Correction du devoir à la maison
Dans un pays où le système monétaire n’est constitué que de pièces de 3 et de 5, il s’agit d’aider les habitants en trouvant une méthode qui donne le nombre de pièces nécessaires à tout achat d’un montant entier supérieur ou égal à 8.
1) Dans un tableau, écrire comment payer pour toutes les sommes comprises entre 8 et 25. Attention, on veut utiliser un minimum de pièces, donc un maximum de pièces de 5.
Somme à
payer Nombre de
pièces de 5 Nombre de pièces de 3
8 1 1
9 0 3
10 2 0
11 1 2
12 0 4
13 2 1
14 1 3
15 3 0
16 2 2
17 1 4
18 3 1
19 2 3
20 4 0
21 3 2
22 2 4
23 4 1
24 3 3
25 5 0
2) Déterminer comment payer 52.
On peut payer déjà 50 avec 10 pièces de 5, mais il reste 2 à payer et on est bloqué. On peut donc essayer de payer 45 avec 9 pièces de 5, mais il reste 7 à payer et on est bloqué. On va donc payer 40 avec 8 pièces de 5, puis 12 avec 4 pièces de 3.
3) Déterminer comment payer 6234.
On peut déjà payer 6200 avec 1240 pièce de 5. Il reste donc 34 à payer. On peut donc payer 25 avec 5 pièces de 5 et les 9 restant avec 3 pièces de 3. Cela donne donc 1245 pièces de 5 et 3 pièces de 3.
4) Expliquer, quand on a une somme à payer, comment trouver la combinaison de pièces de 3 et de 5.
On peut faire comme précédemment, c'est à dire essayer de trouver le multiple de 5 le plus proche du nombre à trouver (et donc trouver le nombre de pièces de 5) et essayer de payer le reste en pièce de 3. Lorsque ça ne marche pas, on peut essayer avec une pièce de 5 en moins et compléter avec des pièces de 3… jusqu'à ce que ça marche.
Plus clairement et rapidement, on soustrait 3 à la somme à payer jusqu'à obtenir un multiple de 5. Le nombre de pièce de 3 utilisé est le nombre de fois où il a été nécessaire de soustraire 3. Le nombre de pièce de 5 est le résultat de la division du multiple par 5.
Ou alors, on observe le tableau précédent, et on remarque qu'entre deux multiples de 5, cela fonctionne toujours de la même façon. Il suffit de regarder le nombre de pièces de 3 pour se rendre compte que c'est toujours pareil… On peut donc fonctionner avec cela.
Somme à payer Nombre de pièces de 5 Nombre de pièces de 3
20 4 0 C'est un multiple de 5
21 3 2 Par rapport à 20, on enlève une pièce de 5 et on rajoute 2 pièces de 3
22 2 4 Par rapport à 20, on enlève 2 pièces de 5 et on rajoute 4 pièces de 3
23 4 1 Par rapport à 20, on ajoute une pièce de 3.
24 3 3 Par rapport à 20, on enlève une pièce de 5 et on rajoute 3 pièces de 3
25 5 0
On peut donc faire cela à chaque fois, en partant du plus proche multiple de 5. Ce qui donne :
Somme à payer Nombre de pièces de 5 Nombre de pièces de 3
6230 1246 0 C'est un multiple de 5
6231 1245 2 Par rapport à 6230, on enlève une pièce de 5 et on rajoute 2 pièces de 3
6232 1244 4 Par rapport à 6230, on enlève 2 pièces de 5 et on rajoute 4 pièces de 3
6233 1246 1 Par rapport à 6230, on ajoute une pièce de 3.
6234 1245 3 Par rapport à 6230, on enlève une pièce de 5 et on rajoute 3 pièces de 3
6235 1247 0
Et on peut faire ça pour tous les nombres, il suffit de trouver le multiple de 5 le plus proche.
