DROITES ET PLANS DE L'ESPACE
II) POSITIONS RELATIVES
1) Positions relatives de deux droites
sécantes ( d∩d ' est un point)
coplanaires strictement parallèles ( d∩d ' = ∅)
parallèles
confondues ( d∩d ' = d) Deux droites d et d' peuvent être
non coplanaires (d∩d ' = ∅)
2) Positions relatives de deux plans
sécants ( P∩P ' est une droite)
Deux plans P et P' peuvent être strictement parallèles ( P∩P ' = ∅)
parallèles
confondus ( P∩P ' = P )
3) Positions relatives d'un plan P et d'une droite D sécants ( P∩d est un point)
P et d peuvent être strictement parallèles ( P∩d = ∅)
parallèles
d ⊂ P ( P∩d = d )
Exercices : Ex 23 – 24 p 274 - ex 1(feuille suivante)
II) PARRALLELISME DANS L'ESPACE 1) Parallélisme de droites
Propriété :
Si deux droites sont parallèles alors
- toute droite parallèle à l'une est parallèle à l'autre.
- tout plan qui coupe l'une coupe l'autre.
2) Parallélisme de plans
Propriété :
Si deux droites sécantes d1 et d2 d'un plan P sont parallèles à deux droites sécantes d '1 et
d '2 d'un plan P' alors P et P' sont parallèles.
Propriété :
Si deux plans P et P' sont parallèles alors tout plan qui coupe P coupe aussi P' et les deux droites d'intersection d et d' sont parallèles.
3) Parallélisme d'une droite et d'un plan
Propriété :
Une droite est parallèle à un plan P si elle est parallèle à une droite d du plan.
Propriété :
Si une droite d est parallèle à deux plans sécants P et P' alors elle est parallèle à leur intersection .
Exercices : 33 – 32 p 275
III) ORTHOGONALITE DANS L'ESPACE Définition :
Deux droites sont orthogonales si leurs parallèles menées par un même point sont perpendiculaire.
Exemple : Dans le cube ABCDEFGH : (BF) et (EA) sont parallèles et (EA) et (EH) sont perpendiculaires donc (BF) et (EH) sont orthogonales.
Définition :
Une droite est orthogonale à un plan si elles est orthogonales à deux droites sécantes du plan.
Définition :
Deux plans sont orthogonaux si une droite de l'un est orthogonale à l'autre (donc à deux droites sécantes de l'autre).
Exemple : Dans le cube ABCDEFGH : (EH) est orthogonale à (EA) et (EF) et (EH) est une droite de (EHA) donc (EHA) (EAB)⊥
Propriété :
Si une droite est orthogonale à un plan alors elles est orthogonales à toutes les droites du plan.
Propriété :
D , D' et D'' désignent des droites et P , P' des plans : D ⊥ P et D' ⊥ P ⇒ D // D' D ⊥ P et D ⊥ P' ⇒ P // P' D ⊥ D' et D' // D'' ⇒ D D''⊥ D // D' et D ⊥ P ⇒ D' ⊥ P P // P' et D ⊥ P ⇒ D ⊥ P' Mais ATTENTION : D⊥D' et D'⊥D'' n'implique pas D // D' Exercices : Ex 2 (feuille)
IV) PROJECTE ORTHOGONAL
Définition :
Soit P un plan et M un point.
Il existe une unique droite M passant par M et orthogonale à P.
Le point M', intersection de M et P, s'appelle le projeté orthogonal de M sur P.
Définition :
Soit d une droite et M un point.
Il existe un unique plan PM passant par M et orthogonal à d.
Le point M', intersection de PM et d, s'appelle le projeté orthogonal de M sur d.