Calcul int´egral

Herv ´e Hocquard

Universit ´e de Bordeaux, France

23 septembre 2015

Un rep `ere orthogonal

O,−→i ,−→j

ayant ´et ´e fix ´e, une unit ´e d’aire est d ´efinie de la mani `ere suivante :

I K J

~ı

~ u.a.

1u.a.=aire du rectangleOIKJ

x y

O

D ´efinition

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle[a;b]et C_f sa courbe repr ´esentative dans un rep `ere orthogonal

O,−→i ,−→j . Le r ´eel, not ´e

Z b a

f(x)dx, est l’aire, en unit ´es d’aire, du domaine Dd ´elimit ´e par C_f, l’axe des abscisses et les droites d’ ´equations x=a et x=b.

a

f(x)dx se lit somme de a `a b de f(x)dx ou int ´egrale de a `a b de f .

y=f(x)

a b

DomaineD Zb

a

f(x)dx=aire du domaineD

x y

O

D ´efinition

Si f est une fonction continue et n ´egative sur[a;b], on a la d ´efinition suivante :

y=f(x)

a b

DomaineD

Z^b

a

f(x)dx=-(aire du domaineD)

x y

O

Si f est continue sur l’intervalle[a;b], alors on d ´efinit^R_a^bf(x)dx de la mani `ere suivante :

y=f(x)

a b

D1

D2

Zb

a

f(x)dx=aire du domaineD1-(aire du domaineD2)

x y

O

Remarque

On admet pour l’instant l’ ´egalit ´e suivante :

si f est une fonction continue sur[a;b], alors, pour tout c∈[a;b],

Z _c

c

f(x)dx=0

D ´efinition

Il est un cas o `u, si la fonction f n’est pas continue sur[a;b], on peut n ´eanmoins d ´efinir^R_a^bf(x)dx , c’est le cas des fonctions en escalier.

Si f est d ´efinie ainsi :

1 si x∈[x₀;x₁[, f(x) =c₁

2 si x∈[x1;x2[, f(x) =c₂

3 si x∈[x2;x3[, f(x) =c₃

4 si x∈[x3;x4], f(x) =c₄

alors^R_a^bf(x)dx=somme des aires des rectangles situ ´es au-dessus de l’axe des abscisses-(somme des aires des rectangles en dessous de l’axe des abscisses).

D ´efinition

+ +

− + c1

c2

c3

c4

x0=a x1 x2 x3 x4=b x y

O

Th ´eor `eme

On admet pour l’instant, la d ´efinition de l’int ´egrale ayant ´et ´e donn ´ee pr ´ec ´edemment, que

Z _b

a

f(x)dx=− Z _a

b

f(x)dx

La notion de primitive nous permettra de valider cette propri ´et ´e dans quelques instants.

Th ´eor `eme-Lin ´earit ´e

Si f et g sont deux fonctions continues sur[a;b]etα un r ´eel, alors on a :

Z _b

a

f(x)dx+ Z _b

a

g(x)dx= Z _b

a

(f(x) +g(x))dx

et

Z b

a αf(x)dx=α^{Z b}

a

f(x)dx

Soit f une fonction continue sur[a;c], alors :

y=f(x)

a b c

Z b

a

f (x)dx +

b

f (x)dx =

a

f (x)dx

x y

O

Th ´eor `eme

Si f et g sont continues sur[a;b]et si, pour tout x ∈[a;b], g(x)≤f(x)alors on a :

y=f(x) y=g(x)

a b

Z b

a g(x)dx≤^Z_a^bf(x)dx

x y

O

S’il existe m et M tels que, pour tout x∈[a;b], m≤f(x)≤M alors on a :

y=f(x)

a b

A B

F E

D C

M

m

m(b−a)≤^Z_a^bf(x)dx≤M(b−a)

x y

O

Th ´eor `eme

Si f est une fonction continue sur un intervalle I ; a et b sont deux r ´eels distincts de l’intervalle I.

Alors il existe un r ´eel c entre a et b tel que Z _b

a

f(x)dx= (b−a)f(c)

Le nombre 1 b−a

Z _b

a

f(x)dx est appel ´e valeur moyenne de f entre a et b.

Preuve-Premier cas : a<b

Puisque f est croissante, pour tout r ´eel x dans[a;b], f(a)≤f(x)≤f(b). On a alors

Preuve-Premier cas : a<b

Puisque f est croissante, pour tout r ´eel x dans[a;b], f(a)≤f(x)≤f(b). On a alors

f(a)(b−a)≤ Z _b

a

f(x)dx≤f(b)(b−a)et, puisque b−a>0, f(a)≤ 1

b−a Z _b

a

f(x)dx≤f(b).

Preuve-Premier cas : a<b

Puisque f est croissante, pour tout r ´eel x dans[a;b], f(a)≤f(x)≤f(b). On a alors

f(a)(b−a)≤ Z _b

a

f(x)dx≤f(b)(b−a)et, puisque b−a>0, f(a)≤ 1

b−a Z _b

a

f(x)dx≤f(b).

Le r ´eel 1 b−a

Z _b

a

f(x)dx est dans l’intervalle[f(a);f(b)], donc il existe c dans[a;b]tel que : 1

b−a Z _b

a

f(x)dx=f(c).

Preuve-Second cas : a>b

A vous de jouer... `

Introduction

On s’int ´eresse `a la fonction f:x∈R<sup>+</sup>7−→0,9×e<sup>−0,9x</sup>. SoitA la fonction qui, `a tout r ´eel x positif, associe A(x) =

Z _x

0 0,9 e^−0,9tdt.

Alors, pour tout r ´eel a positif, le r ´eelA(a+h)−A(a)

repr ´esente l’aire du domaine colori ´e en bleue ci-apr `es (on se place dans le cas o `u h est strictement positif).

Introduction

a a+h

f(a+h) f(a)

C_f: y= 0,9×e^−0,9x

x y

O

Introduction

En utilisant les in ´egalit ´es de la moyenne d ´ecrites plus haut, on peut ´ecrire :

h×f(a+h)≤A(a+h)−A(a)≤h×f(a) d’o `u

Introduction

En utilisant les in ´egalit ´es de la moyenne d ´ecrites plus haut, on peut ´ecrire :

h×f(a+h)≤A(a+h)−A(a)≤h×f(a) d’o `u

f(a+h)≤A(a+h)−A(a)

h ≤f(a)

Introduction

De la m ˆeme mani `ere, en consid ´erant h strictement n ´egatif, on obtient :

f(a)≤A(a+h)−A(a)

h ≤f(a+h)

Introduction

De la m ˆeme mani `ere, en consid ´erant h strictement n ´egatif, on obtient :

f(a)≤A(a+h)−A(a)

h ≤f(a+h)

Si on fait tendre h vers 0 et en tenant compte du fait que la fonction f est continue surR, donc surR⁺en particulier, on obtient, apr `es passage `a la limite :

hlim→0

A(a+h)−A(a)

h =f(a)

Ce qui nous permet de dire que la fonction A :x7−→

Z x 0

f(t)dt

est d ´erivable surR⁺ et v ´erifie

A^′(x) =f(x)

La fonctionA est appel ´ee primitive de la fonction f surR⁺.

Introduction

Ce qui nous permet de dire que la fonction A :x7−→

Z x 0

f(t)dt

est d ´erivable surR⁺ et v ´erifie

A^′(x) =f(x)

La fonctionA est appel ´ee primitive de la fonction f surR⁺. En effet, si l’on consid `ere la fonction F , d ´efinie surR, par

F(x) =A(x) +e^−0.9x

on voit que, la fonction F ´etant manifestement d ´erivable surR⁺, F^′(x) =0, pour tout x≥0, donc F(x) =K constante.

D’o `u : F(x) =F(0) =1.

Introduction Autrement dit,

A(x) =1−e^−0.9x pour tout x≥0 or

Z ₁

0

f(t)dt=A(1) donc

Z ₁

0

f(t)dt=1−e^−0.9

D ´efinition

f est une fonction d ´efinie sur un intervalle I. La fonction F est une primitive de f sur I si, pour tout x dans I, F^′(x) =f(x) (implicitement, cela suppose que F soit d ´erivable sur I).

D ´efinition

f est une fonction d ´efinie sur un intervalle I. La fonction F est une primitive de f sur I si, pour tout x dans I, F^′(x) =f(x) (implicitement, cela suppose que F soit d ´erivable sur I).

Th ´eor `eme

Si f est une fonction d ´efinie sur un intervalle I. Si F est une primitive de f sur I, alors f admet une infinit ´e de primitives.

Les autres primitives de f sur I sont d ´efinies par G(x) =F(x) +K o `u K est une constante r ´eelle.

Preuve

F est d ´erivable sur I et F^′=f . La fonction G est aussi d ´erivable sur I avec G^′=F^′=f . Donc G est une primitive de f sur I.

Preuve

F est d ´erivable sur I et F^′=f . La fonction G est aussi d ´erivable sur I avec G^′=F^′=f . Donc G est une primitive de f sur I.

Inversement, si G est une primitive de f sur I alors G^′=f=F^′ d’o `u G^′−F^′=0.

Preuve

F est d ´erivable sur I et F^′=f . La fonction G est aussi d ´erivable sur I avec G^′=F^′=f . Donc G est une primitive de f sur I.

Inversement, si G est une primitive de f sur I alors G^′=f=F^′ d’o `u G^′−F^′=0.

La d ´eriv ´ee de G−F est nulle sur l’intervalle I donc G−F est constante sur I, il existe donc un r ´eel K tel que pour tout x de I, G(x)−F(x) =K , d’o `u le r ´esultat.

Th ´eor `eme

Soit f une fonction admettant des primitives sur I.

Soient x₀est un r ´eel donn ´e appartenant `a I et y₀un r ´eel quelconque.

Alors il existe une unique primitive F de f sur I telle que F(x0) =y₀.

Th ´eor `eme

Soit f une fonction continue sur un intervalle I ; a est un r ´eel de I.

Alors la fonction F d ´efinie sur I par F(x) = Z _x

a

f(t)dt est l’unique primitive de f sur I telle que F(a) =0.

Les op ´erations sur les fonctions d ´erivables et la d ´efinition d’une primitive conduisent aux r ´esultats suivants :

si F et G sont des primitives des fonctions f et g sur un intervalle I, alors F+G est une primitive de f+g sur I.

Si F est une primitive de la fonction f sur un intervalle I et λ un r ´eel, alorsλF est une primitive deλf sur I.

De m ˆeme, les r ´esultats connus sur les d ´eriv ´ees des fonctions usuelles donnent par lecture inverse le tableau des primitives suivant :

Fonction f Primitive F Intervalle I

a (constante) ax R

xⁿ(n∈Z\ {−1}) xⁿ⁺¹

n+1 Rsi n≥0 et]0; +∞[ou]−∞;0[si n<0

√1

x 2√

x ]0; +∞[

1

x ln x ]0; +∞[

e^x e^x R

Fonction f Primitive F Remarques

u^′uⁿ(n∈Z\ {−1}) uⁿ⁺¹

n+1 si n<0, pour tout x tel que u(x)6=0

u^′

√u 2√u u>0 sur I

u^′

u ln(|u|) u6=0 sur I

u^′e^u e^u

x7−→u(ax+b)(a6=0) x7−→1

aU(ax+b) U primitive de u sur I

Remarque

On peut ajouter `a chaque primitive d ´etermin ´ee une constante K pour obtenir toutes les primitives.

Remarque

On peut ajouter `a chaque primitive d ´etermin ´ee une constante K pour obtenir toutes les primitives.

Th ´eor `eme fondamental de l’analyse

Si f est une fonction continue sur un intervalle I, F est une primitive de f sur I, a et b sont deux r ´eels de I. Alors :

Z b a

f(x)dx=F(b)−F(a)

Preuve

On sait que la fonction G:x 7−→

Z x a

f(t)dt est la primitive de f sur I telle que G(a) =0.

Preuve

On sait que la fonction G:x 7−→

Z x a

f(t)dt est la primitive de f sur I telle que G(a) =0.

Si F est une primitive de f sur I, alors il existe k∈Rtel que pour tout x de I, G(x) =F(x) +k . Or G(a) =0, d’o `u k=−F(a) et on obtient :

Z x a

f(t)dt=F(x)−F(a).

Preuve

On sait que la fonction G:x 7−→

Z x a

f(t)dt est la primitive de f sur I telle que G(a) =0.

Si F est une primitive de f sur I, alors il existe k∈Rtel que pour tout x de I, G(x) =F(x) +k . Or G(a) =0, d’o `u k=−F(a) et on obtient :

Z x a

f(t)dt=F(x)−F(a).

En posant x=b, on obtient bien Z b

a

f(t)dt=F(b)−F(a).

Notation

Z b a

f(x)dx= [F(x)]^b_a=F(b)−F(a)

Notation

Z b a

f(x)dx= [F(x)]^b_a=F(b)−F(a)

Remarque

Cela permet de valider la formule : Z _b

a

f(x)dx = [F(x)]^b_a=F(b)−F(a)

= −(F(a)−F(b))

= −

Z _a

b

f(x)dx

Exercice Calculer I=

Z 2

1 (x−3)(x−9)dx.

Exercice Calculer I=

Z 2

1 (x−3)(x−9)dx.

I=34 3

Th ´eor `eme

Si u et v sont deux fonctions d ´erivables sur un intervalle I, telles que leurs d ´eriv ´ees u^′et v^′ soient continues sur I.

Alors pour tous r ´eels a et b de I : Z b

a

u(t)v^′(t)dt= [u(t)v(t)]^b_a− Z b

a

u^′(t)v(t)dt

Preuve

La fonction uv est d ´erivable sur I avec(uv)^′=u^′v+uv^′. Ainsi uv^′= (uv)^′−u^′v .

Puisque uv^′,(uv)^′ et u^′v sont continues sur I, on en d ´eduit que :

Preuve

La fonction uv est d ´erivable sur I avec(uv)^′=u^′v+uv^′. Ainsi uv^′= (uv)^′−u^′v .

Puisque uv^′,(uv)^′ et u^′v sont continues sur I, on en d ´eduit que :

Z _b

a

(uv^′)(t)dt= Z _b

a

[(uv)^′(t)−(u^′v)(t)]dt

Preuve

La fonction uv est d ´erivable sur I avec(uv)^′=u^′v+uv^′. Ainsi uv^′= (uv)^′−u^′v .

Puisque uv^′,(uv)^′ et u^′v sont continues sur I, on en d ´eduit que :

Z _b

a

(uv^′)(t)dt= Z _b

a

[(uv)^′(t)−(u^′v)(t)]dt et par lin ´earit ´e de l’int ´egration :

Z _b

a (uv^′)(t)dt= Z _b

a (uv)^′(t)dt− Z _b

a (u^′v)(t)dt

Preuve

Or uv est une primitive de(uv)^′sur I, donc Z _b

a (uv)^′(t)dt= [u(t)v(t)]^b_a

Preuve

Or uv est une primitive de(uv)^′sur I, donc Z _b

a (uv)^′(t)dt= [u(t)v(t)]^b_a Ainsi, on obtient :

Z b a

u(t)v^′(t)dt= [u(t)v(t)]^b_a− Z b

a

u^′(t)v(t)dt

Exercice Calculer J=

Z 2

1 xln(x)dx.

Exercice Calculer J=

Z 2

1 xln(x)dx.

J =2ln(2)−3 4

Th ´eor `eme

Soientϕ une fonction de classeC¹sur un intervalle I deRet f une fonction de classeC¹sur un intervalle J deR(fonctions `a valeurs dansR). On suppose queϕ(I)⊂J.

Alors :

Z _b

a

f(ϕ(t))ϕ^′(t)dt= Z _ϕ(b)

ϕ(a) f(x)dx

Exercice Calculer K =

Z ₂

1

dx

x(1+ln(x)) (on posera u=1+ln(x)).

Exercice Calculer K =

Z ₂

1

dx

x(1+ln(x)) (on posera u=1+ln(x)).

K =ln(1+ln(2))

Th ´eor `eme

Soit f ∈C([−a,a],R). Alors : Z _a

−a

f =2 Z _a

0

f si f est paire

Z _a

−a

f =0 si f est impaire Soit f ∈C(R,R)p ´eriodique de p ´eriode T . Alors :

Z _a+T

a

f = Z _T

0

f

Introduction

Le corps des fractions de l’anneau int ´egreR[X]se noteR(X) dont les ´el ´ements sont de la forme ^P_Q; o `u P et Q deux

polyn ˆomes tels que Q6=0 et s’appellent des fractions rationnelles.

Cette ecriture est dite irr ´eductible lorsque P∧Q=1.

Toute fraction rationnelle peut s’ ´ecrire sous une forme irr ´eductible...

D ´efinition

Le degr ´e d’une fraction rationnelle ^P_Q est d ´efini `a l’aide des relations :

deg

P

Q

=−∞si P Q =0 deg

P

Q

=deg(P)−deg(Q)sinon

Le degr ´e d’une fraction rationnelle est donc un ´el ´ement de Z∪ {−∞}.

D ´efinition

Soit F=_Q^P ´ecrite sous sa forme irr ´eductible, les p ˆoles de F sont exactement les racines de Q, les multiplicit ´es de ses racines de Q sont appel ´es aussi multiplicit ´es des p ˆoles associ ´es pour la fraction rationnelle F .

D ´efinition

Soit F=_Q^P ´ecrite sous sa forme irr ´eductible, les p ˆoles de F sont exactement les racines de Q, les multiplicit ´es de ses racines de Q sont appel ´es aussi multiplicit ´es des p ˆoles associ ´es pour la fraction rationnelle F .

Remarque

Pour d ´eterminer les p ˆoles d’une fraction rationnelle il faut avant toute autre chose la simplifier et l’ ´ecrire sous sa forme

irr ´eductible.

D ´efinition

La partie enti `ere d’une fraction rationnelle F est par d ´efinition l’unique polyn ˆome not ´e E(F)v ´erifiant la propri ´et ´e :

deg(F−E(F))<0.

rationnelle

D ´efinition

La partie enti `ere d’une fraction rationnelle F est par d ´efinition l’unique polyn ˆome not ´e E(F)v ´erifiant la propri ´et ´e :

deg(F−E(F))<0.

Remarque

Si F=_Q^P la partie enti `ere de F est exactement le quotient de la division euclidienne de P par Q.

D ´efinition

La partie enti `ere d’une fraction rationnelle F est par d ´efinition l’unique polyn ˆome not ´e E(F)v ´erifiant la propri ´et ´e :

deg(F−E(F))<0.

Remarque

Si F=_Q^P la partie enti `ere de F est exactement le quotient de la division euclidienne de P par Q.

Exercice

D ´eterminer la partie enti `ere de F(x) =X³+2X²−3X+2 X²−1 .

rationnelle

D ´efinition

La partie polaire relative `a un p ˆole a d’une fraction rationnelle F est par d ´efinition l’unique fraction rationnelle not ´ee Fav ´erifiant la propri ´et ´e suivante : a n’est pas un p ˆole de F−F_a.

D ´efinition

La partie polaire relative `a un p ˆole a d’une fraction rationnelle F est par d ´efinition l’unique fraction rationnelle not ´ee Fav ´erifiant la propri ´et ´e suivante : a n’est pas un p ˆole de F−F_a.

Remarque

Si a est un p ˆole de multiplicit ´e r dans F , alors la partie polaire relative `a a dans F est de la forme :

Fa(X) = λ1

X−a+ λ2

(X−a)²+. . . λr

(X−a)^r

rationnelle

D ´efinition

La partie polaire relative `a un p ˆole a d’une fraction rationnelle F est par d ´efinition l’unique fraction rationnelle not ´ee Fav ´erifiant la propri ´et ´e suivante : a n’est pas un p ˆole de F−F_a.

Remarque

Si a est un p ˆole de multiplicit ´e r dans F , alors la partie polaire relative `a a dans F est de la forme :

Fa(X) = λ1

X−a+ λ2

(X−a)²+. . . λr

(X−a)^r

Toute fraction rationnelle se d ´ecompose en ´el ´ements simples de fac¸on unique comme somme de sa partie enti `ere et toutes les parties polaires relatives `a ses p ˆoles.

sa d ´ecomposition en ´el ´ements simples est obtenu `a l’aide de la formule de Taylor `a l’ordre r−1 appliqu ´ee au polyn ˆome P au point a, plus pr ´ecis ´ement :

P(X) =P(a) +P^′(a)(X−a) +. . .P^(r−1)(a)

(r−1)! (X−a)^r−1 d’o `u

F(X) = P^(r−1)(a) (r−1)!

1

X−a+. . . P(a)

(X−a)^r

Si F(X) =_(X^P(X)_−a)r avecdeg(P)<r admet un unique p ˆole a, alors sa d ´ecomposition en ´el ´ements simples est obtenu `a l’aide de la formule de Taylor `a l’ordre r−1 appliqu ´ee au polyn ˆome P au point a, plus pr ´ecis ´ement :

P(X) =P(a) +P^′(a)(X−a) +. . .P^(r−1)(a)

(r−1)! (X−a)^r−1 d’o `u

F(X) = P^(r−1)(a) (r−1)!

1

X−a+. . . P(a)

(X−a)^r

Exercice

D ´ecomposer la fraction rationnelle suivante en ´el ´ements simples :

F(X) = 2X+1 (X−1)²

A retenir`

Si a est un p ˆole de F de multiplicit ´e r dans F , alors le coefficientλr de _(X¹

−a)^r dans la partie polaire de F relative `a a est obtenu `a l’aide de la formuleλr= lim

X→a(X−a)^rF(X).

A retenir`

Si a est un p ˆole de F de multiplicit ´e r dans F , alors le coefficientλr de _(X¹

−a)^r dans la partie polaire de F relative `a a est obtenu `a l’aide de la formuleλr= lim

X→a(X−a)^rF(X).

Exercice

D ´ecomposer la fraction rationnelle suivante en ´el ´ements simples :

F(X) = 1 X²−5X+4

A retenir ou pas`

Si a est un p ˆole simple de F=_Q^P (de multiplicit ´e 1), alors la partie polaire de F relative au p ˆole a est de la forme

Fa(X) =_X^λ_−a o `uλ =_Q^P(a)_′(a).

A retenir ou pas`

Si a est un p ˆole simple de F=_Q^P (de multiplicit ´e 1), alors la partie polaire de F relative au p ˆole a est de la forme

Fa(X) =_X^λ_−a o `uλ =_Q^P(a)_′(a). Exercice

D ´ecomposer la fraction rationnelle suivante en ´el ´ements simples :

F(X) = 1 X²−5X+4

Si a est un p ˆole double de F =^P_Q (de multiplicit ´e 2), alors la partie polaire de F relative au p ˆole a est de la forme :

F_a(X) = λ

X−a+ µ (X−a)²

o `uµ=^2P(a)_Q′′(a) ;λ= ²₃^3P′(a)Q_(Q^′′(a)_′′(a))^−P(a)Q2 ^′′′(a).

A ne pas retenir

Si a est un p ˆole double de F =^P_Q (de multiplicit ´e 2), alors la partie polaire de F relative au p ˆole a est de la forme :

F_a(X) = λ

X−a+ µ (X−a)²

o `uµ=^2P(a)_Q′′(a) ;λ= ²₃^3P′(a)Q_(Q^′′(a)_′′(a))^−P(a)Q2 ^′′′(a).

Exercice

D ´ecomposer la fraction rationnelle suivante en ´el ´ements simples :

F(X) = 2X+1 (X−1)²

Soit F une fraction rationnelle paire ou impaire et a un p ˆole de F de partie polaire dans F ´egale `a

F_a(X) =_X^λ₋¹_a+_(X^λ2

−a)²+. . ._(X^λ₋^r_a)r, alors−a est aussi un p ˆole de F de m ˆeme multiplicit ´e que a et dont la partie polaire dans F est :

Si F paire, F_−a(X) =_X⁻_+a^λ1 +_(X^λ_+a)² 2+. . .⁽_(X⁻¹⁾_+a)^rλr^r. Si F impaire, F_−a(X) = _X+a^λ1 +_(X⁻_+a)^λ22+. . .⁽⁻_(X+a)^1)r+1λr^r.

Dans ce cas si(a_i)_1≤i≤r sont les racine de P de multiplicit ´eαi, alors ce sont des p ˆoles simple de F , et la d ´ecomposition en

´el ´ement simple de F est donn ´ee `a l’aide de la formule : P^′(X)

P(X) =

∑

λi

X−a_i

Vous pouvez aussi d ´ecomposer une fraction en ´el ´ements simples en utilisant la m ´ethode d’identification...mais bon courage...