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DROITES ET PLANS DE L'ESPACE II) POSITIONS RELATIVES 1) Positions relatives de deux droites

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Academic year: 2022

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(1)

DROITES ET PLANS DE L'ESPACE

II) POSITIONS RELATIVES

1) Positions relatives de deux droites

sécantes ( d∩d ' est un point)

coplanaires strictement parallèles ( d∩d ' = ∅)

parallèles

confondues ( d∩d ' = d) Deux droites d et d' peuvent être

non coplanaires (d∩d ' = ∅)

2) Positions relatives de deux plans

sécants ( P∩P ' est une droite)

Deux plans P et P' peuvent être strictement parallèles ( P∩P ' = ∅)

parallèles

confondus ( P∩P ' = P )

3) Positions relatives d'un plan P et d'une droite D sécants ( P∩d est un point)

P et d peuvent être strictement parallèles ( P∩d = ∅)

parallèles

d ⊂ P ( P∩d = d )

Exercices : Ex 23 – 24 p 274 - ex 1(feuille suivante)

(2)

II) PARRALLELISME DANS L'ESPACE 1) Parallélisme de droites

Propriété :

Si deux droites sont parallèles alors

- toute droite parallèle à l'une est parallèle à l'autre.

- tout plan qui coupe l'une coupe l'autre.

2) Parallélisme de plans

Propriété :

Si deux droites sécantes d1 et d2 d'un plan P sont parallèles à deux droites sécantes d '1 et

d '2 d'un plan P' alors P et P' sont parallèles.

Propriété :

Si deux plans P et P' sont parallèles alors tout plan qui coupe P coupe aussi P' et les deux droites d'intersection d et d' sont parallèles.

3) Parallélisme d'une droite et d'un plan

Propriété :

Une droite  est parallèle à un plan P si elle est parallèle à une droite d du plan.

Propriété :

Si une droite d est parallèle à deux plans sécants P et P' alors elle est parallèle à leur intersection  .

Exercices : 33 – 32 p 275

III) ORTHOGONALITE DANS L'ESPACE Définition :

Deux droites sont orthogonales si leurs parallèles menées par un même point sont perpendiculaire.

Exemple : Dans le cube ABCDEFGH : (BF) et (EA) sont parallèles et (EA) et (EH) sont perpendiculaires donc (BF) et (EH) sont orthogonales.

Définition :

Une droite est orthogonale à un plan si elles est orthogonales à deux droites sécantes du plan.

(3)

Définition :

Deux plans sont orthogonaux si une droite de l'un est orthogonale à l'autre (donc à deux droites sécantes de l'autre).

Exemple : Dans le cube ABCDEFGH : (EH) est orthogonale à (EA) et (EF) et (EH) est une droite de (EHA) donc (EHA) (EAB)⊥

Propriété :

Si une droite est orthogonale à un plan alors elles est orthogonales à toutes les droites du plan.

Propriété :

D , D' et D'' désignent des droites et P , P' des plans : D ⊥ P et D' ⊥ P ⇒ D // D' D ⊥ P et D ⊥ P' ⇒ P // P' D ⊥ D' et D' // D'' ⇒ D D''⊥ D // D' et D ⊥ P ⇒ D' ⊥ P P // P' et D ⊥ P ⇒ D ⊥ P' Mais ATTENTION : D⊥D' et D'⊥D'' n'implique pas D // D' Exercices : Ex 2 (feuille)

IV) PROJECTE ORTHOGONAL

Définition :

Soit P un plan et M un point.

Il existe une unique droite M passant par M et orthogonale à P.

Le point M', intersection de M et P, s'appelle le projeté orthogonal de M sur P.

Définition :

Soit d une droite et M un point.

Il existe un unique plan PM passant par M et orthogonal à d.

Le point M', intersection de PM et d, s'appelle le projeté orthogonal de M sur d.

(4)
(5)
(6)

EX 33 p 275

(7)

EX 32 p 275 a)

(8)

Ex 32 p 275

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