Correction du devoir à la maison n

Correction du devoir à la maison n

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Exercice 1. — On considère, pour tout n∈N, la proposition «P_n :u_n = 2ⁿ⁺²−3».

Comme u₀ = 1 et 2⁰⁺²−3 = 2²−3 = 4−3 = 1, P₀ est vraie.

On suppose que Pk est vraie pour un certain entier k∈N. Alors, u_k= 2^k+2−3donc

u_k+1= 2u_k+ 3 = 2(2^k+2−3) + 3 = 2×2^k+2−6 + 3 = 2^k+2+1−3 = 2^(k+1)+2 −3 donc P_k+1 est vraie.

On a donc démontré par récurrence que, pour tout n∈N, u_n= 2ⁿ⁺²−3.

Exercice 2

1. Par définition,

a₁ = ^b0−a₂ ⁰ = ¹⁻⁰₂ i.e. a₁ = ¹₂ , b1 = ^a0+b₂ ⁰ = ⁰⁺¹₂ i.e. b1 = ¹₂ , a2 = ^b1−a₂ ¹ =

1 2−¹₂

2 i.e. a2 = 0 , b₂ = ^a1+b₂ ¹ =

1 2+¹₂

2 i.e. b₂ = ¹₂ .

2. On constate que a₀ =a₂ =a₄ = a₆ = a₈ = 0 donc on peut conjecturer que, pour tout n∈N, an= 0.

Par ailleurs,a1 = ¹₂,a3 = 0,25 = ¹₄,a5 = 0,125 = ¹₈,a7 = 0,0625 = ₁₆¹ eta9 = 0,03125 = ₃₂¹ donc on peut conjecturer que, pour tout n∈N, a_2n+1 = ₂n+1¹ .

3. a. Soit n ∈N. Alors,

a_n+2 = b_n+1−a_n+1

2 =

an+bn

2 − ^bn−a₂ ⁿ

2 = a_n+b_n−(b_n−a_n)

2 × 1

2

= a_n+b_n−b_n+a_n

2 × 1

2 = 2a_n 2 × 1

2 donc a_n+2 = ¹₂a_n.

b. Soitn∈N. Alors,a_2(n+1) =a_2n+2 = ¹₂a_2n donc la suite(a_2n)est une suite géométrique de raison ¹₂. Il s’ensuit que, pour tout n ∈ N, a_2n = a₀ ¹₂n

. Or, a₀ = 0 donc, pour tout n∈N, a_2n = 0.

De même, a_2(n+1)+1 = a_(2n+1)+2 = ¹₂a_2n+1 donc la suite (a_2n+1)es également une suite géométrique de raison ¹₂. Il s’ensuit que, pour toutn∈N,a_2n+1 = a₁ ¹₂n

. Or,a₁ = ¹₂ donc, pour toutn ∈N, a2n = ¹₂ × ¹₂n

= ¹₂n+1

= ₂n+1¹ .

4. Soit n∈N. Par définition, a_n+1 = ^bn−a₂ ⁿ donc 2a_n+1 =b_n−a_n i.e. b_n = 2a_n+1+a_n. Dès lors, pour tout n ∈ N, b_2n = 2a_2n+1 + a_2n = 2× ₂n+1¹ + 0 = ₂¹n et b_2n+1 = 2a_2n+2+a_2n+1 = 2×0 + ₂n+1¹ = ₂n+1¹ .

Finalement, on a montré que,

∀n ∈N b_2n = 1

2ⁿ et b_2n+1 = 1 2ⁿ⁺¹.

Exercice 3. — Soit une suite réelle(un). Supposons que(un) est arithmétique de raison r et géométrique de raison q. Alors, pour tout n∈N, u_n+1 =u_n+r (car(u_n) est arithmétique) et u_n+1 =qu_n (car(u_n)est géométrique). Ainsi, pour toutn ∈N,u_n+r= qu_n donc (q−1)u_n =r.

Si q6= 1 alors, pour toutn∈N, un= _1−q^r donc (un) est constante égale à _1−q^r . Si q= 1 alors, pour toutn∈N, u_n+1 =u_n donc (u_n) est constante.

Ainsi, dans tous les cas, on trouve que (un)est constante.

La réciproque est évidente : une suite constante est arithmétique de raison r= 0 et géomé- trique de raisonq = 1.

Finalement, les suites à la fois arithmétique et géométrique sont les suites constantes .

Exercice 4. — Pour tout n∈N,

u_n+2−u_n+1 = 2u_n+1−u_n−u_n+1 =u_n+1−u_n.

donc la suite (v_n) définie, pour tout n ∈ N, par v_n = u_n+1 −u_n est constante. Comme v₀ = u₁−u₀, on en déduit que, pour tout n ∈ N, v_n = u₁ −u₀ i.e. u_n+1−u_n = u₁−u₀ soit encore u_n+1 =u_n+u₁−u₀.

Ainsi, la suite (u_n)est arithmétique de raison u₁−u₀ donc,

∀n∈N, u_n =u₀+n(u₁ −u₀).