Points, droites et plans de l'espace
1. Axiomes
Définitions
Un singleton est un ensemble à un seul élément.
Un sous-ensemble d’un ensemble E est propre lorsqu’il n’est ni vide, ni égal à E.
Deux ensembles sont disjoints lorsqu'ils ont une intersection vide.
Vocabulaire
L’espace est un ensemble dont les éléments sont appelés points.
Les plans et les droites sont des sous-ensembles propres de l’espace ; ce sont donc des ensembles de points.
Une droite passe par un point lorsque le point appartient à la droite.
Un plan passe par un point lorsque le point appartient au plan.
Axiomes
L'emploi des mots « espace », « plan », « droite » et « point » est régi par les axiomes suivants :
A1 : Par deux points distincts, il passe une droite et une seule.
A2 : Une droite et un point extérieur à cette droite définissent un plan.
A3 : Si deux plans distincts ont une intersection non vide, cette intersection est une droite.
Remarque
A2 est équivalent à A’2 :
Par trois points n’appartenant pas à la même droite, il passe un plan et un seul.
2. Position relative de deux plans
Définition [Position relative de deux plans]
Deux plans sont sécants lorsque leur intersection est une droite.
Deux plans sont parallèles lorsqu'ils ne sont pas sécants.
Donc d'après A3, si deux plans sont parallèles, ou bien leur intersection est vide (ils sont strictement parallèles ou disjoints), ou bien ils ne sont pas distincts (ils sont confondus).
plans sécants plans parallèles
Axiome d'Euclide pour la géométrie dans l'Espace
A4 : Par un point donné, il passe un et un seul plan parallèle à un plan donné.
Note
Le plan (ABC) est au triangle ABC ce que la droite (AB) est au segment [AB].
Théorème
Si deux plans sont parallèles, tout plan parallèle à l’un est parallèle à l’autre.
Démonstration
Soit P1//P2 et P3//P1. Démontrons par l’absurde qu’alors P3//P2.
Supposons que P3 soit sécant à P2, et soit M un point de l’intersection.
Alors P3 et P2 seraient deux plans passant par M et parallèles à P1, donc d’après A4 ils seraient confondus. Ce qui contredit qu’ils soient sécants.
Finalement, P3//P2. Théorème
Si deux plans sont parallèles, tout plan sécant à l’un est sécant à l’autre.
Démonstration
Soit P1//P2 et P3 sécant à P1. Démontrons par l’absurde qu’alors P3 est sécant à P2.
Supposons que P3 soit parallèle à P2. Puisque P1 est parallèle à P2, selon le théorème précédent, P3 serait parallèle à P1. Contradiction.
Finalement, P3 est sécant à P2.
3. Position relative d'une droite et d'un plan
Théorème [Position relative d'une droite et d'un plan]
Etant donnée une droite d et un plan P, trois cas et trois seulement peuvent se présenter : 1) Leur intersection est un singleton : la droite et le plan sont sécants.
2) Dans les deux autres cas, la droite et le plan sont parallèles. Notation : d//P :
2.a) Leur intersection est la droite. Tous les points de la droite appartiennent au plan. La droite est incluse dans le plan. Notation : d P.
2.b) Leur intersection est vide. La droite et le plan sont disjoints. Notation : d P = .
droite et plan sécants
droite et plan parallèles Remarques
Tant qu’il s’agit de plans, « parallèles » signifie « non sécants » et réciproquement.
L'intersection de deux plans n'est jamais réduite à un point.
Théorème
Si deux points distincts appartiennent à un plan, la droite passant par ces deux points est incluse dans ce plan.
Démonstration
Soit A et B deux points distincts d'un plan P.
L'intersection de (AB) et de P n'est pas un singleton, donc (AB) n'est pas sécante à P.
Donc (AB) est parallèle à P.
L'intersection de (AB) et de P n'est pas vide, donc (AB) est incluse dans P.
4. Position relative de deux droites
Théorème [Position relative de deux droites]
Etant données deux droites d et d', deux cas peuvent se présenter:
1) Ou bien il existe un plan qui les contient toutes les deux : elles sont coplanaires.
Alors, dans ce plan, elles peuvent être sécantes ou parallèles au sens de la géométrie plane.
2) Ou bien il n'existe pas de plan qui les contient toutes les deux : elles ne sont pas coplanaires.
Attention
Dans l'espace, deux droites peuvent n'être ni sécantes, ni parallèles.
Si deux droites ne sont pas coplanaires, alors leur intersection est vide, mais la réciproque est fausse (elles pourraient être strictement parallèles dans un même plan)
Dans le cas de deux droites de l'espace, « parallèles » ne signifie plus « non sécantes ».
Soit le cube ABCDEFGH.
Les droites (AF) et (EB) sont coplanaires : elles sont toutes les deux incluses dans le plan (ABE). Elles sont sécantes.
Les droites (AE) et (GH) ne sont pas coplanaires.
Elles ne sont donc ni sécantes, ni parallèles. Leur intersection est vide.
5. Représentation en perspective cavalière
La perspective cavalière est une représentation des objets de la géométrie dans l'espace (en fait une projection sur un plan parallèlement à une droite) dont les principales règles sont les suivantes :
Règles mathématiques :
- Des points alignés sont représentés par des points alignés.
- Dans une direction donnée, les proportions sont respectées, donc :
Un segment (de l'espace) est représenté par un segment (sur la feuille).
Le milieu du segment est représenté par le milieu du segment dessiné.
Deux droites parallèles sont représentées par deux droites parallèles.
Conventions de dessin :
- Les segments cachés sont représentés en pointillés.
- Un plan est représenté par une portion de ce plan, en général un rectangle, lui-même représenté par un parallélogramme.
- Représentation d'un cube : la face avant ABFE est représentée par un carré. Cette face est dite représentée « en vraie grandeur ». En revanche, la face EFGH est représentée par un parallélogramme.
6. Quelques théorèmes
T1 : Si deux plans sont parallèles, tout plan parallèle à l'un est parallèle à l'autre.
T2 : Si deux plans sont parallèles, tout plan sécant à l'un est sécant à l'autre, et les intersections sont des droites parallèles.
T3 : Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à l'une des droites de ce plan.
T4 : Si deux plans sécants contiennent respectivement deux droites parallèles, alors leur intersection est parallèle à ces deux droites.
T5 : Un plan P est parallèle à un plan Q si et seulement si il est parallèle à deux droites sécantes de Q.
T6 : Si deux plans sont parallèles, toute droite sécante à l'un est sécante à l'autre.
T7 : Deux plans sont parallèles si et seulement si il existe deux droites sécantes de l'un qui sont respectivement parallèles à deux droites sécantes de l'autre.
T8 : Par un point donné, il passe une et une seule droite parallèle à une droite donnée.
T9 : Si deux droites sont parallèles, toute parallèle à l'une est parallèle à l'autre.
T10 : Tout théorème de géométrie plane s'applique dans n'importe quel plan de l'espace.
