Exercice N°1 ( 3 points ) Répondre par Vrai

(1)

Exercice N°1 ( 3 points )

Répondre par

Vrai

ou

Faux

en justifiant la réponse.

 L'image dans le plan complexe du nombre complexe ^z^{ }



¹ ⁱ



²⁰¹² appartient à l'axe réel.

 Si f et g sont deux fonctions définies sur telles que

0 0

lim ( ) 1 lim ( ) 2

x f x et x g x

    alors

lim(0 )( ) 1

x f g x

  .

 Soit ( Un ) la suite définie sur par 2 ₁ ( 5)

n

n n

U  _

 , alors lim _n 0

n U

  .

Exercice N°2

( 6 points )

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé ( , , )O i j

 Résoudre dans l'équation : z²2 2z 6 0

On désigne par A et B les points d'affixes respectives z_A  2 i 2 et z_B  2 i 2

 Placer dans le plan complexe les points A et B.

 Montrer que les points A et B appartiennent au cercle

C

de centre O et de rayon 6.

 Soient I, J et K les points d'affixes respectives z , _I z et _J z telles que: _K z_I 2i z est le nombre complexe de module 2 et d'argument _J ³

4

 ; z_K  z_J

a) Donner la forme algébrique de z . _J

b) Placer les points I, J et K dans le plan complexe.

 Quelle est la nature du triangle IJK ? Justifier.

 Donner le rayon du cercle

C’

circonscrit au triangle IJK.

 Soit E l'ensemble des points M du plan dont l'affixe z vérifie la relation: 2 z  6. a) Tracer les cercles

C

et

C’

.

b) Représenter l'ensemble E sur le graphique précédent à l'aide de hachures.Justifier.

Exercice N°3 ( 6 points )

Soit U la suite définie par :

0

2 1

2

n n

n

U

U U n

 U

 

 

   



 a) Montrer que pour tout entier naturel n : U_n 1. b) Montrer que la suite U est décroissante.

En déduire que U est convergente et déterminer sa limite.

Lyc é e Be c hri 2 0 1 1 /20 1 2 4

ème

Sc_ Exp 2 P r o f: Lah mad i Ad el

Date Le 7/12/2011 Durée 2H

(2)

 a) Montrer que pour tout entier naturel n : ₁ 1 ¹( 1 )

n 2 n

U _   U  .

b) En déduire que pour tout entier naturel n : 1

1 2

n

Un  

     c) Calculer alors lim _n

n U

 .

 Soit n ^* ; On pose

1 n

n k

k

S U





a) Montrer que pour tout n ^*: 1

1 2

n

nSn    n    b) En déduire lim _n

n S

 et lim ⁿ

n

S

 n

Exercice N°4 ( 5 points )

Soit f la fonction définie sur par

 

 

2

3 2

4 , 0

( ) 1

2 cos 0,

x x si x

f x

x x si x

x

    

         

 Déterminer lim ( )

x f x

 et lim ^{( )}

x

f x

 x

 a) Montrer que f est continue sur



^^{, 0}



b) Montrer que x³ 2 x² f x( )x³ 2 x² pour tout x0.

c) Montrer alors que f est continue en 0.

 a) Montrer que f est dérivable sur



^^{, 0}



^.

b) Déterminer f '(x) pour ^{x }



^{, 0}



puis déterminer son signe.

c) Montrer que x² x ^{f x}^{( )} ² x² x x

     pour tout x0.

d) f est-elle dérivable en 0 ? Interpréter graphiquement le résultat trouvé.

Exercice N°1 ( 3 points ) Répondre par Vrai