Positions relatives : visualiser

2nd10 DS 6 Correction : Contrˆole de synth`ese 14 f´evrier 2019

Exercice 1 : Reconnaˆıtre des solides (5 minutes) (3 points)

1. Donner le nom du solide puis la formule de chaque solide.

Solution: Voir cours

Exercice 2 : Des in´equations (15 minutes) (5 points)

R´esoudre dans R

1. −2x−5>0 2. (−2x−5)(x−3)>0 3. (x−3)²−2560

Solution:

1. S=]− ∞;−⁵₂[ 2. S=]−⁵₂; 3[

3. S= [−2; 8]

Exercice 3 : G´eom´etrie dans le plan (10 minutes) (4 points) On se donne un rep`ere. Soient A(2; 3) et B(5; 8).

1. Calculer la distanceAB

2. D´eterminer les coordonn´ees du milieuM de [AB]

3. SoientC(7; 8) et D(1;−2).

(a) −−→

CD et −−→

ABsont-ils colin´eaires. (b) Que peut-on en d´eduire ?

Solution:

1. AB=√

3²+ 5² =√ 34 2. M

7

2;11 2

3. −−→

CD ₋₁₀⁻⁶ et−−→

AB ³₅

. Donc−2−−→ AB=−−→

CD

Exercice 4 : Algorithme pour (12 minutes) (4 points)

Une grande enseigne souhaite ´etudier l’´evolution du chiffre d’affaires des ventes de ses produits bio. En 2019, le chiffre d’affaires est de 330 milliers d’euros.

On suppose que le chiffre d’affaires augmente de 9 % chaque ann´ee `a partir de 2019 et on construit un algorithme donnant en sortie le termeu_n pour un entier naturelndonn´e par l’utilisateur.

1. Calculer le chiffre d’affaire en 2020 ;

2. Les fonctions ci-dessous retournent le chiffre d’affaires en milliers d’euros en 2019 +n.

Justifier que les fonctions 1 et 3 ne conviennent pas.

def f o n c t i o n 1 ( n ) : u = 330

f o r i in range( n ) : w = u ∗ 1 , 0 9 return w

def f o n c t i o n 2 ( n ) : u = 330

f o r i in range( n ) : u = u ∗ 1 , 0 9 return u

def f o n c t i o n 3 ( n ) : f o r i in range( n ) :

u = 330 u = u ∗ 1 , 0 9 return u

On admet que la fonction 2 convient.

2nd10 DS 6 Page 2 sur 6 3. Pour la valeur 5 densaisie dans la fonction 2, recopier puis compl´eter, en le prolongeant avec autant

de colonnes que n´ecessaire, le tableau ci-dessous.

valeur de i 0 1 . . .

valeur de U 330 . . .

Solution:

1. En 2020 le chiffre d’affaire sera de 330×1,09 = 359,7 milliers d’euros

2. La fonction 1 calcule toujours le mˆeme nombre. En effet w est toujours ´egal `a 359,7. Il faut que wsoit modifi´e.

La fonction 3 r´einitialiseu`a 330 `a chaque ´etape de la boucle. Donc la valeur est toujours de 359,7 milliers d’euros.

3. valeur dei 0 1 2 3 4

valeur deu 330 359,7 392,073 427,36 465,82 507,75

Exercice 5 : Positions relatives (12 minutes) (4 points)

ABF E etDCGH sont des trap`ezes, les autres faces du solide ABCDEF GH sont des rectangles.

282

Positions relatives : visualiser

37 Les points M, N et P appartiennent respective ment aux arêtes AB

[ ]

^{, AC}

[ ]

et AD

[ ]

d’un tétraèdre.

Les points M, N et P sont-ils alignés ?

38 Dans le parallélépipède rectangle représenté ci-dessous, donner (sans démontrer) la position relative : 1. des droites :

a. AB

( )

^{et DC}

( )

b. AB

( )

^{et HG}

( )

c. AB

( )

^{et BC}

( )

d. AB

( )

^{et CG}

( )

2. des droites et plans :

a. AG

( )

^{et EFG}

( )

^{b. EG}

( )

^{et EFG}

⁽ )

c. CG

( )

^{et EFG}

( )

^{d. AB}

( )

^{et EFG}

( )

3. des plans :

a. ABC

( )

^{et EFG}

( )

^{b. ABC}

( )

^{et CDA}

( )

c. AEH

( )

^{et DHG}

( )

^{d. AEG}

( )

^{et CGH}

( )

39 Les droites dessinées semblent sécantes.

Le sont-elles dans la réalité ? a. EB

( )

^{et AC}

( )

A

D C

G H

E F

B

b. HM

( )

^{et DB}

( )

^{avec M∈}

[ ]

^CD

A

D MC

G H

E F

B

40 Même énoncé que l’exercice 39 : a. MN

( )

^{et AC}

( )

^avec

M∈

[ ]

AE ^{et N∈}

[ ]

^CG

A B

C G F E

M N

H

D

b. BF

( )

^{et HM}

( )

avec M∈

[ ]

AB

A B

C G H

F E

D M

N P M

A

D

B C

H

D C

G

E

A B

F

Positions relatives : démontrer

41 Charger le fi chier PYRADR sur le site.

1. Créer les points I, J, K, L milieux respectifs des segments

[ ]

AB^{, DC}

[ ]

^{, DS}

[ ]

^{et AS}

[ ]

^.

2. a. Cliquer sur l’icône Plan isolé et mettre le plan IJK en plan isolé (seuls les points, segments, droites contenus dans ce plan seront visibles). Quelle conjecture peut-on faire sur les points I, J, K, L ? Et sur IJKL ?

b. Revenir à la vue de départ ( + ) et cliquer à nouveau sur Plan isolé pour sortir de ce mode.

c. Justifi er que LK

( )

est parallèle à

(

IJ

)

^{et LK=1}₂^IJ.

3. Créer le point d’intersection T de la droite ( )JK et du plan SAB

( )

. Comment construire T sur le papier ?

42 ABCDE est une pyramide régulière à base carrée. F est le milieu de AC

[ ]

et H est le point de AE

[ ]

^tel

que AH=3AE

4 . Démontrer que FH

( )

et CE

( )

sont sécantes.

Aide : exercice résolu 3

43 ABFE et DCGH sont des trapèzes, les autres faces du solide ABCDEFGH sont des rectangles.

A B

C F

H G

D E

1. Déterminer la position relative des droites : a. BG

( )

^{et CF}

( )

^{b. CG}

( )

^{et BD}

( )

c. AE

( )

^{et BF}

( )

^{d. AH}

( )

^{et CD}

( )

2. Démontrer que EB

( )

^{et CH}

( )

sont parallèles.

Aide : exercice résolu 5

44 La fi gure est celle de l’exercice 43.

Déterminer la position relative des droites et plans : a. HG

( )

^{et ABC}

( )

^{b. EC}

( )

^{et ABD}

( )

c. EB

( )

^{et DCG}

( )

^{d. AD}

( )

^{et BCF}

( )

45 La fi gure est celle de l’exercice 43.

1. Déterminer la position relative des plans : a. ABC

( )

^{et CFG}

( )

^{b. EFG}

( )

^{et ABC}

( )

c. ABF

( )

^{et DCG}

( )

^{d. AEF}

( )

^{et BCD}

( )

A

B F

E H

C D

008000_1105_Exo1.indd 282

008000_1105_Exo1.indd 282 7/07/10 11:57:487/07/10 11:57:48

1. Quel est le nom de ce solide ? Justifier.

2. D´eterminer la position relative des droites et des plans :

1. (BG) et (CF) ; 2. (CG) et (BD) ; 3. (AE) et (BF) ; 4. (AH) et (CD) ;

5. (EB) et (CH) ; 6. (HG) et (ABC) ; 7. (EC) et (ABD) ; 8. (EB) et (DCG) ;

9. (ABC) et (CF G) ; 10. (EF G) et (ABC) ; 11. (AEF) et (BCD).

Solution:

1. Il s’agit d’un pav´e droit de base un trap`ezeABF E.

2. (a) S´ecante

(b) Non coplanaire (c) S´ecante

(d) Non coplanaire (e) parall`ele (f) parall`ele

(g) S´ecant en C (h) parall`ele

(i) S´ecant en (BC) (j) parall`ele

(k) S´ecant en (AB)

2nd10 DS 6 Page 3 sur 6 Exercice 6 : ´Equation de droite et fonction affine (17 minutes) (6 points)

Soient A(2; 3) et B(3;−2).

1. Donner les coordonn´ees du vecteur −−→ AB.

2. SoitM(x;y).

(a) Que peut-on dire de M si−−→

AM et−−→

AB sont colin´eaires ? (b) Donner une condition surx ety pour que−−→

AM et−−→

AB soient colin´eaires.

(c) Isolery. Que reconnait-on ?

3. Soitf d´efinie surRparf(x) =−5x+ 13 (a) Quelle est la nature de la fonction f?

(b) Montrer que la courbe repr´esentative de f passe parA etB.

(c) Tracer la repr´esentation graphique de f sur [−1; 3]

(d) Donner les variations de f surR. (e) Justifier ces variations.

Solution:

1. −−→ AB ₋₅¹

.

2. (a) On peut dire queA, M etB sont align´es.

(b) −−→

AM et−−→

AB sont colin´eaires

ssi (x−2)× −5−(y−3) = 0 ssi −5x+ 10−y+ 3 = 0 ssi y=−5x+ 13.

(c) On reconnaˆıt l’expression d’une fonction affine.

3. (a) f est une fonction affine avec a=−5 etb= 13 ; (b) f(2) = 3 etf(3) =−2 ;

(c) On placeA etB sur un rep`ere. On trace la droite passant parA etB.

(d) f est d´ecroissante car le coefficient directeur est n´egatif.

(e) Soient aetbdeux r´eels.

a > b ssi −5a <−5b ssi −5a+ 13<−5b+ 13 ssif(a)< f(b) donc f est d´ecroissante sur R.

Exercice 7 : Calcul de volume et d’aire (13 minutes) (4 points) Une pi`ece m´etallique est repr´esent´e par le pav´e droit ABCDEF GH tel que AB = 6 cm, BC = 6cm et AE = 4cm. Dans cette pi`ece, on perce un trou cylindrique de rayon 2cm dont l’axe passe par les centres des faces ABF E etDCGH.

1. (a) D´eterminer le volume du pav´e droit.

(b) D´eterminer le volume du m´etal enlev´e par le per¸cage (le volume du cylindre).

(c) En d´eduire le volume de la pi`ece apr`es le per¸cage.

2. Pour la prot´eger contre la corrosion, cette pi`ece est tremp´ee dans un bain galvanique pour la re- couvrir d’une couche de zinc. D´eterminer l’aire de la surface qui doit ˆetre recouverte.

Solution:

1. (a) Le volume du pav´e droit est 6×6×4 = 144 cm³

(b) Le volume du m´etal enlev´e par le per¸cage est 4×π×6≈75,4 cm³ (c) Le volume de la pi`ece apr`es le per¸cage est donc 144−24π≈68,6cm³

2. L’aire du pav´e droit est la somme des aires de chaque faces soit 2×6×6 + 4×6×4 = 168cm² auquel il faut retirer l’aire des deux trous : 2×π×4 = 8π et il faut rajouter l’aire de la surface `a l’int´erieur du per¸cage.

Cette aire est la plus difficiles `a calculer, c’est un rectangle avec un cˆot´e ´egal `a 6cm et l’autre cot´e

´egal au p´erim`etre du cercle de per¸cage : 2×π×2 = 4π. L’aire de ce rectangle est donc 24πcm². L’aire totale que l’on doit recouvrir est donc 168−8π+ 24π≈218cm².

Exercice 8 : Mini probl`eme second degr´e (13 minutes) (4 points) Une entreprise fabrique un produit. Pour une p´eriode donn´ee, le coˆut total de production en euros, est donn´e en fonction du nombrexd’articles fabriqu´es par C(x) = 2x²+ 10x+ 900 avec 0< x <80.

Tous les articles sont vendus.

Chaque produit est vendu 120 euros.

On rappelle que le b´en´efice est la recette moins le coˆut.

1. Quelle est la recette pour 10 produits fabriqu´es ? Pourx produits ? 2. Donner l’expression du b´en´eficeB(x) en fonction de x.

3. Montrer queB(x) =−2(x−10)(x−45)

4. La production est rentable lorsque le b´en´efice est positif. Combien de produits peut-on vendre pour avoir une production rentable ?

Solution:

1. Pour 10 produits, la recette est de 1200 euros ; Pourx produits, elle sera de 120x; 2. B(x) = 120x−2x²−10x−900 =−2x²+ 110x−900 ;

3. −2(x−10)(x−45) =−2(x²−10x−45x+ 450) =−2x²+ 110x−900 =B(x) ;

4. Pour avoir une production rentable, on doit avoir B(x) > 0. `A l’aide d’un tableau de signes, on remarque que les r´esultats sont [10; 45]. Il faut produire entre 10 et 45 pi`eces pour avoir un b´en´efice positif.

Exercice 9 : Section dans l’espace (13 minutes) (4 points)

On consid`ere un cube ABCDEFCH donn´e en annexe (`a rendre avec la copie). On note M un point du segment [EH], N un point de [FC] et P un point de [HG]

1. On admet que (MP) et (FG) sont s´ecantes en un point L. Construire L.

2. On admet que les droites (LN) et (CG) sont s´ecantes et on note T leur point d’intersection. On admet que les droites (LN) et (BF) sont s´ecantes et on note Q leur point d’intersection.

Construire les points T et Q.

3. En d´eduire une construction de la section du cube par le plan (MNP).

2nd10 DS 6 Page 5 sur 6

Solution:

A B

C D

E F

G H

M

N P

L

T

Q R

S

Exercice 10 : Nombre d’or (10 minutes) (3 points)

1. Le nombre d’orϕest l’unique solution positive de l’´equation du second degr´e suivante :x²−x−1 = 0.

Calculer la valeur exacte deϕ.

2. Le rectangle d’or est un rectangle tel que si, on lui enl`eve un carr´e construit sur une largeur, on obtient un nouveau rectangle de mˆeme forme. Sur la figure ci-dessous, ¸ca se traduit par BC

BA = DC

ED et ABF E est un carr´e. Montrer que BC

BA =ϕ

A B

E

F F⁰

E⁰

Solution:

1. x²−x= (x−¹₂)²−¹₄.

Doncx²−x−1 = (x−¹₂)²−⁵₄ = (x−¹₂ −

√5

2 )(x−¹₂ +

√5 2 ).

La solution positiveϕest donc ¹₂+

√ 5 2 . 2. On a BC=BF+F C =DC+F C.

On a alors BC

DC = DC+F C

DC = DC DC + F C

DC = 1 + F C DC. Soitx= DC

F C.

On a BC

DC = 1 +1 x. BC

DC = DC

F C ⇔1 + 1

x =x⇔ x+ 1 x = x²

x ⇔x²−x−1 = 0.

CommeBC etDC sont des distances,x est positif donc BC DC =ϕ