Exercices sur le calcul int´ egral
Exercice 1 On consid`ere les suites (In) et (Jn) d´efinies pour tout entier naturel npar : In=
Z 1 0
e−nx
1 +x dx et Jn= Z 1
0
e−nx (1 +x)2 dx.
Sont repr´esent´ees ci-contre les fonctions fn d´efinies sur l’in- tervalle [0 ; 1] par
fn(x) = e−nx 1 +x pour diff´erentes valeurs de n:
0 0,10,20,30,40,50,60,70,80,91,0 0
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1
f0
f1
f2
f3
O
1. (a) Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite (In) en expliquant la d´emarche.
(b) D´emontrer cette conjecture.
2. (a) Montrer que pour tout entiern>0 et pour tout nombre r´eel xde l’intervalle [0 ; 1] : 06 e−nx
(1 +x)2 6 e−nx
1 +x 6e−nx.
(b) Montrer que les suites (In) et (Jn) sont convergentes et d´eterminer leur limite.
Exercice 2 On consid`ere la suite (In) d´efinie pour nentier naturel non nul par : In=
Z 1 0
xnex2 dx.
1. (a) Soit g la fonction d´efinie parg(x) =xex2.
D´emontrer que la fonction Gd´efinie sur RparG(x) = 1
2ex2 est une primitive surR de la fonction g.
(b) En d´eduire la valeur de I1.
(c) On suppose que, pour tout entier naturel n, sup´erieur ou ´egal `a 1, on a : In+2 = 1
2e−n+ 1 2 In. Calculer I3 etI5.
2. (a) Montrer que, pour tout entier naturel non nuln,In>0.
(b) Montrer que la suite (In) est d´ecroissante.
(c) En d´eduire que la suite (In) est convergente. On note ℓsa limite.
3. D´eterminer la valeur de ℓ.
Exercice 3 Etant donn´e un nombre r´eelk, on consid`ere la fonctionfk d´efinie surRpar fk(x) = 1
1 + e−kx. Le plan est muni d’un rep`ere orthonorm´e
O, −→ ı , −→
.
1
Dans cette partie on choisit k= 1. On a donc, pour tout r´eel x, f1(x) = 1 1 + e−x. La repr´esentation graphique C1 de la fonction f1 dans le rep`ere
O, −→ ı , −→
est donn´ee ci-dessous .
1. D´eterminer les limites def1(x) en +∞et en−∞ et interpr´eter graphiquement les r´esultats obtenus.
2. D´emontrer que, pour tout r´eel x, f1(x) = ex 1 + ex.
3. On appellef1′ la fonction d´eriv´ee def1 surR. Calculer, pour tout r´eel x, f1′(x).
En d´eduire les variations de la fonction f1 sur R. 4. On d´efinit le nombreI =
Z 1 0
f1(x) dx.
Montrer queI = ln
1 + e 2
. Donner une interpr´etation graphique de I.
Exercice 4 On consid`ere la fonctiong d´efinie pour tout r´eel x de l’intervalle [0 ; 1] par : g(x) = 1 + e−x.
On admet que, pour tout r´eel x de l’intervalle [0 ; 1],g(x)>0.
On note C la courbe repr´esentative de la fonc- tion g dans un rep`ere orthogonal, et D le do- maine plan compris d’une part entre l’axe des abscisses et la courbe C, d’autre part entre les droites d’´equation x= 0 etx= 1.
La courbe C et le domaine D sont repr´esent´es ci-contre.
0 1
1 2
C D
x y
0
Le but de cet exercice est de partager le domaine D en deux domaines de mˆeme aire, d’abord par une droite parall`ele `a l’axe des ordonn´ees (partie A), puis par une droite parall`ele `a l’axe des abscisses (partie B).
Partie A
Soit aun r´eel tel que 06a61.
On note A1 l’aire du domaine compris entre la courbe C, l’axe (Ox),les droites d’´equation x= 0 et x = a , puis A2 celle du domaine compris entre la courbeC, (Ox) et les droites d’´equation x=aetx= 1.
A1 etA2 sont exprim´ees en unit´es d’aire.
0 1
1 2
A1 A2 C
a x
y
0 1. (a) D´emontrer queA1=a−e−a+ 1.
(b) Exprimer A2 en fonction dea.
2. Soitf la fonction d´efinie pour tout r´eel xde l’intervalle [0 ; 1] par : f(x) = 2x−2 e−x+1
e.
(a) Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 1]. On pr´ecisera les valeurs exactes de f(0) etf(1).
(b) D´emontrer que la fonction f s’annule une fois et une seule sur l’intervalle [0 ; 1]. en un r´eelα. Donner la valeur de α arrondie au centi`eme.
2
3. En utilisant les questions pr´ec´edentes, d´eterminer une valeur approch´ee du r´eel apour lequel les aires A1 etA2 sont ´egales.
Partie B
Soit b un r´eel positif.
Dans cette partie, on se propose de partager le domaineD en deux domaines de mˆeme aire par la droite d’´equation y =b. On admet qu’il existe un unique r´eel bpositif solution.
1. Justifier l’in´egalit´eb <1 + 1
e. On pourra utiliser un argument graphique.
2. D´eterminer la valeur exacte du r´eel b.
Exercice 5 Soitf une fonction d´efinie et d´erivable surR. On note C sa courbe repr´esentative dans le plan muni d’un rep`ere
O, −→ ı , −→
. Partie A
Sur les graphiques ci-dessous, on a repr´esent´e la courbe C et trois autres courbesC1, C2, C3 avec la tangente en leur point d’abscisse 0.
O −→ ı
−
→
C
O −→ ı
−
→
d1
C1
O −→ ı
−
→
d2
C2
O −→ ı
−
→
d3
C3
1. Donner par lecture graphique, le signe def(x) selon les valeurs dex.
2. On d´esigne parF une primitive de la fonction f surR. (a) `A l’aide de la courbe C, d´eterminer F′(0) et F′(−2).
(b) L’une des courbes C1,C2,C3 est la courbe repr´esentative de la fonction F.
D´eterminer laquelle en justifiant l’´elimination des deux autres.
Partie B
Dans cette partie, on admet que la fonction f ´evoqu´ee dans la partie A est la fonction d´efinie surRpar f(x) = (x+ 2)e12x.
1. L’observation de la courbe C permet de conjecturer que la fonctionf admet un minimum.
(a) D´emontrer que pour tout r´eel x, f′(x) = 1
2(x+ 4)e12x. 3
(b) En d´eduire une validation de la conjecture pr´ec´edente.
2. On poseI = Z 1
0
f(x) dx.
(a) Interpr´eter g´eom´etriquement le r´eelI.
(b) Soient u etv les fonctions d´efinies surRparu(x) =x etv(x) = e 1 2x. V´erifier quef = 2 (u′v+uv′).
(c) En d´eduire la valeur exacte de l’int´egrale I. 3. On donne l’algorithme ci-dessous.
Variables : ketn sont des nombres entiers naturels.
sest un nombre r´eel.
Entr´ee : Demander `a l’utilisateur la valeur den.
Initialisation : Affecter `asla valeur 0.
Traitement : Pourk allant de 0 `a n−1
— Affecter `asla valeur s+ 1 nf
k n
. Fin de boucle.
Sortie : Afficher s.
On note sn le nombre affich´e par cet algorithme lorsque l’utilisateur entre un entier naturel strictement positif comme valeur den.
(a) Justifier que s3 repr´esente l’aire, exprim´ee en unit´es d’aire, du domaine hachur´e sur le graphique ci- dessous o`u les trois rectangles ont la mˆeme largeur.
0 1
1
C
(b) Que dire de la valeur de sn fournie par l’algorithme propos´e lorsquen devient grand ?
4
