Feuille de TD 1 : Rappels de calcul int´ egral

Ecole Sup Galil´´ ee 2020-2021 Fili`ere MACS2

Th´eorie des distributions

Feuille de TD 1 : Rappels de calcul int´ egral

Exercice 1 Existe-t-il une fonctiongint´egrable sur R telle que, pour tout n ∈ N et tout x ∈ R, ne^−n|x|≤g(x) ?

Exercice 2 1. Montrer que, pour toutu∈[0,1[, u+ log(1−u)≤0.

2. Soit ϕ∈C₀^∞(R). Calculer

λ→+∞lim Z

R

exp

λ³log

1− y² λ³

ϕ

y λ

dy.

Exercice 3 Soitα∈R. Montrer que, dansR^d, 1. R

B(0,1) 1

kxk^αdx est convergente si et seulement si α < d.

2. R

R^d\B(0,1) 1

kxk^αdx est convergente si et seule- ment si α > d.

Exercice 4 Soita >0. On pose pour toutx∈R, F(x) =

Z +∞

−∞

e^−itxe^−at2dt.

1. Montrer que F est bien d´efinie surR.

2. Montrer que F est de classe C¹ sur R et que pour tout x∈R,

F⁰(x) =−x 2aF(x).

3. En d´eduire que pour tout r´eel x, F(x) = F(0)e^−x

2

4a puis que

∀x∈R, F(x) = rπ

ae^−x

2 4a. On rappelle queR+∞

−∞ e^−u2du=√ π.

Exercice 5 Soit f ∈ L¹(R). On consid`ere l’application

T f : R → R x 7→ R1

0 f(x−y)dy .

1. Montrer que, sif est continue `a support com- pact, T f est continue.

2. Soit (f_n)n∈N une suite de fonctions continues

`

a support compact qui converge vers f dans L¹(R). Montrer que (T fn)n∈N converge vers T f uniform´ement sur R. En d´eduire que T f est continue surR.

3. En d´eduire que le produit de convolution sur L¹(R) n’admet pas d’´el´ement unit´e.

Exercice 6 On note Ω un ouvert de R^d.

1. Soit (ϕn)n∈Nune suite de fonctions deC₀^∞(Ω), et ϕ ∈ C₀^∞(Ω). Rappeler la d´efinition de

“(ϕ_n)_n converge vers ϕdansC₀^∞(Ω)”.

2. Soit χ ∈C₀^∞(R^d), non nulle, et a∈R^d\ {0}.

Soit

χn(x) =e^−n|x|2χ(x−na).

Montrer que (χn)n converge vers la fonction constante nulle uniform´ement dansR^d. Est-ce que (χ_n)_n converge dansC₀^∞(R^d)?

3. Soit B(0,1) la boule unit´e ouverte deR^d etρ une fonction pic surB(0,1), telle que constru- ite dans le cours:

(a) ρ∈C₀^∞(R^d),

(b) ρ(x)>0 pour |x|<1, (c) suppρ=B(0,1), (d) R

R^dρ(x)dx= 1.

Soitρ_n=n^dρ(nx). Soitχ∈C₀^∞(R^d). En util- isant les r´esultats du cours, montrer queρn∗χ converge vers χdans C₀^∞(R^d).

1

Exercice 7 Soit Ω un ouvert deR^d.

1. Soit f : Ω → C. Rappeler la d´efinition du support et du support essentiel def.

2. SoitA⊂Ω. Quel est le support de la fonction indicatrice1AdeA? SupposonsAmesurable, de mesure nulle. Quel est le support essentiel de 1A? de 1Ω\A?

3. Soit ϕ une fonction continue sur Ω. Montrer que le support et le support essentiel deAsont identiques.

4. Soient f : Ω → C et g : Ω → C dont les supports sont disjoints. Montrer que f g = 0.

Cela reste-t-il vrai si on suppose uniquement que leurs supports essentiels sont disjoints?

Exercice 8 Le but de cet exercice est de montrer la proposition suivante (Proposition 3.3.13 du cours):

Proposition 1 Soit Ω un ouvert de R^d. Soit K un compact de Ω et O un ouvert tel que K ⊂ O et O ⊂ Ω. Il existe alors χ ∈ C₀^∞(Ω) telle que χ ≡1 sur K, χ≡0 sur O^c et0≤χ≤1.

B(x₀, R) =n

x∈R^d t.q. |x−x₀|< Ro B(x0, R) =

n

x∈R^d t.q. |x−x0| ≤R o

.

1. Soit y ∈ K. Justifier qu’il existe ε_y > 0 tel queB(y,2εy)⊂Ω.

2. En utilisant l’existence d’une fonction pic, montr´ee dans le cours, montrer qu’il existe une fonctionχ_y ∈ D(Ω) telle que

• ∀x∈Ω, χ_y(x)≥0.

• suppχy =B(y, εy)bΩ.

• ∀x∈B(y, εy/2), χy(x)≥1.

3. Justifier qu’il existe un sous-ensemble fini K⁰ de K tel que

K ⊂ [

y∈K⁰

B(y, ε_y/2).

4. Soit

g(x) = X

y∈K⁰

χ_y(x), f(x) =ρ(g(x)),

o`u ρ est une fonction marche, construite dans le cours, C^∞, croissante, et valant 0 pour sur ]− ∞,0] et 1 sur [1,∞[. Montrer quef v´erifie les conclusions de la proposition.

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