1 ECP (2a) Math
Optimisation discrète : Séance 2 (cours et exercices)
FLOTS ET CHEMINS DANS UN RÉSEAU
Objectifs Théorie des Graphes.
Flot maximum dans un réseau.
Problème du chemin optimal.
Lire rapidement les définitions primordiales élémentaires sur les graphes (les autres seront intro- duites au fur et à mesure des besoins).
Rappelons qu’on note ω−(x)l’ensemble des arcs incidents vers x(sommet ou ensemble de sommets) etω+(x)l’ensemble des arcs sortant dex.
1 Flot maximum
Déf 1 On appelleréseauun grapheG= (X, U): – orienté, connexe, sans boucle ;
– possédant une sourceaet un puitsb; – à arcsuvalués par des capacitésc(u)≥0.
Déf 2 Unflotest une fonctionϕ(u)à valeurs entières, définie surU, telle que : 1. ∀u ϕ(u)≥0
2. ∀u ϕ(u)≤c(u) 3. ∀x6=a, b P
u∈ω−(x)ϕ(u) =P
u∈ω+(x)ϕ(u) (loi de Kirchhoff)
Lavaleur du flot est la quantité qui arrive au puitsb(c’est donc aussi égal à ce qui part de la sourcea).
ϕ(b) = X
u∈ω+(a)
ϕ(u) = X
u∈ω−(b)
ϕ(u)
→On se propose de maximiser la valeur du flot.
Déf 3 Unecoupeest un ensembleEd’arcs qui rencontre tout chemin allant de la sourceavers le puitsb.
Lacapacitéd’une coupe est la somme des capacités de ses arcs : C(E) =c(ω−(E)) = X
u∈ω−(E)
c(u)
Prop 1 La valeur d’un flot ne peut dépasser la capacité d’une coupe.
Thm 1 Le flot est maximum s’il est égal à la capacité miminale d’une coupe.
Déf 4 Un flot est ditcompletsi chaque chemin allant deaàbcomporte au moins un arc saturé.
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Algo 1 L’algorithme de Ford-Fulkerson est une procédure de marquage dynamique des sommets d’une chaîne allant deaàb.
Déf 5 Une chaîne allant deaàbest dite améliorante si ses arcs progressifs sont non saturés et ses arcs régressifs non vides.
Exercice
Soit à réaliser un réseau de distribution d’eau (avec des quantités mesurées en nombres entiers), à partir de trois réservoirs (1,2,3), vers quatre villes (4,5,6,7).
Il s’agit de maximiser la somme des quantités acheminées, compte tenu des limitations de capa- cité : de stockage de chacun des réservoirs (arcs partant de l’entréea), de stockage en chacune des villes (arcs incidents sur la sortieb), de chaque conduite d’acheminement existante.
Ex 1 Vérifier (avec un tracé du graphe ou sur une matrice) qu’un premier flot au jugé (de valeur ϕ = 70, avec, à l’entrée :30,25,15, et, à la sortie : 20,10,20,20) est compatible avec les contraintes.
Ex 2 Améliorer le flot jusqu’à le rendre complet (ϕ= 80).
Ex 3 Entamer une procédure de marquage et vérifier qu’onpeutatteindre la sortieb.
Ex 4 Faire l’amélioration de l’algorithme de Ford-Fulkerson (alorsϕ = 85) et caractériser la coupe qui en résulte.
Convergence
Ex 5 Montrer que (sous d’éventuelles conditions que l’on précisera) l’algorithme comporte un nombre fini d’étapes.
Ex 6 Montrer que l’arrêt définit une coupe.
Ex 7 Montrer qu’alors le flot est maximum.
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2 Ordonnancement
Déf 6 On considère un réseau (dit graphe d’ordonnancement)G = (X, U)à arcs valués (par une durée appelée ici. . . longueur).
→Le problème est de trouver le chemin de longueur extrémale allant du sommet d’entréeaà la sortieb.
Algo 2 Algorithme de Ford : – Marquer l’entrée part0= 0
– Marquer chaque sommetjdonttousles prédécesseursP(j)sont marqués : tj = max
i∈P(j)(ti+vij) – La marque de la sortiebest la longueur du chemin extrémal.
Si on n’arrive pas à marquer la sortie, c’est que le graphe comporte un circuit.
Déf 7 Les arcs(i, j)pour lesquels on a :tj−ti =vijjalonnent le chemin critique.
Exercice
Soit à réaliser un projet dont les étapes (successives ou concomittantes) sont représentées par un graphe d’étapes (valué par des durées) dont le dictionnaire s’écrit1:
0 7→ 1(2), 3(6), 4(4), 2(4) 1 7→ 3(3), 4(5)
2 7→ 6(7) 3 7→ 5(6)
4 7→ 2(2), 5(4), 6(3) 5 7→ 7(2)
6 7→ 7(3) 7 7→ 8(4) Ex 8 Dessiner le graphe de ce projet.
Quelle est la structure de données suggérée par le dictionnaire du graphe ? Ex 9 Calculer les dates au plus tôt.
Déterminer la durée optimale du projet et calculer les dates au plus tard.
Ex 10 Caractériser le chemin critique.
Méthode algébrique
Déf 8 Matrice et opérations symboliques (polycopié).
Prop 2 Montrer que :M(p) =M[p]
Algo 3 Voir les méthodes de résolution : – méthode de Jacobi = algorithme de Bellmann, – méthode de Gauss-Seidel = algorithme de Ford.
1Les valuations figurent entre parenthèses.
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3 Couplage
Déf 9 On appellegraphe biparti, notéG(X, Y, U), un graphe dont l’ensemble des sommets est partitionné en deux classes(X, Y)et tel que tout arc a son origine dansXet son extrémité dans Y.
Déf 10 Un ensemble d’arcs est appelécouplagesi deux arcs ne sont jamais adjacents.
On convient de nommerarcs épaisles arcs du couplage etarcs finsles autres.
→Le problème usuel est la recherche d’un couplage maximum (ayant le maximum d’arcs).
Exercice
Soit à réaliser l’affectation optimale depindividusXiàppostesYj, compte tenu d’une table de coefficients d’adéquation.
Dans l’exemple numérique suivant :
C=
7 3 5 7 10
6 ∞ ∞ 8 7
6 5 1 5 ∞
11 4 ∞ 11 15
∞ 4 5 2 10
on convient queCij = 0est l’optimum (∞représentant l’impossibilité d’affectation).
On ne change pas la solution de ce problème en retranchant de chaque colonne son plus petit élément et en opérant de même sur les lignes.
On obtient :
C0 =
1 0 4 5 3
0 ∞ ∞ 6 0
0 2 0 3 ∞
4 0 ∞ 8 7
∞ 1 4 0 3
Ex 11 Quel est, en termes matriciels, la nature du résultat cherché ?
Ex 12 Poser ce problème en termes de flot maximum et résoudre par l’algorithme de Ford- Fulkerson.
Déf 11 Une chaîne dansGest ditealternéesi elle est composée d’arcs alternativement épais et fins.
Prop 3 Le couplage est maximum si et seulement si aucune chaîne alternée ne relie deux som- mets insaturés.
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