Feuille d’exercices n˚11 Calcul int´ egral II

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2010-2011

D. Blotti`ere Math´ematiques

Feuille d’exercices n˚11 Calcul int´ egral II

F Exercice 164 : Soit (un)n∈Nla suite d´efinie par :

∀n∈N u_n= Z 1

0

tⁿ

1 +t²e^tdt . 1. Montrer que :

∀n∈N 0≤u_n ≤ Z 1

0

tⁿe^tdt .

2. Montrer que :

∀n∈N Z 1

0

tⁿe^tdt= e n+ 1 −

Z 1

0

tⁿ⁺¹ n+ 1e^tdt . 3. Montrer que :

∀n∈N 0≤ Z 1

0

tⁿ⁺¹

n+ 1e^tdt ≤ Z 1

0

1

n+ 1e^tdt . 4. Conclure de ce qui pr´ec`ede que la suite (u_n)_n∈N converge et d´eterminer sa limite.

Exercice 165 : Soit (Wn)_n∈Nla suite d´efinie par :

∀n∈N Wn= Z ^π₂

0

cosⁿ(x)dx . 1. CalculerW₀ etW₁.

2. Montrer que la suite (Wn)n∈Nest d´ecroissante et que tous ses termes sont strictement positifs.

3. Montrer que la suite (Wn)n∈Nest minor´ee.

4. Que peut-on d´eduire des questions 2 et 3 ?

5. Soitn∈N. `A l’aide d’une int´egration par parties, montrer que : Wn+2= (n+ 1)

Z ^π₂

0

cosⁿ(t) sin²(t)dt.

En d´eduire que :

Wn+2= n+ 1 n+ 2Wn. 6. Montrer que :

∀n∈N n+ 1

n+ 2W_n ≤W_n+1≤W_n. En d´eduire que :Wn+1 ∼

n→+∞Wn. 7. Montrer que la suite (U_n)_n∈Nd´efinie par :

∀n∈N U_n= (n+ 1)W_nW_n+1 est constante. En d´eduire que :

∀n∈N Wn= s Wn

W_n+1 × π 2(n+ 1). 8. D´eduire des questions 6 et 7 que :

n→+∞lim Wn = 0 et Wn ∼

n→+∞

r π 2n.

1

Exercice 166 : Soit (In)_n∈N la suite d´efinie par :

∀n∈N I_n = Z 1

0

xⁿ 1 +xdx . 1. Montrer que :

∀n∈N 0≤ Z 1

0

xⁿ⁺¹

(n+ 1)(1 +x)² dx≤ 1 n+ 1. 2. En d´eduire, `a l’aide d’une int´egration par parties que : lim

n→+∞In= 0.

Exercice 167 : Soitf la fonction d´efinie par : f:x7→

Z 2x

x

t²

t²+ sin²(t)dt.

1. D´eterminer le domaine de d´efinitionDf def. 2. Prouver quef est impaire.

3. D´eterminer le domaine de d´erivabilit´eD_f⁰ def. 4. Calculerf⁰(x) pour toutx∈ D_f⁰.

5. ´Etudier le sens de variation def surDf.

F Exercice 168 : On consid`ere la fonction f d´efinie surR^∗par :

∀x∈R^∗ f(x) = Z 2x

x

1

ln(1 +t²)dt . 1. Montrer que la fonctionf est bien d´efinie.

2. Montrer quef est impaire.

3. Montrer quef est d´erivable en tout point deR^∗et calculer sa d´eriv´ee.

4. ´Etudier les variations def.

5. ´Etudier le comportement asymptotique def en +∞et en 0⁺.

6. Sans ´etude suppl´ementaire, donner le comportement asymptotique de f en−∞et en 0⁻.

Exercice 169 : Calculer les limites suivantes.

a) lim

n→+∞

1 n

n

X

k=1

k n−1

³!

b) lim

n→+∞

n

X

k=1

√ 1

n²+ 2kn c) lim

n→+∞

(2n)!

n!nⁿ _n¹

Exercice 170

1. Calculer cos⁽ⁿ⁾(x) pour toutn∈N, pour toutx∈R. 2. Montrer que :

∀x∈R

cos(x)−

1−x² 2

≤x⁴ 24. 3. En d´eduire une valeur approch´ee de cos(0.1) `a 10<sup>−5</sup> pr`es.

Exercice 171

1. Calculer exp⁽ⁿ⁾(0) pour toutn∈N.

2. Soitn∈N^∗. ´Ecrire le d´eveloppement de Taylor avec reste int´egral de la fonction exp, en 0, `a l’ordren.

3. Montrer que :

∀n∈N^∗ ∀t∈[0,1] 0≤(1−t)ⁿe^t≤1.

4. D´eduire de 2 et 3 que :

∀n∈N^∗

e−

n

X

k=0

1 k!

!

≤ 1 n!

puis la valeur de la limite

n→+∞lim

n

X

k=0

1 k!.

2