L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2010-2011
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚10 Calcul int´ egral I
Exercice 153 (Recherche de primitives) : D´eterminer les primitives des fonctions suivantes, en pr´ecisant l’(ou les) intervalle(s) de validit´e.
(a)x7→xe−x2 (b)x7→ x2
√x3+ 1 (c)x7→tan(2x)
(d)x7→ 1
tan(x) (e)x7→cos3(x) (f)x7→sin4(x)
Exercice 154 (Int´egrationdirecte): Calculer les int´egrales suivantes, en ayant d’abord d´etermin´e une primitive de la fonction.
(a) Z 1
0
(6x2−5)(2x3−5x+ 1)dx (b) Z e
1
ln(x)
x dx (c)
Z π4
0
tan(x)dx
(d) Z π4
−π4
tan2(x)dx (e)
Z e2
e
1
xln(x) dx (f)
Z 1
0
1 1 +ex dx (g)
Z 1
0
√ 1
1−x2 dx (h)
Z 1
0
1 1 +x2 dx
Exercice 155 (Connaissant la somme et la diff´erence de deux int´egrales, on d´eduit la valeur de chacune)
On consid`ere les int´egrales suivantes : I=
Z π2
0
sin(t)
cos(t) + sin(t) dt et J = Z π2
0
cos(t) cos(t) + sin(t)dt.
CalculerI+J,I−J et en d´eduire les valeurs deI et J.
Exercice 156 (Int´egration de fonctions trigonom´etriques): Calculer les int´egrales suivantes.
(a) Z π3
0
cos2(x)dx (b)
Z π3
0
sin2(x)dx (c) Z π
−π
cos(px) cos(qx)dx (p, q∈Zfix´es)
(d) Z π4
−π4
cos5(x)dx (e) Z π2
0
sin6(x)dx (f) Z π2
0
cos2(x) sin4(x)dx
1
Exercice 157 (Int´egration par parties) 1. Soitx >0. CalculerI(x) =
Z x
1
ln(t)dtet d´eterminer la limite deI(x) quandxtend vers 0+.
2. Calculer Z 1
0
xe2xdx.
3. `A l’aide de deux int´egrations par parties successives, calculer Z π3
0
x2sin(x)dx.
4. `A l’aide de deux int´egrations par parties successives, calculer Z π
0
exsin(x)dx.
F Exercice 158 (Fonction paire, fonction impaire, fonction p´eriodique): Soita∈R∗. 1. Soitf une fonction paire et continue sur [−a, a]. Montrer que :
Z a
−a
f(t)dt= 2 Z a
0
f(t)dt.
2. Soitgune fonction impaire et continue sur [−a, a]. Calculer Z a
−a
f(t)dt.
3. Soithune fonctionT-p´eriodique et continue (T ∈R+∗). Montrer que : Z a+T
a
h(t)dt= Z T
0
h(t)dt.
Exercice 159 (Changement de variable) 1. Calculer
Z 1
0
e
√tdt, avec le changement de variableu=√ t.
2. Calculer Z π
0
sin(t)
3 + cos(2t)dt, avec le changement de variablex= cos(t).
3. Calculer Z 1
−1
p1−t2dt.Interpr´eter g´eom´etriquement ce r´esultat.
F Exercice 160 (Changement de variable): D´eterminer les primitives de la fonction f:x7→ 1
sin(x) sur des intervalles `a pr´eciser, avec le changement de variablet= tanx
2
.
F Exercice 161 (Int´egration de fonctions rationnelles) 1. CalculerI1=
Z 1
0
1 x+ 1 dx.
2. CalculerI2= Z 1
0
2x−1 x2−x+ 1 dx.
3. CalculerI3= Z 1
0
1
x2−x+ 1 dx, en utilisant le changement de variableu= 2√ 3 3
x−1
2
.
2
4. Trouver trois r´eelsA, B,C tels que :
∀x∈R\ {−1} 1
x3+ 1 =A 1
x+ 1 +B 2x−1
x2−x+ 1+C 1 x2−x+ 1. 5. En d´eduire la valeur deI=
Z 1
0
1 x3+ 1 dx.
F Exercice 162 (Suite d’int´egrales) :Soit (In)n∈Nla suite d´efinie par :
∀n∈N, In = Z 1
−1
(x2−1)ndx .
1. Montrer que, pour toutnentier non nul : (2n+ 1)In =−2nIn−1, `a l’aide d’une int´egration par parties.
2. En d´eduire la valeur deIn en fonction den.
Exercice 163 (M´eli-m´elo)
Calculer les int´egrales suivantes.
1.
Z e
1
ln(t) t2 dt.
2.
Z π6
0
sin(3t)dt.
3.
Z e
1
x−1
x+ 1 x2
dx.
4.
Z π
0
xcos(x)dx.
5.
Z 1
0
xn−1
1 +xndx, avecn∈N∗. 6.
Z 1
0
(x2+x+ 1)e−xdx.
7.
Z 0
−1
1 1−tdt.
8.
Z 0
−2
t e−t2dt.
9.
Z 2√ 2 1
x
√3
x2+ 1dx.
10.
Z 12
0
e4tdt.
11.
Z e2
1
(x3+ 1) ln(x)dx.
12.
Z π2
0
sin(x)
3 + sin2(x)dx, en utilisant le changement de variableu= cos(x).
Indication : On remarquera que sia∈R×, alors :
∀x∈R\ {−a, a} 1
x2−a2 = 1 2a
1
x−a − 1 x+a
.
Cette remarque est utile pour rechercher une primitive de la fonctionx7→ 1 x2−a2.
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