Correction du Devoir de contrôle n° 3

Exercice 1 ( 3points) :

1) f la fonction définie par f(x)=lnx. La valeur moyenne de f sur [1,e]est :

[ ]

1

1 1 1

ln ln

1 1 1

e

f xdx x x x e

e e e

= = − =

−

∫

2)

( ) ( ) ( ) 0, 2.0,1 0,8.0.3 0, 26 ( ) 1 ( ) 0, 74

p B p A B p A B

p B p B

= ∩ + ∩ = + =

= − =

3) ¹⁷ ; ¹⁰¹ ; ¹⁰¹

10 100 10

E= V = σ =

Exercice 2 ( 4points):

1)

3 1 1

p+ p= donc p=4. 2)

a) la loi de probabilité de X est donnée par ( ) ^{3 1}

4 4

k n k

k

p X k Cn

    −

= =    

    . Ou k est le nombre de faces obtenue.

b) la moyenne ³ E= 4n.

c) ( 1) 1 ( 0) 1 ¹

4

n

pn = p X ≥ = −p X = = −    

d)

1 1

0, 99 1 0, 99 0, 01

4 4

ln 0, 01 ln(0, 01) ln 4

ln 4 4

n n

pn eq eq

eq n eq n

donc n

   

≥ −  ≥ ≥ 

   

≥ − − ≤

=

Exercice 3 ( 6points):

1) a)

b)

x 0 1 +∞ f(x)-x + 0 -

2)

1 1 1

ln 1 1

( ) ln ²( )

2 2

e e e

A x f x dx x x ua

x

 

=

∫

∫

a)

0

1

1

2 1 0

sup 1

1

1 1

(1) ( ) 1

n n n

n n

n

on a U vraie pour n posons que U

montrons que U

on a U et f croissante pour x

donc f f U U

conclusion U pour n

+

+

= ≥ =

≤

≤

≤ ≥

≤ =

≤ ∈ℕ

.

b)

1 ( ) 0 ' 1) )

.

n n n n

U U f U U d aprés b

donc U est décroissante

+ − = − ≤

c) La suite U est décroissante, minorée par 1 donc converge vers l.

On a

• Un+1=f(Un) .

• U converge vers l.

• F continue en l.

Donc f(l)=l or f(x)=x admet 1 comme unique solution donc l=1

Exercice 4 (7points):

1) a)

0 0

1 1

lim ( ) lim ² ² ln 1 1 (0)

2 2

x ₊ f x x ₊ x x x f

→ = → − + = =

donc f est continue à droite en 0.

b) calculer lim ( ) lim ^{( )} lim ¹ (1 ln ) 1 2

x x x

f x et f x x x

→+∞ = +∞ →+∞ x = →+∞ − + = −∞ ;donc Cf admet au voisinage de +∞ une branche parabolique de direction (oy).

2) a)

0 0 0

( ) (0) 1 1 1

lim lim (1 ln ) lim ln 0 '(0)

2 2 2

x x x

f x f

x x x x x f

+ x + +

→ → →

− = − = − = = donc f est

dérivable à droite en 0.

b)

] [

[ [

0, ( )

0 0,

1 1 1 1 1

'( ) (1 ln ) ². ln ln ( ln )

2 2 2 2

f est dérivable sue comme produit de fonctions dérivables et à droite en donc f est dérivable sur

et f x x x x x x x x x x x x x

x +∞

+∞

= − + − = − − = − = −

c)

3) Pour x ∈[0, e ], f(x)≥1 donc f(x)=0 n’a pas de solution.

Pour x ≥1 ; f continue strictement décroissante et 0 ∈]-∞,f( e ) donc f(x)=0 admet une unique solution ∝.

donc l’équation f(x)=0 admet une unique solution α dans l’intervalle [0,+∞[.

4) T :y=f’(1)(x-1)+f(1)= ¹ 1 2x+ . 5)

a) Par une lecture graphique on a : g(x)≤ 0 donc Cf est au dessous de T.

b) Vérifier que ( ) ( ) (¹ 1) ¹ 1

2 2

g α = f α − α+ = − α− ;

La droite d’équation y= ¹ 1 2x

− − coupe Cg au oint d’abscisse ∝ st C(∝,0) 6)

7) a)

1

3

3 3 3

1 1 1

3 3

² ln

ln ' 1

' ² 1

3

1 1 1 1 1

ln ² ln

3 3 3 3 3

1 1 1

3 ln 9 9

I x x dx

u x u

x

v x v x

I x x x dx x

α

α α α

α α

α α α

=

= =

= =

   

=  − = −  

= − +

∫

∫

.

b)

1 1 1 1

3 3 3

3 3

1 1

( ) ² ² ln

2 2

1 1 1 1 1 1

( ln ) 1

6 6 2 3 9 9

1 2 11

6 ln 9 9

A f x dx x dx x xdx dx

α α α α

α α α α α

α α α α

= = − +

= − − − + + −

= − + + −

∫ ∫ ∫ ∫

.