A436 – La chaîne d’Abdullah [** à la main]
Solution de Daniel Collignon
La découpe de k maillons élémentaires permet de créer au maximum k+1 chaînes (le maximum étant atteint s'ils sont suffisamment espacés et distincts des extrémités).
Avec k maillons élémentaires, Abdullah pourra payer toutes les sommes de 1 à k.
Pour payer la somme k+1, il aura donc besoin d'une chaîne de k+1 maillons. Ainsi il pourra payer toutes les sommes de 1 à 2k+1.
Pour payer la somme 2(k+1), il aura donc besoin d'une chaîne de 2(k+1) maillons. Ainsi il pourra payer toutes les sommes de 1 à 4k+3.
Pour payer la somme 4(k+1), il aura donc besoin d'une chaîne de 4(k+1) maillons. Ainsi il pourra payer toutes les sommes de 1 à 8k+7.
...
Pour payer la somme 2(k+1), il aura donc besoin d'une chaîne de 2^k*(k+1) maillons. Ainsi il pourra payer toutes les sommes de 1 à N=2^(k+1)*k+2^(k+1)-1.
N doit être un multiple de 17, d'où (k+1)*2^(k+1)=1 modulo 17. La solution la plus plausible est k=8 (il y en a une infinité mais la suivante k=37 dépasse largement la vie d'un homme).
D'où N=4607 jours.
Or, en tenant compte des années bissextiles, du 1er décembre 2007 0 heure au 11 juillet 2020 minuit, il y a 366*3+365*9+31*4+30*2+29+11 = 4607 jours.
