres impairs (tous égaux à 7) donc B est impair.

4. CommeB est impair, d’après la question 2, le reste de7^B modulo4est3et donc, d’après la question 1, 7^7B ≡ 3 [10]. Or, 7^7B = 7⁷⁷

77

= A donc A ≡ 3 [10] et ainsi le chiffre des unités de A est 3.

Exercice 2

1. Soit (x;y)∈N² tel que(x;y; 0)est solution de (E). Alors, x⁴+y⁴= 4⁰ = 1. Or, si x et y sont non nuls alors x > 1 et y > 1 donc x⁴ > 1 et y⁴ > 1 et, par suite, x⁴ +y⁴ > 2.

Ainsi, x= 0 et y= 1 ou x= 1 et y = 0. Les solutions de (E) de la forme(x;y; 0) sont donc (1 ; 0 ; 0)et (0 ; 1 ; 0).

2. a. Soit t ∈N. Le tableau suivant donne les restes modulo 4 :

t 0 1 2 3

t⁴ 0 1 0 1

La tableau suivant donne les restes possibles de x⁴+y⁴ modulo 4 :

❍

❍❍

❍❍

x⁴ ❍

y⁴

0 1

0 0 1

1 1 2

Or, comme n >0, 4ⁿ est divisible par 4 doncx⁴+y⁴ = 4ⁿ≡0 [4]. On en déduit que x⁴ ≡0 [4] et y⁴ ≡0 [4] et donc, d’après le premier tableau, x ety sont pairs.

b. Par définition,(2^αu)⁴+(2^βv)⁴ = 4ⁿdonc2^4αu⁴+2^4βv⁴ = 4ⁿi.e.[∗] 4^2αu⁴+4^2βv⁴ = 4ⁿ. Commeα6β,2β−2α>0donc4^2β−2α est un entier. Or,4^2β = 4^2β−2α×4^2α donc4^2α divise 4^2β. Il s’ensuit que 4^2α divise 4^2αu⁴+ 4^2βv⁴ i.e. 4^2α divise 4ⁿ. Dès lors,n >2α i.e. n−2α >0et, en divisant [∗] par 4^2α, il vient u⁴+ 4^2(β−α)v⁴ = 4^n−2α.

c. Supposons n >2α. Alors, 4divise 4^n−2α donc u⁴+ 4^2(β−α)v⁴ ≡0 [4].

Si β > α alors 4 divise 4^2(β−α) donc u⁴ ≡ 0 [4] ce qui implique, comme on l’a vu dans la question a, que u est pair ce qui est contradictoire. Ainsi, β = α et donc u⁴+v⁴ ≡ 0 [4]. Mais comme dans la question a, ceci implique que u etv sont pairs, ce qui est aussi contradictoire.

Ainsi, n= 2α.

d. Il s’ensuit que u⁴+ 4^2(β−α)v⁴ = 1. Or, comme x et y sont non nuls, u et v sont non nul doncu>1etv >1 et ainsiu⁴+ 4^2(β−α)v⁴ >1 + 4^2(β−α) >2>1ce qui n’est pas possible. On aboutit à une contradiction donc on conclut que x= 0 ou y= 0.

Dans tous les cas, si (x;y;n)est une solution de (E) dans N³ alors x ouy est nul.

Exercice 3 (facultatif)

1. Supposons quekest un entier naturel tel quea^k≡1 [m]. Écrivons la division euclidienne dek par d : il existe deux entiers naturels q et r tels que n =dq+r et 06r < d. Dès lors,

1≡a^k [m]≡(a^d)^q×a^r [m]≡1^q×a^r [m]≡a^r [m]

donca^r≡1 [m]. Ainsi,rest un entier naturel strictement inférieur àdtel quea^r ≡1 [m].

Or, d est le plus petit entier naturel non nul tel que a^d ≡ 1 [m] donc, comme r < d, r= 0. Par suite, d divise k.

Réciproquement, soit k un entier naturel tel que d divise k. Alors, il existe un entier naturelq tel que k=dq donc

a^k = (a^d)^q≡1^q [m]≡1 [m].

On a donc bien montré que a^k ≡1 [m] si et seulement si d divise k.

2. Supposons que n est un entier naturel tel que 9 divise 7ⁿ−n⁶. Alors, 7ⁿ−n⁶ ≡ 0 [9]

donc 7ⁿ ≡n⁶ [9]. Le tableau suivant donne les restes modulo 9 :

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8

n⁶ 0 1 1 0 1 1 0 1 1

Comme 9 ne divise pas 7ⁿ, clairement n⁶ ≡ 1 [9] et donc 7ⁿ ≡ 1 [9]. Or, 7 ≡ 7 [9], 7² ≡4 [9]et7³ ≡1 [9]donc le plus petit entier naturel non nuld tel que7^d≡1 [9]est 3.

On déduit donc de la question 1 que 3divise n. Or, si 3divise n, 3⁶ divise n⁶ et, à plus forte raison, 9divise n⁶. Ceci est absurde puisqu’on a vu que n⁶ ≡1 [9].

On conclut qu’il n’existe pas d’entier naturel n tel que n divise 7ⁿ−n⁶.