L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1−2010-2011
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚18 Calcul int´ egral II
Exercice 270 (Int´egrale d’une fonction d´efinie par morceaux) :Soitf la fonction d´efinie par :
f:R→R; x7→
0 six∈]− ∞,0] ∪ [3,+∞[
xsix∈]0,1[
1 six∈[1,2[
3−xsix∈[2,3[.
1. Justifier que pour touta∈R, l’int´egraleI(a) = Z a
0
f(x)dx existe.
2. Calculer l’int´egrale I(a) pour tout a ∈ R. On pourra scinder l’´etude en cinq parties, suivant les cas a ≤ 0, 0< a <1, 1≤a <2, 2≤a <3 eta≥3.
3. Repr´esenter graphiquement la fonctionf dans un rep`ere orthonorm´e du plan et retrouver la valeur de I(a) par voie g´eom´etrique, pour touta ∈R+∗ .
Exercice 271 (Int´egration d’une fraction rationnelle) 1. D´emontrer qu’il existe deux r´eels aetbtels que :
∀x∈R\ {0,1} 1
(x−1)x= a x+ b
x−1. 2. Calculer les int´egrales
Z 3 2
1
(x−1)x dxet Z −2
−3
1 (x−1)xdx.
Exercice 272 (Int´egration d’une fraction rationnelle) 1. D´emontrer qu’il existe deux r´eels aetbtels que :
∀x∈R\ {−3,3} 1
x2−9 = a
x−3+ b x+ 3. 2. Calculer l’int´egrale
Z 9 4
1 x2−9 dx.
Exercice 273 (Int´egration d’une fraction rationnelle) 1. D´emontrer qu’il existe trois r´eels a,bet ctels que :
∀x∈R\ {−2} x2+ 3x
x+ 2 =ax+b+ c x+ 2. 2. Calculer l’int´egrale
Z 3
−1
x2+ 3x x+ 2 dx.
Exercice 274 (Int´egration par parties) 1. Calculer
Z 1 0
te−tdt.
2. En d´eduire la valeur de Z 1
0
t2e−tdt.
Exercice 275 (Int´egration par parties) 1. Calculer
Z π4
−π3
tcos(t)dt.
2. En d´eduire la valeur de Z π4
−π3
t2sin(t)dt.
Exercice 276 (Int´egration par parties) :Calculer les int´egrales suivantes.
(a) Z π
−π
(t2−1) cos(t)dt (b) Z e
1
(x2+ 3) ln(x)dx (c) Z π3
0
x cos2(x) dx (d)
Z e−1 0
ln(1 +t)dt (e)
Z 2 1
t ln2(t)dt (f)
Z 0 1
x3e2xdx
Exercice 277 (Int´egration par changement de variable)
Calculer l’int´egrale Z π2
0
sin2(t) cos3(t)dt`a l’aide du changement de variableu= sin(t).
F Exercice 278 (Int´egration par changement de variable) Calculer l’int´egrale
Z π3
π 4
1
1−cos2(x)dx `a l’aide du changement de variableu= tan(x).
Exercice 279 (Int´egration d’une fraction rationnelle et int´egration par changement de variable) 1. D´emontrer qu’il existe deux r´eels aetbtels que :
∀u∈R\ {−1,0} 1
u(u+ 1) = a u+ b
u+ 1 et en d´eduire une primitive de la fonction u7→ 1
u(u+ 1) sur l’intervalle ]0,+∞[.
2. Calculer l’int´egrale Z 1
0
1
1 +ex dx `a l’aide du changement de variableu=ex.
F Exercice 280 (Fonction paire, fonction impaire, fonction p´eriodique): Soita∈R∗. 1. Soitf une fonction paire et continue sur [−a, a]. Montrer que :
Z a
−a
f(t)dt= 2 Z a
0
f(t)dt.
2. Soitgune fonction impaire et continue sur [−a, a]. Calculer Z a
−a
g(t)dt.
3. Soithune fonctionT-p´eriodique et continue (T ∈R+∗). Montrer que : Z a+T
a
h(t)dt= Z T
0
h(t)dt.
Exercice 281 (Suites et int´egrales) :Pour toutn∈N∗, on d´efinitun par : un=
Z 1 0
xne−xdx.
1. D´emontrer que la suite (un)n∈N∗ est d´ecroissante et born´ee.
2. Que peut-on en d´eduire ?
3. D´emontrer que pour toutn∈N∗ : 1 e
Z 1 0
xndx≤un≤ Z 1
0
xndx et pr´eciser la r´eponse donn´ee `a la question 2.
F Exercice 282 (Suites et int´egrales) :Pour toutn∈N∗, on d´efinitIn par : In = 1
n!
Z 1 0
(1−x)nexdx.
1. CalculerI1.
2. D´emontrer que : 0≤In≤ e (n+ 1)!. 3. Que peut-on en d´eduire ?
4. (a) Soitk∈N∗. D´emontrer que :Ik+1=Ik− 1 (k+ 1)!. (b) En d´eduire que pour tout n∈N∗ :
In=e−
n
X
k=0
1 k!
!
puis que :
e= lim
n→+∞
n
X
k=0
1 k!.
F Exercice 283 : On consid`ere la fonction f d´efinie par : f: R∗→R; x7→
Z 2x x
1
ln(1 +t2)dt . 1. Montrer que la fonctionf est bien d´efinie.
2. `A l’aide d’un changement de variable, montrer quef est impaire.
3. Montrer quef est d´erivable en tout point de ]0,+∞[ et calculer sa d´eriv´ee. On pourra introduire une primitive Gde la fonctiong:t7→ 1
ln(1 +t2) sur l’intervalle ]0,+∞[, apr`es avoir justifi´e son existence.
4. ´Etudier les variations def sur ]0,+∞[.
5. ´Etudier le comportement asymptotique def en +∞et en 0+.
6. Sans ´etude suppl´ementaire, donner le sens de variations de f sur R∗, le comportement asymptotique de f en
−∞et en 0−.
Exercice 284 : Etudier le comportement asymptotique des suites suivantes.´ a) 1
n
n
X
k=1
k n−1
3!
n∈N∗
b)
n
X
k=1
√ 1
n2+ 2kn
!
n∈N∗
c) 1 n
n
X
k=1
sin kπ
n !
n∈N∗
d)
√1 +√
2 +. . .+√ n n√
n
!
n∈N∗
