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Ainsi il pourra payer toutes les sommes de 1 à 2k+1

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Academic year: 2022

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k + 1 − ln(k + 1) + ln k = 1

En sommant l'encadrement de la

Pourk≥1, on peut écrire (k+ 1) n k =k n k + n k =n n−1 k−1 + n k d'où , en notantS la somme cherchée : S=n n X k=1 n−1 k−1 + n X k=0 n k =n2n−1+ 2n = (n+ 2)2n−1 Autre solution

Une somme qui porte sur les k de K α (x) est plus petite qu'une somme obtenue en ajoutant des termes positifs pour les autres k.. On considère la somme de la

1 2n n X k=0 n k eix(2k−n) On remarque qu'il existe une symétrie, telle que sik=n−k, alors n k = n n−k par les propriétés du coecient binomial et2k−n= 2(n−k)−n=n−2k=−(2k−n)

[r]

1et21−1= 1 Hérédité : supposonsPk vraie, c’est à direk!≥2k−1 et démontrons quePk+1 est vraie, c’est à dire(k+ 1)!≥2k

Nous avons ainsi montré, avant même de connaître l’exponentielle que ce nombre e est

n X k=1 n k−1 akbn+1−k + n n+ 1−1 an+1bn+1−(n+1

[r]

a0·bn+1+ (∑n k=1 (n k ) ·ak·bn−k+1

A l’aide du raisonnement par récurrence, on vient de montrer que cette propriété est vraie pour tout entier naturel

X+∞ k=1 (−1)k+1 (1 +x)−1)k k = X+∞ k=1 (−1)k+1 xk k =x− x2 2 + x3 3 − x4 4

Analyse : développement en série d’une fonction

2) aire ABC = 1 2k−AB−−−→×−AC−−−→k= 1 2

[r]