Calcul int´egral

Calcul int´ egral

1 Int´ egrales et primitives

1.1 Fonction d´efinie par une int´egrale

D´efinition. Soit I un intervalle de R, f d´efinie sur I, suppos´ee c.p.m. sur tout ra, bs € I (on dit localement

c.p.m.) Soit aPI fix´e et

F : I Ñ R

x ÞÑ

»_x

a

fptqdt (avec les conventions d´ej`a expos´ees lorsquex aetxa.)

F est d´efinie surI et est appel´ee unefonction int´egrale de f sur I.

On dit aussi int´egrale fonction de la borne sup´erieure, de la borne d’en haut.

Exemple.

Propri´et´e. Deux fonctions int´egrales def surI diff`erent d’une constante.

Lemme.

Th´eor`eme.

Soit I un intervalle,f localement c.p.m. surI,F une fonction int´egrale de f surI. Sif est continue au point x0, alorsF est d´erivable au point x0 etF¹px0q fpx0q. Remarque.

1.2 Primitives

D´efinition. Soit I un intervalle de R et f d´efinie sur I. On appelleprimitive de f sur I toute application F d´efinie et d´erivable sur I telle que :

@xPI, F¹pxq fpxq

Propri´et´e. Si F est une primitive de f surI, alors toute application Gd´efinie par Gpxq Fpxq kest aussi une primitive de f sur I, et toutes les primitives sont de cette forme.

De plus, ´etant donn´ex₀ PI ety₀ P R, il existe alors une unique primitiveF₀ def surI telle queF₀px₀q y₀. Th´eor`eme.

Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives surI.

Remarque.

Th´eor`eme.

Soit f continue sur ra, bs. Alors f admet des primitives par le th´eor`eme pr´ec´edent. Soit F une

primitive de f surra, bs. On a »_b

a

f Fpbq Fpaq rFpxqs^ba

2 Calcul des primitives et des int´ egrales

2.1 Primitives usuelles

Notation. Soit f : R Ñ R. On note ³ f ou ³

fpxqdx une primitive de f sur un intervalle I sur lequel f est continue. Voir le formulaire des primitives usuelles. D´eterminer pour chacune l’intervalle de validit´e.

Remarque. Attention ! Lex n’est plus une variable muette. On applique ce qui pr´ec`ede avec

»_x

a

fptqdt Remarque. Formulaire `a connaˆıtre.

2.2 Changement de variable

Th´eor`eme (Changement de variable : cas des int´egrales).

Soit ϕd´efinie de classeC¹ surra, bs, etf continue surϕpra, bsq. Alors :

»ϕpbq

ϕpaq fpxqdx

»b a

fϕptqϕ¹ptqdt

On dit qu’on a effectu´e lechangement de variable xϕptq

Remarque. Peut-on ´ecrire tout ¸ca ?

Th´eor`eme (Changement de variable : cas des primitives).

»

fpxqdx

»

frϕptqsϕ¹ptqdt

x varie dans un intervalle I sur lequel f est continue, tvarie dans un intervalle J tel que ϕptq PI etϕ est de classe C¹ sur J.

Remarque. Pour un calcul de primitive, on n’oubliera pas de revenir en la variable de d´epart ! Remarque. Utilisation pratique : 1^er cas :

On doit calculer une expression de la forme

»_b

a

fϕϕ¹. On sait que c’est

»_ϕpbq

ϕpaq f. Moyen mn´emotechnique : On dit que l’on poseϕptq x.

t varie dea`a b devient x varie de ϕpaq `a ϕpbq

ϕptq ” x

ϕ¹ptqdt ” dx

Utile lorsque l’on veut calculer l’int´egrale d’une fonction qui apparaˆıt comme d´eriv´ee d’une fonction compos´ee.

Exemple. I

» ^3π

2

0

sin²tcostdt

Exemple. I

»₁

0

2t t² 1dt Exemple. I

»₁

0

3t² pt³ 1q² dt

Remarque. Utilisation pratique : 2^`eme cas : Pour calculer

»_β

α

fpxqdx. On introduit le changement de variable xϕptq. On chercheatel queαϕpaq etb tel queβϕpbq.ϕdoit ˆetre de classeC¹ sur ra, bs.

x varie de ϕpaq `a ϕpbq devient tvarie dea `ab

x ” ϕptq

dx ” ϕ¹ptqdt

Ce changement de variable peut compliquer les calculs, mais a pour but de faire apparaˆıtre des fonctions dont on connaˆıt une primitive.

Exemple. I

»₂

1

1 x?

1 x²dx en posant x ¹_t.

Exemple. I

»₁

0

a1x²dx.

Exemple. Fpxq

» 1 x² a² dx.

Exemple. Fpxq

» 1

?a²x² dx.

Exemple. Fpxq

» 1 sinxdx.

Corollaire. On a :

• Sif continue sur ra, aset impaire, alors

»_a

a

f 0

• Sif continue sur ra, aset paire, alors

»_a

a

f 2

»_a

0

f

• Sif est continue T-p´eriodique, alors@pa, bq P R²,

»_b

a

f

»_{b T}

a T

f

• Sif est continue T-p´eriodique, alors@pa, bq P R²,

»_{a T}

a

f

»_{b T}

b

f Exemple. Exploiter la p´eriodicit´e et les sym´etries pour ´evaluer I

»_2π

0

sin³x 1 cos²xdx.

2.3 Int´egration par parties

Th´eor`eme (I.P.P. cas des int´egrales).

Soit u etv de classeC¹ surra;bs. Alors :

»_b

a

uv¹upbqvpbq upaqvpaq

»_b

a

u¹v

Th´eor`eme (P.P.P. cas des primitives).

Soit u etv de classeC¹ surI. Alors :

»

u¹pxqvpxqdxupxqvpxq

»

upxqv¹pxqdx Remarque.

Exemple. Fpxq ³ lnxdx Exemple. Fpxq ³

Arctanxdx Exemple. Fptq ³

pt² 3qcostdt Exemple. I

» ^π

2

0

tsintdt

2.4 Fractions rationnelles

M´ethode. On commence par d´ecomposer la fraction rationnelle en ´el´ements simples dansRrXs. Cela ram`ene le probl`eme `a la recherche de primitives pour les fonctions de types suivants :

• El´ements simples de 1´ <sup>`ere</sup> esp`ece (n¥1) :

» 1

pxaqⁿdx

#ln|xa| sin1

1

pn1qpxaqⁿ¹ sin¥2

• El´ements simples de 2´ ^nde esp`ece (n¥1) :

» ax b

ppxpq² q²qⁿdx

o`u l’on a d´ej`a ´ecrit le d´enominateur sous forme d’une somme de carr´es.

M´ethode. Dans le 2<sup>`eme</sup> cas, on transforme le d´enominateur pour obtenir pt<sup>2</sup> 1q<sup>n</sup> en posant xpqt. On est donc ramen´e `a chercher une primitive de

» At B

pt² 1qⁿdt

• Cas o`u n1.

On connaˆıt une primitive `a l’aide de ln et Arctan :

» 2t

t² 1dtlnpt² 1q k

» 1

t² 1 Arctant k Il ne reste alors plus qu’`a exprimer le r´esultat en fonction de la variable x.

M´ethode.

• Cas o`u n¥2.

On est amen´e `a rechercher des primitives du type :

» 2t

pt² 1qⁿdt 1

pn1qpt² 1qⁿ¹ J_n

» 1

pt² 1qⁿdt?

M1 On trouve une relation de r´ecurrence entreJ_net J_n1, de mani`ere `a faire baisser l’exposantn.

M2 On effectue le changement de variable ttanu, puPs ^π₂,^π₂rq, et on obtient : Jn

»

pcosuq²ⁿ²du

que l’on calcule par lin´earisation, ou par primitivation par parties (Int´egrale de Wallis) Exemple. Fpxq

» x 1

xpx² x2qdx.

Exemple. I

»₁

¹₂

1

px² x 1q² dx.

2.5 Expressions rationnelles en sin et cos

2.5.1 Expressions polynomiales M´ethode. Pour calculer

»

sin^pxcos^qxdx, on proc`ede de la fa¸con suivante :

(a) Sip impair et q pair, changement de variable tcosx pour obtenir une expression polynomiale.

(b) Sip pair et q impair, c’est similaire. Le changement de variable `a effectuer est . . . (c) Sip etq sont impairs, on utilise l’un des deux points pr´ec´edent.

(d) Sipetq sont pairs, on lin´earise (`a l’aide des formules de trigonom´etrie, ou des exponentielles complexes) Exemple. Fpxq

»

cos⁴xsin³xdx

Exemple. I

» ^π

3

0

cos⁴xsin²xdx

2.5.2 Expressions rationnelles

M´ethode g´en´erale. Pour calculer

»

Fpcosx,sinxqdx F P RpXq, on posettan^x₂. Connaissant alors sinx

2t

1 t² et cosx ¹₁^t_t²2, on se ram`ene `a une fraction rationnelle pour laquelle on a d´ej`a vu une technique de recherche de primitive.

Exemple. I

»₂

0

1 2 cosxdx R`egle de Bioche. On recherche ³

φpxqdx.

Si φpxqdx est invariant par

xÑ x, posertcosx

xÑπx, posertsinx

xÑπ x, poserttanx

Exemple.

» cos³x sin⁵x dx

2.6 Expressions rationnelles en ch et sh

M´ethode. On peut toujours se ramener `a une fraction rationnelle en revenant `a l’´ecriture exponentielle et en posant ue^x.

Cas des polynˆomes. S’inspirer des techniques pour les expressions rationnelles en cos et sin.

Exemple. Fpxq ³

ch²xsh³xdx Exemple. I

»₂

0

1 chxdx Exemple. Fpxq

» 1

sh³x ch³x1dx

3 Int´ egrale des fonctions ` a valeurs dans C

Th´eor`eme (Extension du th´eor`eme fondamental).

Soit f : I Ñ Cune fonction continue. Alors : (a) Pour toutx₀PI, l’applicationF : xÞÑ

»_x

x0

fptqdt est une primitive def surI.

(b) Pour toute primitiveF₀ de f sur I, l’ensemble des primitives def surI esttF₀ λ, λP Cu. (c) Pour toute primitiveφ def surI, et tout pa, bq PI² on a :

»_b

a

fptqdtφpbq φpaq rφptqs^b_a

Corollaire (In´egalit´e des accroissements finis). Soit f : ra, bs Ñ C et ϕ : ra, bs Ñ R, toutes les deux de classe C¹. On suppose que :

@tP ra, bs, |f¹ptq| ¤ϕ¹ptq Alors :

|fpbq fpaq| ¤ϕpbq ϕpaq

Exemple.

(a) f : tÞÑe^it a pour primitive sur R F : tÞÑ ¹_ie^it

(b) Soit pa, bq P R² fix´es, avec pa, bq p0,0q. Alors f : t ÞÑ e^{pa ibqt} a pour primitive sur R F : t ÞÑ

pa1ibqe^{pa ibqt}

(c) Calculer I

» ^π

2

0

e^3xcos 5xdx.

4 M´ ethodes de calcul de valeurs approch´ ees

Principe. Pour calculer ³_b

af, on « approche» f par une fonction plus simpleg, et la valeur³_b

ag donnera une valeur approch´ee de ³_b

af.

• g en escalier, c’est la m´ethode des rectangles (sommes de Riemann).

• g continue, affine par morceaux, c’est la m´ethode des trap`ezes.

• g continue, polynomiale de degr´e 2 par morceaux, c’est la m´ethode de Simpson.

Remarque. Une majoration de l’erreur commise, pour ces trois m´ethodes, est :

• Pour la m´ethode des rectangles, en ¹_n

• Pour la m´ethode des trap`ezes, en _n¹2

• Pour la m´ethode de Simpson, en _n¹4

4.1 M´ethode des rectangles

Voir les sommes de Riemann.

-1 1 2 3 4 5 6

-1 1 2

3 Sn(f) = (b−a)

n

n−1

X

i=0

f(ai)

ξ_i =a_i, ∀i

4.2 M´ethode des trap`ezes

-1 1 2 3 4 5

-1 1 2 3

a b

Description.

Posonsσ paiq0¤i¤n o`u ai a i^b_n^a. On d´efinitg telle que g est continue, affine par morceaux, co¨ıncide avec f aux pointsa_i. Appelons S_n l’int´egrale deg surra, bs, qui va approximer celle def.

Sn

n¸1 i0

pai 1aiqfpaiq fpai 1q 2

ba

2n _n1

¸

i0

f

a iba n

n¸1 i0

f

a pi 1qba n

ba

n

_n1

¸

i1

f

a iba n

fpaq fpbq 2

Exemple. Valeur approch´ee de ³₁

0 1 1 t⁴ dt.

S_{10 10}¹pfp0,1q fp0,2q fp0,9q ^fp0q₂^fp1qq 0,865 Th´eor`eme.

Sif est de classe C² sur ra, bs, alors l’erreur commise satisfait : S_n

»_b

a

f ¤ M₂

12n²pbaq³ o`u M₂sup

ra,bs|f²pxq|

5 Utilisation de Maple.

Syntaxe. Pour le calcul d’une primitive, on utilise la syntaxe suivante :

> int(expr, var);

o`u expr est une expression d´ependant de la variable var.

Pour le calcul d’une int´egrale d´efinie, on utilise la syntaxe :

> int(expr, var=a..b);

On obtient la forme inerte (i.e.non ´evalu´ee) en rempla¸cant intparInt.

En utilisant le module student, il est possible d’effectuer un changement de variable ou une int´egration par

parties par les commandes :

> with(IntegrationTools);

> changevar (equation, Int´egrale);

> intparts (int´egrale, "u(x)");

Exemple.

> Int (tan (x),x);

# ³

tanxdx

> value(%);

# lnpcosxq

> int(tan(x),x);

# lnpcosxq

> with(IntegrationTools):

> F := Int ( (sin(t))^2 * cos(t),t):

# F :³

sinptq²cosptqdt

> Change (F, sin(t) = x);

# ³

x²dx

> Sn := Int (x^n * sin(x),x):

# Sn:³

x²sinxdx

> Parts(Sn,sin(x));

# ^xn_n^1sin₁ ^x³_xn 1cosx n 1 dx

6 Formulaire des primitives usuelles

Puissances

»

x^αdx x^{α 1}

α 1 k pα P Rrt1uq

» 1

xdxln|x| k

Exponentielles

»

e^mxdx 1

me^mx k pm0q ^»axdx_ln^ax_a ^{k paP Rrt1uq}

Trigonom´etriques

»

cosxdxsinx k

»

sinxdx cosx k

»

tanxdx ln|cosx| k

» 1

cos²xdxtanx k

» 1

sin²xdx cotanx k

»

cotanxdxln|sinx| k

» 1

cosxdx^lntanx2 π

4 k

» 1

sinxdx^lntanx2 k

Hyperboliques

»

chxdxshx k

»

shxdxchx k

»

thxdxln chx k

» 1

ch²xdxthx k

» 1

sh²xdx cothx k

»

cothxdxln|shx| k

» 1

chx dx2 Arctan e^x k

» 1

shx dxln thx

2 k

Fractions

» 1

x² 1dxArctanx k ^{» 1}

x² a²dx1 aArctanx

a k (*)

» 1 x²1dx

$&

% 1 2ln

x1

x 1

ksurs 8,1rous1, 8r Argthx ksurs 1,1r

» 1

x²a²dx 1 2aln

xa

x a

k (*)

Radicaux

» 1

?1x² dxArcsinx k ^» a ¹

a²x²

dxArcsinx

|a| k (*)

» 1

?1 x² dxArgshx k

» 1

?x²1dxArgchx k

Issus de l’I.P.P.

»

lnxdx^{xlnxx k}

»

Arctanxdx^xArctanx12lnp1 x²q k

R´efl´echir aux intervalles de validit´e ! (*)pa, bq PR²

Fonctionsd´efiniesparuneint´egrale 38.1Soitpa,bqPR2 telquee2  a b.D´emontrerque: φ:ra,bsÑR xÞÑ2x lnx»x a

1 lntdt estcroissante.End´eduireque»b a

1 lntdt 2b lnb

int_8.tex 38.2

´ Etudierlesfonctionssuivantes.Donnerl’alluredeleurcourbe repr´esentative: »x (a)F:xÞÑ 0

1 ? 1t4dt (b)F:xÞÑ»2x x

1 ? t3tdtsurR int_9.tex 38.3SoitFpxq³vpxq upxqfptqdt.Quelleshypoth`esessuffisantesfor- mulersurf,uetvpourqueFsoitd´erivable?Donneralorsl’expression delad´eriv´eedeF.int_10.tex 38.4Soitlafonctiond´efiniesurR parfpxq»2x x

et tdt. (a)Montrerque: @xPR ,e2x ln2¤fpxq¤ex ln2

´ Etablirunr´esultatanaloguepourxPR. (b)End´eduirequel’onpeutprolongerfparcontinuit´een0,et ´etudierlecomportementdef`al’infini. (c)Montrerquefestd´erivablesurRetcalculersad´eriv´ee.

´ Etudier lesvariationsdef. ´ E(d)tudierlad´erivabilit´edefen0etd´eterminerlapositiondela courberepr´esentativedefparrapport`asatangenteencepoint. (e)Tracerunerepr´esentationgraphiquedef. int_11.tex

38.5D´eterminerlesfonctionsfcontinuessurRtellesquepour toutr´eelxonaitl’´egalit´e: fpxq»x 0pxtqfptqdt1 (Onmontreratoutd’abordquefestdeclasseC2 surR.) int_12.tex Calculsd’int´egrales 38.6»2 1

1 tpt1qdt;end´eduire»2 1

lnp1tq t2dtint_13.tex 38.7»1 a a

lnx 1x2dxavec0 a 1. (Oncalculerad’abord»1 a 1

lnx 1x2dxparchangementdevariable.) int_14.tex 38.8paq»3π 2 0sin2 xcosxdxpbq»π 2 0cos6 xsin3 xdx pcq»π 4 0sin2 xcos4 xdxpdq»π 2 π 2cos3 xsin3 xdxint_15.tex 38.9paq»π 4 0

xsinx cos3xdxpbq»π 2 0cosx sin2 x4sinx5dxint_16.tex 38.10paq»1 1pArcsinxq2 dxpbq»1 1eArccosx dxint_17.tex 38.11paq»1 0

1 1chxdxpbq»ln2 0

2 5shx4chxdxint_18.tex 38.12paq»1 0a 1x2dxpbq»e2 e

1 tp1lntq3dtint_19.tex 38.13paq»2 ? 3? x23? x23 ? x49dxpbq»b aa pxaqpbxqdx int_84.tex Calculsdeprimitives(Pr´eciserlesintervallesdevalidit´e) 38.14paq» 1 1x2dxpbq» 1 p1x2q2dxint_23.tex

38.15paq» x4 4x px21q3dxpbq» 1 2x1

c 1x 1xdxint_24.tex 38.16» 1 p4xx2q3 2dxint_25.tex 38.17» Arctan3? x dxint_26.tex 38.18paq» tanx 1sin3xdxpbq» cos2x sinxsin3xdxint_27.tex 38.19R´esoudre,enpr´ecisantl’intervalledevalidit´edessolutions: px3 1qy1 y0 int_94.tex Suitesd’int´egrales 38.20PourtoutnPNetxPr0,1s,onpose: fnpxq2n x 1n2nx2 (a)PourxPr0,1sfix´e,calculerlim nÑ8fnpxq.Onnotefpxqcetteli- mite.Celapermetded´efinirunenouvellefonctionfsurr0,1s. Pr´eciserlavaleurdeI³1 0f. (b)PournPNfix´e,calculerIn³1 0fn.A-t-onlim nÑ8InI? Conclure. int_20.tex 38.21SoitIn,m»1 0xm p1xqn dx,pourpn,mqPN2 . (a)

´ EtablirunerelationentreIetI.End´eduirelecalculn,mn1,m1 deI.n,m π» 2 2m12n1 (b)End´eduireJpsintqpcostqdtn,m 0»π 2 2n1 etdeKpsin2tqdtn 0

int_21.tex 38.22(Int´egralesdeWallis) SoitIn»π 2 0cosn xdxetJn»π 2 0sinn xdx,pournPN (a)D´emontrerqueInJn.CalculerI0etI1. (b)D´emontrerquenInpn1qIn2,@n¥2.End´eduireIn. (c)D´emontrerquelasuitepInqnPNestd´ecroissante,convergentevers unr´eel`.CalculerI2pI2p1pourpPN.End´eduire`. (d)D´emontrerquelasuite In1 InnPNconvergevers1.End´eduire quepunqnPN,o`uun1 2n1 2462n 135p2n1q

2 convergeversπ 2 (e)D´eduirede(d)l’´etudedelaconvergencedelasuitepvnqnPN d´efinieparvn

n¹ k1

11 4k2 (f)Onposewn? n135p2n1q 2462n.´ Etudierlaconvergencedela suitepwnqnPN int_22.tex 38.23Onconsid`erelasuited´efiniepar: In»e 1plnxqn dx (a)MontrerquelasuitepInqnestconvergente. (b)

´ Etablirunerelationder´ecurrenceliantIetI.nn1 (c)Trouverun´equivalentdeIpournÑ8.n int_85.tex Int´egralesdefonctions`avaleurscomplexes. π»»14 Arccosx 38.24paqedxpbq 10

xeix cos3xdxint_28.tex 38.25Calculer:paq» dx cosxisinxpbq»b a

dx ix1

int_29.tex

Calculsapproch´esd’uneint´egrale 38.26Donnerunevaleurapproch´eedeln2parexc`es`a2103 pr`esenutilisantlam´ethodedestrap`ezes. Mˆemequestionavecπ 4int_30.tex

38.27SoitI»π 4 0

a 1cos2xdx.D´eterminerparlam´ethode destrap`ezesunevaleurapproch´eedecetteint´egraleavecuneerreur ε 103 .int_31.tex 38.28Donnerunevaleurapproch´ee`a104 pr`esparlam´ethode destrap`ezesdeI³2 1? tdt.int_93.tex