M. Manoury
Géométrie dans l’espace
I Positions relatives dans l’espace...
I.1 ...de deux droites
Soient deux droitesd1etd2. Les configurations possibles sont :
• Soit non coplanaires (elles ne sont pas dans le même plan)
• Soit coplanaires (elles sont dans le même plan). Dans ce cas, elles sont :
— Soit parallèles (ou confondues)
— Soit sécantes (un seul et unique point commun)
I.2 ...d’une droite et d’un plan
Soit un planP et une droited. Les configurations possibles sont :
• Soit ils sont sécants (un seul et unique point commun)
• Soit ils sont parallèles (disjoint ou bien avec d incluse dansP)
I.3 ...de deux plans
Soient deux plansP etP0. Ils sont :
• Soit parallèles (c’est à dire qu’il existe deux droites sécantes dePet deux droites sécantes deP0parallèles deux à deux)
M. Manoury
• Soit sécants (dans ce cas l’intersection est une droite)
II Orthogonalité...
II.1 ...entre deux droites
Définition II.1. Deux droites de l’espaces sont orthogonales lorsque leurs parallèles passant par un point quel- conque sont perpendiculaires
II.2 ...entre une droite et un plan
Définition II.2. Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
M. Manoury
III Vecteurs dans l’espace
III.1 Caractérisation d’un plan
Définition III.1. Dans l’espace, un vecteur est défini par une direction, un sens et une norme (longueur). Deux vecteurs sont égaux s’ils ont même direction, même sens et même norme.
Définition III.2. Soit un vecteuru~ de l’espace. On appelle translation de vecteur~ula transformation de l’espace qui à tout point C de l’espace, associe un pointC0 tel que :u~=−−→
CC0.
Remarque III.1. Les règles de construction des vecteurs dans l’espace, ainsi que les règles de calculs sont les mêmes que dans le plan.
Propriété III.1. Caractérisation d’une droite
SoitAun point de l’espace et ~uun vecteur non nul.
On noteBl’image deApar la translation de vecteuru.~
La droite(AB)est l’ensemble des pointsM de l’espace tels qu’il existex ∈Rtel que−−→
AM =x ~u.
~
uest appelé vecteur directeur de la droite.
Définition III.3. Deux vecteurs de l’espace sont dit colinéaires s’ils admettent la même direction.
Propriété III.2. Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
Propriété III.3. Deux vecteursu~et~vsont colinéaires si et seulement si il existek ∈Rtel queu~=k ~v ouv~=k ~u.
Propriété III.4. Caractérisation d’un plan
SoientAun point de l’espace et deux vecteurs non colinéairesu~ et~v.
NotonsBetC les images respectives deApar les translations de vecteurs ~uet~v.
Le plan(ABC)est l’ensemble des pointsM tels que−−→
AM =x ~u+y ~v, où x ety sont deux réels.
~
uet~v sont appelés vecteurs directeurs du plan(ABC).
Vocabulaire III.1. x ~u+y ~v est ce que l’on appelle une combinaison linéaire des vecteurs~uet~v.
Propriété III.5. Deux plans admettant le même couple de vecteurs directeurs sont parallèles.
Propriété III.6. Une droite et un plan sont parallèles si et seulement si un vecteur directeur de la droite est un vecteur directeur du plan.
M. Manoury
III.2 Théorème du toit
Théorème III.1. Théorème du toit
Si deux plans sécants contiennent chacun une droite telles qu’elles sont parallèles entre elles, alors la droite d’intersection de ces deux plans est parallèle à ces deux droites.
Démonstration. (Pour la beauté de la démonstration)
Soient deux plans sécantsP etP0 suivants une droite∆.
Soientd etd0 deux droites parallèles appartenant respectivement àP etP0. Les deux droites sont nécessairement distinctes sinon les plans seraient confondus.
On peut donc définir un planR à l’aide des droitesd etd0. Donc,P∩R=d etP0∩R=d0.
Supposons qued et∆soient sécantes en un pointA. (Hypothèse dont on va prouver l’absurdité) Dans ce cas,Aappartient àP0etR.
Donc,Aappartient à d0.
Donc,d etd0 sont sécantes en ce pointAce qui est une absurdité.
Donc,d etd0 sont bien toutes les deux parallèles à∆.
IV Repérage dans l’espace
IV.1 Vecteurs coplanaires
Définition IV.1. Soient trois vecteursu,~ ~v etw~ de l’espace.
Ces trois vecteurs sont dit coplanaires si et seulement l’un est combinaison linéaire des deux autres.
Autrement dit, si et seulement si il existe¸et˛ tels queu~=¸~v+˛~v. Remarque IV.1. Le vecteur nul est coplanaire à tout couple de vecteurs.
IV.2 Repérage
Propriété IV.1. Décomposition de vecteurs
Soientu,~ ~v etw~ trois vecteurs non coplanaires de l’espace, alors pour tout vecteur~t il existe un unique triplet (x;y;z)tel que~t =x ~u+y ~v+z ~w (~t est une combinaison linéaire des vecteursu,~ ~v,w~).
On dira que 0
@ x y z
1
Asont les coordonnées du vecteur~t dans la base(~u;v~;w~).
Théorème IV.1. SoientOun point de l’espace et~i,~j,~k trois vecteurs non coplanaires.
Alors pour tout pointM de l’espace, il existe un unique triplet(x;y;z)de réels, appelé coordonnées deM, tel que−−→
OM =x~i+y~j+z~k.
M. Manoury
“
O;~i;~j;~k”
est appelé repère de l’espace.
Pour tout vecteur~t il existe un unique triplet(x;y;z)tel que~t =x ~u+y ~v+z ~w. Propriété IV.2. L’espace est muni d’un repère“
O;~i;~j;~k” . Soient deux pointsA(xA;yA;zA)etB(xB;yB;zB) 1. Les coordonnées du vecteur−→
ABsont 0
@ xB−xA yB−yA zB−zA
1 A; 2. Les coordonnées du milieu de[AB]sont :`xA+xB
2 ;yA+y2 B;zA+z2B´
Soit deux vecteursu~ 0
@ x y z
1 Aet~v
0
@ x0 y0 z0
1
Aet deux réels–et—. Les coordonnées de–~u+—~v sont 0
@
–x+—x0 –y+—y0 –z+—z0
1 A.
IV.3 Représentation paramétrique d’une droite
Propriété IV.3. L’espace est muni d’un repère“
O;~i;~j;~k” .
Soitd une droite passant par un pointA(xA;yA;zA)et dirigée par le vecteur ~u 0
@ a b c
1
Aet soit M un point de l’espace de coordonnées(x;y;z).
M∈d ⇔ ∃t ∈R= 8
><
>:
x=xA+at y=yA+bt z =zA+ct
