Feuille d’exercices n˚14 Calcul int´ egral

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1−2011-2012

D. Blotti`ere Math´ematiques

Feuille d’exercices n˚14 Calcul int´ egral

Exercice 206

1. Justifier l’existence de l’int´egraleI= Z 3

1

2x³−5e^2xdx.

2. Calculer la valeur deI.

Exercice 207

1. Justifier l’existence de l’int´egraleI= Z e

2

1

x(ln(x))² dx.

2. Calculer la valeur deI.

Exercice 208

1. Justifier l’existence de l’int´egraleI= Z 1

0

e^−x 1 +e^−x dx.

2. Calculer la valeur deI.

Exercice 209

1. Justifier l’existence de l’int´egraleI= Z 1

0

x 1 +xdx.

2. Calculer la valeur deI.

Exercice 210

1. Justifier l’existence de l’int´egraleI= Z π

0

sin²(x)dx.

2. Calculer la valeur deI.

Exercice 211 : Soitf la fonction d´efinie par :

f:x7→ 1 +x 1−2x. 1. D´eterminer le domaine de d´efinitionD_f def.

2. Justifier que l’int´egraleI= Z 0

−1

f(x)dxexiste.

3. D´emontrer qu’il existe un unique couple (a, b)∈R² tel que pour toutx∈ D_f : f(x) =a+ b

1−2x. 4. Calculer la valeur deI.

1

Exercice 212 : On consid`ere les int´egrales suivantes :

I= Z ^π₂

0

sin(t)

cos(t) + sin(t) dt et J= Z ^π₂

0

cos(t) cos(t) + sin(t) dt.

1. Justifier l’existence des int´egralesIet J.

2. CalculerI+J,I−J et en d´eduire les valeurs deI et J.

Exercice 213 : On note I₁= Z 1

0

x e^−xdxet I₂= Z 1

0

x²e^−xdx.

1. Justifier que les int´egralesI1 etI2existent.

2. Calculer la valeur deI1. 3. Calculer la valeur deI₂.

Exercice 214 : Pour toutn∈N, on pose :

In= Z 1

0

xⁿ cos(nx)dx.

1. Montrer que pour toutn∈N,In est bien d´efini.

2. Montrer que :

∀n∈N, |I_n| ≤ 1 n+ 1. 3. En d´eduire le comportement asymptotique de la suite (In)_n∈N.

Exercice 215 : Pour toutn∈N, on pose : I_n =

Z 1

0

e^nx 1 +x dx.

1. Montrer que pour toutn∈N,In est bien d´efini.

2. Montrer que la suite (In)_n∈Nest croissante.

3. En encadrant la fonction x7→ 1

1 +x sur [0,1], montrer que :

∀n∈N^∗, In≥ 1

2n (eⁿ−1).

4. En d´eduire le comportement asymptotique de la suite (In)_n∈N.

F Exercice 216

1. Justifier l’existence de l’int´egrale

I= Z 1

0

e

√tdt

et calculer sa valeur `a l’aide du changement de variable u=√ t.

2. Justifier l’existence de l’int´egrale

J = Z 1

−1

p1−t²dt et calculer sa valeur `a l’aide du changement de variable t= cos(u).

2

Exercice 217 : Soitf une fonction d´efinie et continue sur [−1,1].

1. Montrer que sif est paire, alors : Z 1

−1

f(x)dx= 2 Z 1

0

f(x)dx.

2. Montrer que sif est impaire, alors :

Z 1

−1

f(x)dx= 0.

F Exercice 218 : Soit la fonction

F : R → R

x 7→

Z 2x

x

e^−t2 dt.

1. Montrer que la fonction F est bien d´efinie.

2. Montrer que la fonction F est impaire.

3. Montrer queF est d´erivable surR.

On pourra introduire une primitive de t7→e^−t2 sur R, apr`es avoir justifi´e son existence.

4. CalculerF⁰(x), pour toutx∈R.

5. ´Etudier les variations de la fonctionF sur [0,+∞[.

6. Montrer que :

∀t∈[1,+∞[, e^−t2 ≤e^−t puis que :

∀x∈[1,+∞[, 0 ≤F(x)≤e^−x−e^−2x. 7. En d´eduire que le comportement asymptotique deF en +∞.

8. Dresser le tableau de variations deF surR, en pr´ecisant les limites aux bornes.

F Exercice 219

1. Soitf une fonction d´efinie et continue sur un intervalleI (non vide). Soita∈I.

(a) Justifier qu’il existe une unique primitiveFa def surI qui s’annule ena.

(b) D´emonter que pour toutx∈I, Fa(x) = Z x

a

f(t)dt.

2. En d´eduire l’unique primitive de ln sur ]0,+∞[ qui s’annule en 1.

On pourra faire un int´egration par parties.

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