Correction du devoir à la maison n

Correction du devoir à la maison n

1

Exercice 1

1. a. Onu₂ = ₁₊₂^u1 +9 = ¹⁰₃ +9 = ³⁷₃,u₃ = ₂₊₂^2u2+9 = ³⁷₆ +9 = ⁹¹₆ etu₄ = ₃₊₂^3u3+9 = ⁹¹₁₀+9 = ¹⁸¹₁₀. b. Comme u₂−u₁ = ⁷₃ 6= ¹⁷₆ =u₃−u₂, la suite (u_n) n’est pas arithmétique. De même,

u2

u1 = ³⁷₃₀ 6= ⁹¹₇₄ = ^u_u³

2, la suite (u_n) n’est pas géométrique.

2. Considérons, pour tout n∈N^∗, la proposition Pn : « wn >0 ».

On a w1 =u1−3×1−6 = 1>0 donc P1 est vraie.

Soit k ∈N^∗. Supposons quePk est vraie i.e. wk >0. Alors, wk+1 = ku_k

k+ 2+9−3(k+1)−6 = ku_k

k+ 2−3k = ku_k−3k(k+ 2)

k+ 2 = k(u_k−3k−6)

k+ 2 = kw_k k+ 2 donc, comme w_k>0,k > 0 et k+ 2>0 (cark ∈N^∗), w_k+1 >0 et ainsi P_k+1 est vraie.

On a donc montré par récurrence que, pour tout n∈N^∗, w_n>0 .

3. a. On a w₁ = 1 donc t₁ = 1. Soit n∈N^∗. Alors, d’après le calcul fait dans la question 2, t_n+1 = 1

w_n+1 = n+ 2

nu_n = n+ 2 n × 1

w_n i.e. tn+1 = ⁿ⁺²_n tn.

b. On en déduit que t₂ = ¹⁺²₁ t₁ = 3, t₃ = ²⁺²₂ t₂ = 6, t₄ = ³⁺²₃ t₃ = 10 et t₅ = ⁴⁺²₄ t₄ = 15.

Il s’ensuit que s₁ =t₂−t₁ = 2, s₂ =t₃−t₂ = 3, s₃ =t₄−t₃ = 4 et s₄ =t₅−t₄ = 5.

c. On peut conjecturer que, pour tout n ∈N^∗,sn=n+ 1. Soit n ∈N^∗. Alors, s_n =t_n+1−t_n= n+ 2

n t_n−t_n =

n+ 2 n −1

t_n= 2 nt_n donc t_n = ⁿ₂s_n. Ainsi, si s_n =n+ 1 alors t_n= ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ .

d. Considérons, pour tout n ∈N^∗, la propositionQ_n : « t_n= ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ ».

Commet₁ = 1 et ^1×(1+1)₂ = 1, Q₁ est vraie.

Soit k ∈N^∗. Supposons que Q_k est vraie. Alors, grâce à la question 3.a., t_k+1 = k+ 2

k t_k = k+ 2

k × k(k+ 1)

2 = (k+ 1)(k+ 2) 2 donc S_k+1 est vraie.

Ainsi, on a montré par récurrence que, pour tout n∈N^∗, t_n = ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ . De plus, pour tout n ∈ N^∗, u_n = w_n+ 3n+ 6 = _t¹

n + 3n+ 6 donc on conclut que, pour tout n∈N^∗, u_n= _n(n+1)² + 3n+ 6 .

4. a. On a S₁ =u₁ = 10,S₂ =u₁+u₂ = ⁶⁷₃ etS₃ =u₁+u₂+u₃ = ⁷⁵₂. b. Soit n ∈N^∗. Alors,

2

n − 2

n+ 1 = 2(n+ 1)−2n

n(n+ 1) = 2n+ 2−2n n(n+ 1) donc _n(n+1)² = ²_n− _n+1² .

c. Posons, pour tout n ∈ N^∗, an = _n(n+1)² et bn = 3n+ 6 de telle sorte que, pour tout n ∈N^∗,u_n =a_n+b_n. Soitn ∈N^∗. Alors,

Sn =u1+u2+· · ·+un = (a₁ +b1) + (a₂+b2) +· · ·+ (a_n+bn)

= (a₁+a₂+· · ·+a_n) + (b₁+b₂+· · ·+b_n).

Or, grâce à la question précédente, a₁ +a₂+· · ·+a_n= 2

1− 2 2 +2

2 −2

3 +· · ·+ 2

n−1 − 2 n + 2

n − 2

n+ 1 = 2− 2 n+ 1 car tous les termes s’annulent deux à deux sauf le premier et le dernier.

De plus, (b_n) est une suite arithmétique donc

b₁+b₂+· · ·+b_n=n× 9 + (3n+ 6)

2 = 3n(n+ 5)

2 .

On conclut donc que

S_n = 2− 2

n+ 1 +3n(n+ 5)

2 .

Exercice 2. Considérons, pour tout n∈N^∗, la proposition P_n : « 3n 2n+ 1 6

n

X

k=1

1

k² 6 2n−1 n ».

On a 3×1

2×1 + 1 = 1,

1

X

k=1

1 k² = 1

1² = 1 et 2×1−1

1 = 1 donc P₁ est vraie.

Soit m ∈ N^∗. Supposons que P_m que vraie i.e. que 3m 2m+ 1 6

m

X

k=1

1

k² 6 2m−1

m . Alors, en remarquant que

m+1

X

k=1

1 k² =

m

X

k=1

1

k² + 1

(m+ 1)², on a 3m

2m+ 1 + 1 (m+ 1)² 6

m+1

X

k=1

1

k² 6 2m−1

m + 1

(m+ 1)². Or, d’une part,

D₁ = 3m

2m+ 1 + 1 (m+ 1)²

!

− 3(m+ 1)

2(m+ 1) + 1 = 3m

2m+ 1 + 1

(m+ 1)² −3m+ 3 2m+ 3

= 3m(2m+ 3)(m+ 1)²+ (2m+ 3)(2m+ 1)−(3m+ 3)(2m+ 1)(m+ 1)² (2m+ 3)(2m+ 1)(m+ 1)²

= (6m²+ 9m)(m²+ 2m+ 1) + 4m²+ 8m+ 3−(6m²+ 9m+ 3)(m²+ 2m+ 1) (2m+ 3)(2m+ 1)(m+ 1)²

= 6m⁴+ 21m³+ 24m²+ 9m+ 4m² + 8m+ 3−(6m⁴+ 21m³+ 27m²+ 15m+ 3) (2m+ 3)(2m+ 1)(m+ 1)²

= m²+ 2m

(2m+ 3)(2m+ 1)(m+ 1)² Commem >0, D₁ >0 donc 3m

2m+ 1 + 1

(m+ 1)² > 3(m+ 1) 2(m+ 1) + 1.

D’autre part,

D₂ = 2(m+ 1)−1

m+ 1 − 2m−1

m + 1

(m+ 1)²

!

= 2m+ 1

m+ 1 − 2m−1

m − 1

(m+ 1)²

= (2m+ 1)m(m+ 1)−(2m−1)(m+ 1)²−m m(m+ 1)²

= 2m³+ 3m²+m−(2m−1)(m²+ 2m+ 1)−m m(m+ 1)²

= 2m³+ 3m²−(2m³+ 3m²−1) m(m+ 1)²

= 1

m(m+ 1)²

et, comme m >0,D₂ >0 donc 2(m+ 1)−1

m+ 1 > 2m−1

m + 1

(m+ 1)². On en déduit que

3(m+ 1)

2(m+ 1) + 1 6 3m

2m+ 1 + 1 (m+ 1)² 6

m+1

X

k=1

1

k² 6 2m−1

m + 1

(m+ 1)² 6 2(m+ 1)−1 m+ 1 donc P_m+1 est vraie.

On a donc montré par récurrence que, pour tout n ∈N^∗, 3n 2n+ 1 6

n

X

k=1

1

k² 6 2n−1 n .