L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2010-2011
D. Blotti`ere Math´ematiques
Correction du devoir maison n˚5
Exercice 165 de la feuille n˚11 :Soit (Wn)n∈Nla suite d´efinie par :
∀n∈N Wn = Z π2
0
cosn(x)dx . 1. CalculerW0 et W1.
2. Montrer que la suite (Wn)n∈Nest d´ecroissante et que tous ses termes sont strictement positifs.
3. Montrer que la suite (Wn)n∈Nest minor´ee.
4. Que peut-on d´eduire des questions 2 et 3 ?
5. Soitn∈N. `A l’aide d’une int´egration par parties, montrer que : Wn+2= (n+ 1)
Z π2
0
cosn(t) sin2(t)dt.
En d´eduire que :
Wn+2= n+ 1 n+ 2Wn. 6. Montrer que :
∀n∈N
n+ 1
n+ 2Wn≤Wn+1≤Wn. En d´eduire que :Wn+1 ∼
n→+∞Wn. 7. Montrer que la suite (Un)n∈Nd´efinie par :
∀n∈N Un= (n+ 1)WnWn+1
est constante. En d´eduire que :
∀n∈N Wn= s
Wn
Wn+1 × π 2(n+ 1). 8. D´eduire des questions 6 et 7 que :
n→+∞lim Wn= 0 et Wn ∼
n→+∞
r π 2n. Correction
1. W0= Z π2
0
1dx= [x]
π 2
0 = π 2. W1=
Z π2
0
cos(x)dx= [sin(x)]0π2 = 1.
2. On a
(∗) ∀x∈h
0,π 2 i
0≤cos(x).
Soitn∈N. Comme la fonctionx7→xn est croissante surR+ (sin= 0 c’est ´evident et sin≥1, alors cela d´ecoule du fait que la d´eriv´ee dex7→xn estx7→nxn−1, fonction positive surR+), on d´eduit de (∗) que :
(∗∗) ∀x∈h
0,π 2 i
0 = 0n ≤cosn(x).
Comme pour toutx∈h 0,π
2 i
cosn(x)≥0, on a : Wn=
Z π2
0
cosn(x)dx≥0.
1
Comme cosn(0) = 1, la fonction cosn n’est pas identiquement nulle surh 0,π
2 i
. De plus, cosn est continue sur h
0,π 2
i (cos est continue sur h 0,π
2
i et un produit de fonctions continues est continu). L’in´egalit´e pr´ec´edente et le th´eor`eme de positivit´e impliquent alors que :
(A) Wn=
Z π2
0
cosn(x)dx >0.
On a :
(∗ ∗ ∗) Wn+1−Wn=
Z π2
0
cosn+1(x)dx− Z π2
0
cosn(x)dx= Z π2
0
cosn+1(x)−cosn(x)
| {z }
cosn(x)(cos(x)−1)
dx.
Or pour tout x∈h 0,π
2 i
, cos(x)−1≤0 (la fonction cos est major´ee par 1) et cosn(x)≥0 (cf. (∗∗)). On en d´eduit que :
(∗ ∗ ∗∗) ∀x∈h
0,π 2 i
cosn(x)(cos(x)−1)≤0.
De (∗ ∗ ∗) et (∗ ∗ ∗∗), on d´eduit queWn+1−Wn≤0 et donc que :
(B) Wn+1 ≤Wn.
D’apr`es (A) et (B), (Wn)n∈Nest d´ecroissante et tous ses termes sont strictement positifs.
3. La suite (Wn)n∈N ayant tous ses termes strictement positifs, elle est minor´ee par 0.
4. La suite (Wn)n∈N est d´ecroissante (cf. 2) et minor´ee (cf. 3). Elle est donc convergente.
5. Soitn∈N. Pour calculer
Wn+2= Z π2
0
cosn+2(x)dx= Z π2
0
cos(x)×cosn+1(x)dx on introduit les fonctions uet vd´efinies surh
0,π 2 i
par
∀x∈h 0,π
2 i
u(x) = sin(x) etv(x) = cosn+1(x).
Ces deux fonctions sont de classeC1sur h 0,π
2 i
et on a :
∀x∈h 0,π
2
i u0(x) = cos(x) etv0(x) = (n+ 1) cos0(x) cosn(x) =−(n+ 1) sin(x) cosn(x).
En appliquant la formule d’int´egration par parties, on a donc :
Wn+2= Z π2
0
cos(x)
| {z }
u0(x)
cosn+1(x)
| {z }
v(x)
dx =
sin(x)
| {z }
u(x)
cosn+1(x)
| {z }
v(x)
π 2
0
− Z π2
0
sin(x)
| {z }
u(x)
×(−(n+ 1) sin(x) cosn(x))
| {z }
v0(t)
dx
= (n+ 1) Z π2
0
cosn(t) sin2(t)dt.
Comme pour toutt∈Rsin2(t) = 1−cos2(t), on d´eduit de l’´egalit´e pr´ec´edente que :
(∗) Wn+2= (n+1)
Z π2
0
cosn(t)(1−cos2(t))dt= (n+1)
Z π2
0
cosn(t)dt
| {z }
Wn
− Z π2
0
cosn+2(t)dt
| {z }
Wn+2
.
D’apr`es (∗), on a donc :Wn+2= (n+ 1)Wn−(n+ 1)Wn+2 et par suite : Wn+2= n+ 1
n+ 2Wn.
2
6. Soitn∈N. La suite (Wn)n∈Nest d´ecroissante. On a doncWn+2≤Wn+1≤Wn. On en d´eduit que :
(∗) n+ 1
n+ 2Wn≤Wn+1≤Wn
carWn+2=n+ 1
n+ 2Wn(cf. 5). En divisant chacun des membres de l’in´egalit´e (∗) parWnqui est strictement positif (cf. (∗)), on obtient :
n+ 1
n+ 2 ≤ Wn+1
Wn ≤1.
Cette derni`ere in´egalit´e ´etant vraie pour tout n∈Net n+ 1
n+ 2 tendant vers 1 quandntend vers +∞(car sin≥1, alors n+ 1
n+ 2 = n(1 +n1)
n(1 +n2) = 1 +n1
1 +n2), le th´eor`emedes gendarmes implique que :
n→+∞lim Wn+1
Wn
= 1 i.e. queWn+1 ∼
n→+∞Wn.
7. Pour montrer que la suite (Un)n∈N est constante, on prouve que pour toutn∈N,Un+1=Un. Soitn∈N.
Un+1 = (n+ 2)Wn+1Wn+2
= (n+ 2)Wn+1
n+ 1
n+ 2 Wn (cf. 5)
= (n+ 1)Wn+1Wn
= Un
La suite (Un)n∈N est constante. On a doncUn =U0pout toutn∈N. Or d’apr`es la question 1 : U0=W0W1= π
2. On en d´eduit que pour toutn∈N:
(n+ 1)WnWn+1=Un= π 2.
On obtient l’´egalit´e demand´ee, `a partir de la pr´ec´edente comme suit. Soitn∈N. (n+ 1)Wn Wn+1= π
2 =⇒ Wn= 1 Wn+1
π
2(n+ 1) (division de chacun des membres par (n+ 1)Wn+1)
=⇒ Wn2= Wn
Wn+1 π
2(n+ 1) (multiplication de chacun des membres parWn)
=⇒ Wn= r Wn
Wn+1
π
2(n+ 1) (application de√ etp
Wn2=Wn carWn≥0 (cf. 2))
8. De la question 7, on d´eduit que :
(∗) ∀n∈N Wn=
s Wn Wn+1
r π
2(n+ 1). De lim
n→+∞
Wn+1
Wn = 1 (cf. 6) on d´eduit que lim
n→+∞
Wn
Wn+1 = 1 et que lim
n→+∞
s Wn
Wn+1 = 1 (continuit´e de√ en 1). D’autre part, lim
n→+∞
r π
2(n+ 1) = 0.De ces ´etudes de limites et de (∗), on d´eduit que lim
n→+∞Wn= 0.
De (∗), on d´eduit que pour toutn∈N∗ :
(∗∗) Wn
rπ 2n
= s Wn
Wn+1
r π
2(n+ 1) rπ
2n
= s Wn
Wn+1
r n n+ 1 =
s Wn Wn+1
r n
n(1 +n1)= s Wn
Wn+1
s 1 1 + 1n.
3
On a d´ej`a vu que lim
n→+∞
s Wn
Wn+1 = 1. En outre, lim
n→+∞
s 1
1 +n1 = 1. De ces calculs de limites et de (∗∗), on d´eduit que lim
n→+∞
Wn
r π 2n
= 1, i.e. que :Wn ∼
n→+∞
r π 2n.
4
